论文部分内容阅读
本文运用当今金融领域描述条件方差最典型的GARCH族模型及其衍生模型PARCH和EGARCH模型，分别在正态分布及能刻画其尖峰厚尾特征的分布（GED分布和t分布）假定下，对道琼斯指数对数日收益率的波动性进行实证分析，并将结果做了对比分析，最终选定了在t、GED、正态分布下的拟合最有效的EGAECH模型进行VaR值的计算，采用失败频率检验法对基于EGARCH-GED、EGARCH-t 、EGARCH-n分布模型的VaR 方法作出评价。
一、研究背景
道琼斯指数是在历史上最先发明的股票指数，早在1884年，道琼斯公司的创办人查尔斯.亨利.道就开始编制它，它是一种算数平均数股价指数。在金融市场中，股票的价格会出现一定程度的波动，而且显现出波动集群的特点，即在一段时间内波动幅度非常之大，但在一段时间内几乎没有变化，呈现出明显的异方差性。因此，精确地度量道琼斯指数投资的风险、收益对投资者決策具有十分重要的现实意义。
二、实证分析
（一）数据来源
通过登录investing.com网站获取2008年1月2日到2017年12月15日的道琼斯指数每个交易日的收盘价，数据单位为美元，共有2580个观测数据。
（二）数据处理
道琼斯指数的收益率形式。道琼斯指数收益率采取自然对数收益率的形式，即：
rt=lnpt-lnpt-1
其中，pt道琼斯指数每日收盘价；pt-1为道琼斯指数前一日收盘价。
（三）数据基本分析
1.道琼斯指数对数日收益率的基本统计特征。利用Eviews7.0可以做出道琼斯对数日收益率的对数进行正态性检验，检验结果见下图，可以得到样本期收益率的期望为0.0237%，偏度为0.251671， 峰度为19.96258，JB 检验值为30946.11，概率p值为0.000，表明样本期内收益率序列分布在极的的置信水平下异于正态分布，而且表现出明显的尖峰和肥尾特征。
2.数据的其他特征分析。
（1）道琼斯指数对数收益率的时间序列特征分析。从图中能够看出收益率序列存在波动集群效应（一次大的变动后往往伴随着大的变动，而一次小的变动后对应小的变动）。
（2）道琼斯指数对数日收益率的时间序列的平稳性检验。
从检验结果来看，道琼斯指数对数日收益率在95%的置信水平下是非常平稳的。
（3）道琼斯对数日收益率序列的自相关检验（Q检验）。
对道琼斯指数对数收益率滞后5阶进行检验，从自相关检验结果来看，道琼斯指数对数日收益率有明显的自相关。
（4）道琼斯对数日收益率序列的异方差检验（道琼斯指数对数日收益率的平方序列的Q检验）。
对道琼斯对数日收益率的平方序列就进行Q检验，即对道琼斯指数日对数收益率进行异方差检验，发现道琼斯对数收益率序列存在显著的异方差，而且是存在高阶的异方差。
（四）GARCH族模型的建立
该金融时间序列既存在自相关也存在异方差，由于异方差特征更为明显，其自相关可能是由于异方差引起的，故考虑先对异方差进行处理。（注：尝试先对序列建立AR（3）消除自相关后再对异方差进行处理建立GARCH族模型，然而发现GARCH族模型中AR（3）的参数检验均未通过，参数均不显著，故最终选择直接建立收益方程后建立GARCH族模型）。由Q检验可以看出道琼斯指数对数日收益率平方项序列存在高阶自相关，为了避免产生更高的移动平均阶数并保证模型的拟合精度，直接开始构建低阶的GARCH族模型。
（1）基于正态分布的GARCH族模型的建立。
先对收益率序列建立收益方程，假定残差服从标准正态分布，再对建立GARCH族模型，得到参数值和显著性水平如下图：
从模型估计的参数结果中可以看出，在95%的置信水平下，GARCH和EGARCH模型的各个参数均显著。再对模型残差序列做Q自相关检验和残差平方序列做自相关Q检验，即异方差检验，检验结果略去，发现模型已经显著消除了自相关和异方差效应，模型拟合良好。
