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【摘要】我国当前进行的新课程改革，对数学教师的专业发展提出了更高的要求.本文结合具体中学数学解题案例，浅述优化数学教师MPCK的两点启示：（1）数学解题方法教学是数学教学的重要组成部分，教师应将MPCK教育理论与教学实践相结合；（2）教师要建构起自己的MPCK，将其内化为教师解释、认识、评价教学解题方法教学过程的框架和模型，从而有助于数学教师进一步发展专业知识。
【关键词】数学教师；MPCK；数学解题；教学启示
【基金项目】本文系黄冈市教育科学研究院研究生工作站研究项目“初中数学教师MPCK现状调查与发展策略研究”（JSXM2016012）资助.此段话请务必保留。
【中图分类号】O1-4 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2017）07-0191-02
一、研究背景及问题
20世纪80年代中期，美国著名教育家舒尔曼（Shulman）最早提出了“缺失的范式”（Missing Paradigm），即教师专业知识结构理论，他把教师的专业知识分为七类，其核心是学科教学内容知识（Pedagogical Content Knowledge），简称PCK。此后，国外许多学者对此作了大量研究。综合其观点：就数学教育而言，掌握丰富的数学学科知识并不能有效地促进教师的专业发展，教师更需具备“MPCK”（Mathematics Pedagogical Content Knowledge）.它是三个基本集合MK、PK、CK的公共部分。其中，数学学科知识（Mathematics Knowledge）简称MK，一般教学法知识（Pedagogical Knowledge）简称PK，有关数学学习的知识（Content Knowledge）简称CK。
进入21世纪，我国进一步实施了教育新课程改革，对数学教师的专业发展提出了更高的要求，其目的是让教育满足时代的教育需求。然而，在数学新课程改革的现阶段，许多数学教师在教学当中仍然存在着教育学知识与学科知识保持着分离，教师在实际的学科教学实践中难以结合所学的教学理论等问题。为此，国内学者们关注并借鉴了舒尔曼所提出的PCK的概念，提出了运用MPCK解决数学教师的专业发展和新课程改革中出现的教学相关问题。数学教师专业发展的核心问题就是发展他们MPCK，同时MPCK也是区分高水平教师与一般教师的重要特征之一。
一些专家学者和教师已经对MPCK进行了研究和实践，如朱红梅指出，教育体系不断发展完善，学校注重学生的全面发展，PCK 对于促进高质量教学及培养教师的高素养有着重要作用[1]；郑明筑以“函数的单调性”一课为例，基于PCK结构谈谈如何有效地进行数学概念教学[2]；杨小丽选择勾股定理这个内容研究了数学教师MPCK[3]。贺明荣结合解题案例，提出了优化数学教师的MPCK，促进专业发展的思考[4]；陈子蔷、胡典顺、何穗等人详细的阐述了中国目前MPCK的研究背景、研究进展、研究前瞻[5]；李渺、宁连华对MPCK的构成成分表现形式及其意义进行了论述，并指出MPCK 对数学教师的专业发展意义重大，它有助于数学教师进一步加深对教师专业的认识，有助于数学教师进一步发展专业知识[6]。
本文试结合具体数学解题案例，浅述如何优化数学教师的MPCK的教学启示，以期帮助数学教师思考促进专业发展问题，以期同行指正。
二、基于MPCK解题的案例分析
数学知识和技能的学习，离不开数学解题，即使学生理解了数学概念、定理等，对于数学知识未必熟练掌握，也不一定能具有计算能力、数据处理能力、推理能力等。数学知识和技能的巩固只有在相应的数学问题情境中才能体现，学生必须通过处理相应的问题，将数学知识和技能内化，才能真正掌握。
下面我们将结合教学实例，基于MPCK结构，谈谈教师应如何有效地进行数学解题方法教学。
例1.已知，求证.
MPCK（职前教师）：将二元转化为一元进行求解.因为，所以，代入不等式左边得：
.
