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每年初中数学会考,一般都把试题分为容易题(基础题),中档题以及难题。近年初中数学会考中,难题一般都占全卷总分的四分之一,难题不突破,学生是很难取得会考好成绩的。我认为可以将初中会考中的难题分以为下几类进行专题复习:第一类:与一到两个知识点联系紧密的难题。
例:在⊙O中,C是弧AB的中点,D是弧AC上的任一点(与DC点A,C不重合),则( )
(A)AC+CB=AD+DB (B)AC+CB (C)AC+CB>AD+DB
(D)AC+CB与AD+DB的大小关系不确定
教学引导:与线段大小比较有关的知识是什么?(三角形任意两边之和大于第三边或大边对大角等)如何把AC+CB与AD+DB组合在一个三角形中比较大小呢?
附解答方法:以C为圆心,以CB为半径作弧交BD的延长线于点E连结 AE,CE,AB。∵CE=CB ∴∠CEB=∠CBE 又∠DAC=∠CBE ∴∠CEB=∠CAD而CA=CE得∠CEA=∠CAE ∴∠CEA-∠CEB=∠CAE-∠CAD ∴∠DEA=∠DAE ∴DE=DA,在△CEB中,CE+CB>BE即AC+ CB>AD+DB。故选(C)。
评议:本例教学关键是引导学生把 AC,CB,AD,DB这些线段构造在一个三角形上。
第二类:综合多个知识点或需要一定解题技巧才能解的难题。这类难题的教学关键要求学生运用分析和综合的方法,运用一些数学思想和方法,以及一定的解题技巧来解答。
例:在三角形ABC中,点I是内心,直线BI,CI交AC,AB于D,E已知 ID=IE,求证:∠ABC=∠BCA,或∠A=60°。
教学点拨:本题要运用分析与综合的方法,从条件与结论两个方向去分析。从条件分析,由ID=IE及I是内心,可以推出△AID和△AIE是两边一对角对应相等,有两种可能:AD=AE或AD≠AE,从这可以推得∠ADI与∠AEI的关系。从结论分析,要证明题目结论,需要找出,∠ABC与∠ACB的关系,∠ADI=1/2∠ABC+∠ACB,而∠AEI=1/2∠ACB+∠ABC从条件和结论两个方面分析,只要找出∠AEI与∠ADI的关系就可以证明本题。
附证明过程:连结AI,在△AID和△AIE中,AD与AE的大小有两种可能情形:AD=AE,或AD≠AE。
(1)如果AD=AE,则△AID≌△AIE,有∠ADI=∠AEI。而∠ADI=1/2∠ABC+∠ACB,∠AEI=1/2 ∠ACB+∠ABC。所以,1/2∠ABC+∠ACB=1/2∠ACB+∠ABC。即,∠ABC=∠ACB。
(2)如果AD≠AE,则设AD>AE,在 AD上截取AE'=AE',连结IE'。则△AIE'≌AIE。所以,∠AE'I=∠AEI,IE'=IE=ID。因此,△IDE'为等腰三角形,则有∠E'DI=∠DE'I。因∠AEI+∠DE'I=180°,所以,∠AEI+∠AIE=180°。因此,(1/2∠ACB+∠ABC)+(1/2∠ABC+∠ACB)=180°。所以,∠ABC+∠ACB=120°,从而,∠A=180°-120°=60°。如果AD 第三类:开放性,探索性数学难题。无论是开放性还是探索性的数学难题,教学重点是教会学生把握问题的关键。
例:请写出一个图象只经过二,三,四象限的二次函数的解析式。
教学点拨:二次函数的图象只经过二,三,四象限,就是不能经过第一象限,即当x>0时,y<0。什么样的解析式的二次函数必有x>0时y<0呢?这是问题的核心(答案:当二次函数y=ax2+bx+c中a,b,c都为负时,必有x>0时,y<0,如: y=-X2-2x-3)。