GARCH 模型的系数在1% 显著性水平上不为零 ，表明存在道琼斯指数对数收益率具有长期记忆性 ，道琼斯指数对数日收益率的相应系数β_1为0.821679，小于 1，表示收益率波动率前期波动对本期波动的影响呈衰减趋势。从长期效应来说，ARCH和GARCH各系数小于1，说明条件异方差平稳自身能保持平稳 ，不需要外力的干扰 。
综合参数显著性水平和比较AIC值的大小，发现EGARCH模型参数显著，且拟合最优。写出EGARCH模型的表达式如下：
rt=0.000327+εt
EGARCH模型中的γ1=-0.15312，小于0，当出现正新息时，则方差会变小，波动会变小，当出现负新息时，波动会变大，相同单位的正新息冲击的波动影响比负新息
的冲击要大，说明新息对道琼斯指数对数日收益率的变动具有不对称性。而PARCH模型，γ_1不为0，表明系统中有杠杆效应，与EGARCH模型结果相互印证。
（2）基于t分布的GARCH族模型的建立。
先建立收益率序列的收益方程，假定残差服从t分布，再对建立GARCH族模型，得到参数值和显著性水平如下图：
从模型估计的参数结果中可以看出，在1%的显著水平上，GARCH和EGARCH模型的各个参数均显著。再对残差做Q自相关检验和残差平方序列做自相关Q检验，即异方差检验，检验结果略去，发现模型已经显著消除了自相关和异方差效应，模型拟合良好。综合参数显著性水平和比较AIC值的大小，发现EGARCH模型参数显著，且拟合最优。同上，EGARCH和PARCH说明系统存在杠杆效应。 （3）基于GED分布的GARCH族模型的建立。
先對收益率序列建立收益方程，假定残差服从GED分布，再对建立GARCH族模型，得到参数值和显著性水平如下图：
从模型估计的参数结果中可以看出，在5%的显著水平上，GARCH和EGARCH模型的各个参数均显著。再对残差做Q自相关检验和残差平方序列做自相关Q检验，即异方差检验，检验结果略去，发现模型已经显著消除了自相关和异方差效应，模型拟合良好。可以看到GED中自由度显著小于2，印证了假定残差序列服从GED分布的合理性。综合参数显著性水平和比较AIC值的大小，发现EGARCH模型参数通过检验，且拟合最优。同上，EGARCH和PARCH表明系统存在杠杆效应。
（五）VaR值的计算
综合上面9个模型，可以发现模型中残差服从GED、t和标准正态分布下的EGARCH模型拟合最优，且参数全部显著，故使用从GED、t和标准正态分布下的EGARCH模型进行VaR值的计算，从公式可知，要计算日VaR_t值，还需求出均值u，条件方差标准差和给定置信水平下GED 分布、t和标准正态分布的分位数。在EGARCH（1，1）-GED模型，可以直接得到均值u；标准差（T = 2，3，4，…2580，）序列，可利用Eviews7.0 生成GARCH 方差序列，得到条件方差σ_t^2后，再对其开方获得条件标准差；分别给定置信水平为95%，运用Eviews7.0的逆累积分布函数，通过执行语句scalar s=@qged（0.05，1.236233）可获得自由度为1.236233的GED 分布的置信水平为95%的分位数，同理可得标准正态分布以及t分布的分位数。再通过公式计算可以得到2008年1月3日到2017年12月05日的每日VaR值序列，共有2579个数据。其中VaR值基本信息如下图所示。
（六）模型的检验
在95%置信水平下，比较估计的VaR值和 对数日收益率在第t 天的实际损失值，若实际损失值大于VaR 值，则计作失败；对2579天的失败数加总，可得到道琼斯指数收益率返回检验的失败个数，检验结果下图 所示。