MK的视角：本题涉及教师对初中教学大纲的把握，并且涉及到二次函数最值得求解问题。
PK的视角：解题伊始，学生不知从何下手去解决这道题，只知道一个条件，就是，并且要求的问题中含有两个未知数，且未知数的次数都是2，像这类二元二次方程问题以前的学习中很少见过。因此，教师在讲解的过程中，引导学生将二元转化为一元进行求解，降低运算难度从而达到了简化题目的目的。在教学的方法上应采用尝试、探究，合理点拨等多种方式激发学生的思维。
CK的视角：当前，初中数学教材对代数及函数有关知识的要求有所提升，初中生对这部分知识相对而言，其熟悉的程度不低，但运用不够灵活，教师需要引导学生对这部分的相关知识做适当的拓展与深化，体验渗透化归、转换等数学思想方法。
MPCK（经验教师）：将原问题，看成点P（1，1）到直线的距离问题。可以看成点P（1，1）到直线上的点（a，b）的距离，即求两点之间的距离的取值范围。通过分析可知，点P（1，1）到直线的距离为点P（1，1）到直线上点（a，b）的距离的最小值。用点到直线的距离公式得：
MK的视角：本题涉及教师运用点到直线的距离公式，将代数问题转化为几何问题加以解决的情况。
PK的视角：在具体的教学中，可引导学生观察不等式的结构特征，再通过引导学生的发散思维，将特征进一步显性化，教师可采取尝试、探究、启发等手段，以实现合理引入点到直线的距离计算，并利用点到直线的距离公式解题。
CK的视角：由于高中学生具有一定的认知水平，可以讓他们在更抽象意义下认识问题，体验解题的策略与方法。
例2.过椭圆内一点（1，0），引动弦AB，求AB的中点M的轨迹。
MPCK（职初教师）：设AB的斜率为k，得直线AB的方程，求點A，B坐标，再求中点M坐标，消去k，得轨迹方程。 设过点D的直线AB的方程：………… （1）
又…………（2）
联立（1）（2）两式，可得：，整理得：.
所以：
.
从而，整理得：；
，整理得：.
所以有，因此点M的轨迹方程为.
MK的视角： 本题是教学大纲要求掌握的知识点，主要考察圆锥曲线的相关求解。
PK的视角： 在具体教学中，圆锥曲线这类题目有较为固定的解题方法，可引导学生自行探索解决，其思路虽简单，但运算量较大；
CK的视角： 不同的学生对该题所采取的切入方式不尽相同，应针对他们的认知实际水平启发他们对解决问题进行方法的优化与问题本身的适当拓展。
MPCK（经验教师）：设点，AB中点，则有
， …………（3）
且成立 .
由（3）式中兩式相减，可得： ，又 ，联立两式得：
.
MK的视角：线段中点坐标公式及圆锥曲线相关知识的灵活运用，数学知识的横向联系，对问题的归纳与推广。
PK的视角：本题涉及教师在解题教学中如何立足课本，将问题还原到学生已有的知识水平和思维层次下，如何从不同的角度看到全局，将所学知识连贯起来综合解决问题。在实际教学中，可采取独立思考与合作学习相结合，并注意启发与引导等多种恰当的教学方式。
CK的视角：对不同认知水平的学生应注意他们理解到什么程度，并能解决到何种层次等均需针对具体情况而定。
三、基于MPCK解题的教学启示
1.数学解题方法教学是数学教学的重要组成部分，教师应将MPCK教育理论与教学实践相结合
学生数学能力提高的具体表现在于解题的质量而非数量。显然，分析和研究典型题目的解题思路、探究解题过程不仅是學生学会解题和掌握数学技能的有效途径，而且对发展学生的思维、提高学生分析问题和解决问题的能力大有裨益。显然，在数学解题方法研究的过程中我们必须将MPCK 运用于整个教学过程中。有研究表明，经验教师的MPCK较职前教师丰富，经验教师更能了解学生在学习特定内容方面的思维特点；在诊断学生的错误概念方面，虽然职前教师也能发现学生的错误，但不能很好地揭示学生错误的本质，而经验教师能够根据知识之间的前后联系，识别出学生错误的根本原因，并能从相关概念的意义入手，通过多种表征方法，启发学生理解概念的本质。这正是MPCK教学理论与教学实践是否相结合的具体表现。