第四类:新题型(近年全国各地初中会考中出现的题型)。初中会考题型再新也离不开初中的基础知识,所以解这类题的关键是从题意中找到与题目相关的基础知识,然后,运用与之相关的基础知识,通过分析,综合,比较,联想,找到解决问题的办法。
例:电脑CPU芯片由一种叫“单晶硅”的材料制成,未切割前的单晶硅材料是一种薄形圆片,叫“晶圆片”。现为了生产某种CPU芯片,需长,宽都是1tm的正方形小硅片若干。如果晶圆片的直径为 10.05cm,问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张?请说明你的方法和理由(不计切割损耗)。
教学引导:本题人人都要会动手做,但要按一定的顺序切割才能得到正确答案。
方法:(1)先把10个小正方形排成一排,看成一个长条形的矩形,这个矩形刚好能放入直径为10.05cm的圆内,如图中矩形ABCD。∵AB=I,BC=10,∴对角线AC2=102+12= 100+1=101<10.052
(2)在矩形ABCD的上方和下方可以分别放入9个小的正方形。这样新加入的两排小正方形连同 ABCD的一部分可以看成矩形EFGH,其长为9,高为3,对角线EG2=92+32=81+9=90<10.052。但新加入的这两排小正方形不能是每排10个,因为102+32=100+9>10.052。
(3)同理,∵82+52=64+25=89<10.052,而92+52=81+25=106>10.052,所以,可以在矩形EFGH的上面和下面分别再排下8个小正方形,那么现在小正方形已有5层。
可能我们都有这样的经验:我们讲解难题的时候,学生都能理解,但让学生再做另外一些难题的时候,学生又做不出来。这是因为,我们只是把结果告诉学生,学生解题的思维方式没有得到训练。在难题的教学中,我们不能只把结论告诉学生,更重要的是要让学生知道解题的思维方式,我们不要急于把题目的解法告诉学生,应当引导学生自己去解题,在解题的过程中寻找解题思路以及训练思维能力和创新能力,这也是新课标的要求;我们应当把教学重点放在训练学生解题的思路上,在引导学生寻找解题思路的这一过程之中,使学生找到开锁的钥匙。
例:在⊙O中,C是弧AB的中点,D是弧AC上的任一点(与DC点A,C不重合),则( )
(A)AC+CB=AD+DB (B)AC+CB
(D)AC+CB与AD+DB的大小关系不确定
教学引导:与线段大小比较有关的知识是什么?(三角形任意两边之和大于第三边或大边对大角等)如何把AC+CB与AD+DB组合在一个三角形中比较大小呢?
附解答方法:以C为圆心,以CB为半径作弧交BD的延长线于点E连结 AE,CE,AB。∵CE=CB ∴∠CEB=∠CBE 又∠DAC=∠CBE ∴∠CEB=∠CAD而CA=CE得∠CEA=∠CAE ∴∠CEA-∠CEB=∠CAE-∠CAD ∴∠DEA=∠DAE ∴DE=DA,在△CEB中,CE+CB>BE即AC+ CB>AD+DB。故选(C)。
评议:本例教学关键是引导学生把 AC,CB,AD,DB这些线段构造在一个三角形上。
第二类:综合多个知识点或需要一定解题技巧才能解的难题。这类难题的教学关键要求学生运用分析和综合的方法,运用一些数学思想和方法,以及一定的解题技巧来解答。
例:在三角形ABC中,点I是内心,直线BI,CI交AC,AB于D,E已知 ID=IE,求证:∠ABC=∠BCA,或∠A=60°。
教学点拨:本题要运用分析与综合的方法,从条件与结论两个方向去分析。从条件分析,由ID=IE及I是内心,可以推出△AID和△AIE是两边一对角对应相等,有两种可能:AD=AE或AD≠AE,从这可以推得∠ADI与∠AEI的关系。从结论分析,要证明题目结论,需要找出,∠ABC与∠ACB的关系,∠ADI=1/2∠ABC+∠ACB,而∠AEI=1/2∠ACB+∠ABC从条件和结论两个方面分析,只要找出∠AEI与∠ADI的关系就可以证明本题。