总之，数学教师不仅自己要知道有关数学知识，而且还要在解题过程中向学生解释这些数学知识，引导学生将所学知识运用于实际问题当中。此外，数学教师还要知道学生的学习疑难点以及准备用什么样的教学策略来解决这些疑难点等等，所有这些都需要数学教师将数学学科知识、学生思维特点方面的知识以及其他方面的知识融合起来，即需要MPCK。
2.教师要建构起自己的MPCK，将其内化为教师解释、认识、评价教学解题方法教学过程的框架和模型
MPCK不仅丰富了数学教师专业知识的学习内容，而且凸显数学教师专业知识的发展途径。解题是数学教师的一项基本功，在平时的教学过程中，教师要学会并适应将MPCK运用于数学课堂教学。MPCK 的实践性表明，教师知识的发展与教师的教学实践紧密联系。也就是说一名教师不可能仅仅通过阅读有关MPCK的知识而成为一名优秀教师，教师的学习离不开教学实践。正如西方学者奥卡肖特所言：“（有种知识）仅存在于实践中，并且获取它的唯一方法是通过学徒制来掌握。这并不是因为师傅能教他，而是因为这种惟有通过持续不断地与长期以来一直实践的人相接触才能获得。”同时，在整个教学实践学习过程中，教师需要仔细观察优秀教师的教学，用“心”学习其中的教学智慧，从而构建自己的MPCK。这样，才能使自己不断获得教育教学的真谛，才能使自己得到迅速的成长。
教师一旦建构起自己的MPCK，就会内化为教师解释、认识、评价教学事件的框架和模型，并以这种框架或模型去分析、论证、评价教学中的问题，形成个人独有的处理各种教学问题的原则和方法。正如人们常说的“教学既是科学也是艺术”，数学教学科学化即为数学教师的专业化，数学教师需要专门的职业训练，也要有特殊的职业要求。以上案例表明开展MPCK的研究，优化数学教师的MPCK对促进教师的专业化成长具有重要意义。我认为，选择代表性的案例对职初和在职教师进行定期的专业化培训，从不同的角度向教师演绎高等数学中所蕴含的解题方法及数学思想，引导教师在初、高中数学与高等数学之间建立纵向联系，丰富教师的数学内容知识（MK）和数学教学方法知识（MPK），前移数学研究的立足点等，是帮助中学数学教师的MPCK的发展与重建，提高自身数学素养，从一般教师向高水平教师转化的一个有效途径。
四、结语
以上案例表明基于MPCK开展的研究数学解题方法教学的质量与数学教学的成败有着直接的关系，优化数学教师的MPCK对促进教师的专业化成长具有重要意义。教师不仅应将MPCK教育理论与教学实践相结合，而且教师要建构起自己的MPCK，将其内化为教师解释、认识、评价教学解题方法教学过程的框架和模型。这样才能有助于数学教师进一步加深对教师专业的认识，有助于教育学知识与学科知识更好的与教学实践相结合，有助于数学教师进一步发展专业知识。
参考文献
[1]朱红梅.PCK 视角下初中数学若干难点概念教学的研究[J].中学生数理化·教与学，2015，（6）：67.
[2]郑明筑.PCK视角下的数学概念教学——以“函数的单调性”一课为例[J].数学教学研究，2016，35（6）：16-19.
[3]杨小丽.勾股定理的MPCK内涵解析[J].数学通报，2011，50（3）：40-43.
[4]贺明荣.浅析MPCK视角下的解题教学[J].中学数学，2013，（19）：27-29.
[5]陈子蔷，胡典顺，何穗.中国目前MPCK研究综述[J].数学教育学报，2012，21（5）：15-18.
[6]李渺，宁连华.数学教学内容知识（MPCK）的构成成分表现形式及其意义[J].数学教育学报，2011，20（2）：10-14.
【关键词】数学教师；MPCK；数学解题；教学启示
【基金项目】本文系黄冈市教育科学研究院研究生工作站研究项目“初中数学教师MPCK现状调查与发展策略研究”（JSXM2016012）资助.此段话请务必保留。
【中图分类号】O1-4 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2017）07-0191-02
一、研究背景及问题
20世纪80年代中期，美国著名教育家舒尔曼（Shulman）最早提出了“缺失的范式”（Missing Paradigm），即教师专业知识结构理论，他把教师的专业知识分为七类，其核心是学科教学内容知识（Pedagogical Content Knowledge），简称PCK。此后，国外许多学者对此作了大量研究。综合其观点：就数学教育而言，掌握丰富的数学学科知识并不能有效地促进教师的专业发展，教师更需具备“MPCK”（Mathematics Pedagogical Content Knowledge）.它是三个基本集合MK、PK、CK的公共部分。其中，数学学科知识（Mathematics Knowledge）简称MK，一般教学法知识（Pedagogical Knowledge）简称PK，有关数学学习的知识（Content Knowledge）简称CK。
进入21世纪，我国进一步实施了教育新课程改革，对数学教师的专业发展提出了更高的要求，其目的是让教育满足时代的教育需求。然而，在数学新课程改革的现阶段，许多数学教师在教学当中仍然存在着教育学知识与学科知识保持着分离，教师在实际的学科教学实践中难以结合所学的教学理论等问题。为此，国内学者们关注并借鉴了舒尔曼所提出的PCK的概念，提出了运用MPCK解决数学教师的专业发展和新课程改革中出现的教学相关问题。数学教师专业发展的核心问题就是发展他们MPCK，同时MPCK也是区分高水平教师与一般教师的重要特征之一。
一些专家学者和教师已经对MPCK进行了研究和实践，如朱红梅指出，教育体系不断发展完善，学校注重学生的全面发展，PCK 对于促进高质量教学及培养教师的高素养有着重要作用[1]；郑明筑以“函数的单调性”一课为例，基于PCK结构谈谈如何有效地进行数学概念教学[2]；杨小丽选择勾股定理这个内容研究了数学教师MPCK[3]。贺明荣结合解题案例，提出了优化数学教师的MPCK，促进专业发展的思考[4]；陈子蔷、胡典顺、何穗等人详细的阐述了中国目前MPCK的研究背景、研究进展、研究前瞻[5]；李渺、宁连华对MPCK的构成成分表现形式及其意义进行了论述，并指出MPCK 对数学教师的专业发展意义重大，它有助于数学教师进一步加深对教师专业的认识，有助于数学教师进一步发展专业知识[6]。
本文试结合具体数学解题案例，浅述如何优化数学教师的MPCK的教学启示，以期帮助数学教师思考促进专业发展问题，以期同行指正。
二、基于MPCK解题的案例分析
数学知识和技能的学习，离不开数学解题，即使学生理解了数学概念、定理等，对于数学知识未必熟练掌握，也不一定能具有计算能力、数据处理能力、推理能力等。数学知识和技能的巩固只有在相应的数学问题情境中才能体现，学生必须通过处理相应的问题，将数学知识和技能内化，才能真正掌握。
下面我们将结合教学实例，基于MPCK结构，谈谈教师应如何有效地进行数学解题方法教学。
例1.已知，求证.