附证明过程:连结AI,在△AID和△AIE中,AD与AE的大小有两种可能情形:AD=AE,或AD≠AE。
(1)如果AD=AE,则△AID≌△AIE,有∠ADI=∠AEI。而∠ADI=1/2∠ABC+∠ACB,∠AEI=1/2 ∠ACB+∠ABC。所以,1/2∠ABC+∠ACB=1/2∠ACB+∠ABC。即,∠ABC=∠ACB。
(2)如果AD≠AE,则设AD>AE,在 AD上截取AE'=AE',连结IE'。则△AIE'≌AIE。所以,∠AE'I=∠AEI,IE'=IE=ID。因此,△IDE'为等腰三角形,则有∠E'DI=∠DE'I。因∠AEI+∠DE'I=180°,所以,∠AEI+∠AIE=180°。因此,(1/2∠ACB+∠ABC)+(1/2∠ABC+∠ACB)=180°。所以,∠ABC+∠ACB=120°,从而,∠A=180°-120°=60°。如果AD
例:请写出一个图象只经过二,三,四象限的二次函数的解析式。
教学点拨:二次函数的图象只经过二,三,四象限,就是不能经过第一象限,即当x>0时,y<0。什么样的解析式的二次函数必有x>0时y<0呢?这是问题的核心(答案:当二次函数y=ax2+bx+c中a,b,c都为负时,必有x>0时,y<0,如: y=-X2-2x-3)。
第四类:新题型(近年全国各地初中会考中出现的题型)。初中会考题型再新也离不开初中的基础知识,所以解这类题的关键是从题意中找到与题目相关的基础知识,然后,运用与之相关的基础知识,通过分析,综合,比较,联想,找到解决问题的办法。
例:电脑CPU芯片由一种叫“单晶硅”的材料制成,未切割前的单晶硅材料是一种薄形圆片,叫“晶圆片”。现为了生产某种CPU芯片,需长,宽都是1tm的正方形小硅片若干。如果晶圆片的直径为 10.05cm,问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张?请说明你的方法和理由(不计切割损耗)。
教学引导:本题人人都要会动手做,但要按一定的顺序切割才能得到正确答案。
方法:(1)先把10个小正方形排成一排,看成一个长条形的矩形,这个矩形刚好能放入直径为10.05cm的圆内,如图中矩形ABCD。∵AB=I,BC=10,∴对角线AC2=102+12= 100+1=101<10.052
(2)在矩形ABCD的上方和下方可以分别放入9个小的正方形。这样新加入的两排小正方形连同 ABCD的一部分可以看成矩形EFGH,其长为9,高为3,对角线EG2=92+32=81+9=90<10.052。但新加入的这两排小正方形不能是每排10个,因为102+32=100+9>10.052。
(3)同理,∵82+52=64+25=89<10.052,而92+52=81+25=106>10.052,所以,可以在矩形EFGH的上面和下面分别再排下8个小正方形,那么现在小正方形已有5层。
可能我们都有这样的经验:我们讲解难题的时候,学生都能理解,但让学生再做另外一些难题的时候,学生又做不出来。这是因为,我们只是把结果告诉学生,学生解题的思维方式没有得到训练。在难题的教学中,我们不能只把结论告诉学生,更重要的是要让学生知道解题的思维方式,我们不要急于把题目的解法告诉学生,应当引导学生自己去解题,在解题的过程中寻找解题思路以及训练思维能力和创新能力,这也是新课标的要求;我们应当把教学重点放在训练学生解题的思路上,在引导学生寻找解题思路的这一过程之中,使学生找到开锁的钥匙。