MPCK（职前教师）：将二元转化为一元进行求解.因为，所以，代入不等式左边得：
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MK的视角：本题涉及教师对初中教学大纲的把握，并且涉及到二次函数最值得求解问题。
PK的视角：解题伊始，学生不知从何下手去解决这道题，只知道一个条件，就是，并且要求的问题中含有两个未知数，且未知数的次数都是2，像这类二元二次方程问题以前的学习中很少见过。因此，教师在讲解的过程中，引导学生将二元转化为一元进行求解，降低运算难度从而达到了简化题目的目的。在教学的方法上应采用尝试、探究，合理点拨等多种方式激发学生的思维。
CK的视角：当前，初中数学教材对代数及函数有关知识的要求有所提升，初中生对这部分知识相对而言，其熟悉的程度不低，但运用不够灵活，教师需要引导学生对这部分的相关知识做适当的拓展与深化，体验渗透化归、转换等数学思想方法。
MPCK（经验教师）：将原问题，看成点P（1，1）到直线的距离问题。可以看成点P（1，1）到直线上的点（a，b）的距离，即求两点之间的距离的取值范围。通过分析可知，点P（1，1）到直线的距离为点P（1，1）到直线上点（a，b）的距离的最小值。用点到直线的距离公式得：
MK的视角：本题涉及教师运用点到直线的距离公式，将代数问题转化为几何问题加以解决的情况。
PK的视角：在具体的教学中，可引导学生观察不等式的结构特征，再通过引导学生的发散思维，将特征进一步显性化，教师可采取尝试、探究、启发等手段，以实现合理引入点到直线的距离计算，并利用点到直线的距离公式解题。
CK的视角：由于高中学生具有一定的认知水平，可以讓他们在更抽象意义下认识问题，体验解题的策略与方法。
例2.过椭圆内一点（1，0），引动弦AB，求AB的中点M的轨迹。
MPCK（职初教师）：设AB的斜率为k，得直线AB的方程，求點A，B坐标，再求中点M坐标，消去k，得轨迹方程。 设过点D的直线AB的方程：………… （1）
又…………（2）
联立（1）（2）两式，可得：，整理得：.
所以：
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从而，整理得：；
，整理得：.
所以有，因此点M的轨迹方程为.
MK的视角： 本题是教学大纲要求掌握的知识点，主要考察圆锥曲线的相关求解。
PK的视角： 在具体教学中，圆锥曲线这类题目有较为固定的解题方法，可引导学生自行探索解决，其思路虽简单，但运算量较大；
CK的视角： 不同的学生对该题所采取的切入方式不尽相同，应针对他们的认知实际水平启发他们对解决问题进行方法的优化与问题本身的适当拓展。
MPCK（经验教师）：设点，AB中点，则有
， …………（3）
且成立 .
由（3）式中兩式相减，可得： ，又 ，联立两式得：
.
MK的视角：线段中点坐标公式及圆锥曲线相关知识的灵活运用，数学知识的横向联系，对问题的归纳与推广。
PK的视角：本题涉及教师在解题教学中如何立足课本，将问题还原到学生已有的知识水平和思维层次下，如何从不同的角度看到全局，将所学知识连贯起来综合解决问题。在实际教学中，可采取独立思考与合作学习相结合，并注意启发与引导等多种恰当的教学方式。
CK的视角：对不同认知水平的学生应注意他们理解到什么程度，并能解决到何种层次等均需针对具体情况而定。
三、基于MPCK解题的教学启示
1.数学解题方法教学是数学教学的重要组成部分，教师应将MPCK教育理论与教学实践相结合
学生数学能力提高的具体表现在于解题的质量而非数量。显然，分析和研究典型题目的解题思路、探究解题过程不仅是學生学会解题和掌握数学技能的有效途径，而且对发展学生的思维、提高学生分析问题和解决问题的能力大有裨益。显然，在数学解题方法研究的过程中我们必须将MPCK 运用于整个教学过程中。有研究表明，经验教师的MPCK较职前教师丰富，经验教师更能了解学生在学习特定内容方面的思维特点；在诊断学生的错误概念方面，虽然职前教师也能发现学生的错误，但不能很好地揭示学生错误的本质，而经验教师能够根据知识之间的前后联系，识别出学生错误的根本原因，并能从相关概念的意义入手，通过多种表征方法，启发学生理解概念的本质。这正是MPCK教学理论与教学实践是否相结合的具体表现。
总之，数学教师不仅自己要知道有关数学知识，而且还要在解题过程中向学生解释这些数学知识，引导学生将所学知识运用于实际问题当中。此外，数学教师还要知道学生的学习疑难点以及准备用什么样的教学策略来解决这些疑难点等等，所有这些都需要数学教师将数学学科知识、学生思维特点方面的知识以及其他方面的知识融合起来，即需要MPCK。
2.教师要建构起自己的MPCK，将其内化为教师解释、认识、评价教学解题方法教学过程的框架和模型
MPCK不仅丰富了数学教师专业知识的学习内容，而且凸显数学教师专业知识的发展途径。解题是数学教师的一项基本功，在平时的教学过程中，教师要学会并适应将MPCK运用于数学课堂教学。MPCK 的实践性表明，教师知识的发展与教师的教学实践紧密联系。也就是说一名教师不可能仅仅通过阅读有关MPCK的知识而成为一名优秀教师，教师的学习离不开教学实践。正如西方学者奥卡肖特所言：“（有种知识）仅存在于实践中，并且获取它的唯一方法是通过学徒制来掌握。这并不是因为师傅能教他，而是因为这种惟有通过持续不断地与长期以来一直实践的人相接触才能获得。”同时，在整个教学实践学习过程中，教师需要仔细观察优秀教师的教学，用“心”学习其中的教学智慧，从而构建自己的MPCK。这样，才能使自己不断获得教育教学的真谛，才能使自己得到迅速的成长。
教师一旦建构起自己的MPCK，就会内化为教师解释、认识、评价教学事件的框架和模型，并以这种框架或模型去分析、论证、评价教学中的问题，形成个人独有的处理各种教学问题的原则和方法。正如人们常说的“教学既是科学也是艺术”，数学教学科学化即为数学教师的专业化，数学教师需要专门的职业训练，也要有特殊的职业要求。以上案例表明开展MPCK的研究，优化数学教师的MPCK对促进教师的专业化成长具有重要意义。我认为，选择代表性的案例对职初和在职教师进行定期的专业化培训，从不同的角度向教师演绎高等数学中所蕴含的解题方法及数学思想，引导教师在初、高中数学与高等数学之间建立纵向联系，丰富教师的数学内容知识（MK）和数学教学方法知识（MPK），前移数学研究的立足点等，是帮助中学数学教师的MPCK的发展与重建，提高自身数学素养，从一般教师向高水平教师转化的一个有效途径。
四、结语
以上案例表明基于MPCK开展的研究数学解题方法教学的质量与数学教学的成败有着直接的关系，优化数学教师的MPCK对促进教师的专业化成长具有重要意义。教师不仅应将MPCK教育理论与教学实践相结合，而且教师要建构起自己的MPCK，将其内化为教师解释、认识、评价教学解题方法教学过程的框架和模型。这样才能有助于数学教师进一步加深对教师专业的认识，有助于教育学知识与学科知识更好的与教学实践相结合，有助于数学教师进一步发展专业知识。
参考文献
[1]朱红梅.PCK 视角下初中数学若干难点概念教学的研究[J].中学生数理化·教与学，2015，（6）：67.
[2]郑明筑.PCK视角下的数学概念教学——以“函数的单调性”一课为例[J].数学教学研究，2016，35（6）：16-19.
[3]杨小丽.勾股定理的MPCK内涵解析[J].数学通报，2011，50（3）：40-43.
[4]贺明荣.浅析MPCK视角下的解题教学[J].中学数学，2013，（19）：27-29.
[5]陈子蔷，胡典顺，何穗.中国目前MPCK研究综述[J].数学教育学报，2012，21（5）：15-18.
[6]李渺，宁连华.数学教学内容知识（MPCK）的构成成分表现形式及其意义[J].数学教育学报，2011，20（2）：10-14.