直观上可以观察到GED分布和正态分布假定下的失败率均接近5%，拟合良好。通过失败频率检验法来进一步检验模型的有效性，GED分布通过计算置信水平为95%的LR统计量为3.4446，小于自由度为1的x2统计量3.841，不能拒绝原假设，认为失败率等于预先设定的VaR 置信度5%，认为该检验有效。t分布LR 统计量为7.334883，大于自由度为1的x2统计量3.841拒绝原假设，认为失败率不等于预先设定的VaR 置信度5%，模型拟合无效。正态分布LR 统计量1.784545，不能拒绝原假设，认为失败率等于预先设定的VaR 显著性水平5%，模型拟合良好。故最终认为在本案例研究中，GED分布和正态分布对VaR值拟合较好。
三、结语
第一，本文的研究表明道琼斯指数对数日收益率具有波动集聚性。一次大的变动后面往往也会引致大的变动，一次小的变动后面则容易产生较小的波动，道琼斯指数对数日收益率呈现尖峰肥尾的特征。
第二，道琼斯指数日对数收益率序列存在明显的杠杆效应，负新息引起的波动比同样大小的正新息更大些。其中，在对杠杆效应进行拟合的模型中，EGARCH模型比PARCH模型更好。
第三，在不同分布假定中的对道琼斯指数对数日收益率的拟合中，比较模型的AIC值，可以发现，GED分布拟合优于t分布拟合，t分布拟合比正态分布拟合更精准，说明采用尖峰肥尾分布的模型能更好的刻画道琼斯指数对数日收益率。
第四，在对VaR值度量时，发现残差序列在尖峰厚尾的分布下，用正态分布拟合的VaR值也有效，甚至比反映残差的尖峰肥尾特征的t分布和GED分布还要好，可能与案例研究选取的样本数据时间和道琼斯指数日对数收益率风险大小有关。总体上，EGARCH模型对VaR值的拟合最佳。（作者单位为郑州大学新校区）
一、研究背景
道琼斯指数是在历史上最先发明的股票指数，早在1884年，道琼斯公司的创办人查尔斯.亨利.道就开始编制它，它是一种算数平均数股价指数。在金融市场中，股票的价格会出现一定程度的波动，而且显现出波动集群的特点，即在一段时间内波动幅度非常之大，但在一段时间内几乎没有变化，呈现出明显的异方差性。因此，精确地度量道琼斯指数投资的风险、收益对投资者決策具有十分重要的现实意义。
二、实证分析
（一）数据来源
通过登录investing.com网站获取2008年1月2日到2017年12月15日的道琼斯指数每个交易日的收盘价，数据单位为美元，共有2580个观测数据。
（二）数据处理
道琼斯指数的收益率形式。道琼斯指数收益率采取自然对数收益率的形式，即：
rt=lnpt-lnpt-1
其中，pt道琼斯指数每日收盘价；pt-1为道琼斯指数前一日收盘价。
（三）数据基本分析
1.道琼斯指数对数日收益率的基本统计特征。利用Eviews7.0可以做出道琼斯对数日收益率的对数进行正态性检验，检验结果见下图，可以得到样本期收益率的期望为0.0237%，偏度为0.251671， 峰度为19.96258，JB 检验值为30946.11，概率p值为0.000，表明样本期内收益率序列分布在极的的置信水平下异于正态分布，而且表现出明显的尖峰和肥尾特征。
2.数据的其他特征分析。
（1）道琼斯指数对数收益率的时间序列特征分析。从图中能够看出收益率序列存在波动集群效应（一次大的变动后往往伴随着大的变动，而一次小的变动后对应小的变动）。
（2）道琼斯指数对数日收益率的时间序列的平稳性检验。
从检验结果来看，道琼斯指数对数日收益率在95%的置信水平下是非常平稳的。
（3）道琼斯对数日收益率序列的自相关检验（Q检验）。
对道琼斯指数对数收益率滞后5阶进行检验，从自相关检验结果来看，道琼斯指数对数日收益率有明显的自相关。
（4）道琼斯对数日收益率序列的异方差检验（道琼斯指数对数日收益率的平方序列的Q检验）。
对道琼斯对数日收益率的平方序列就进行Q检验，即对道琼斯指数日对数收益率进行异方差检验，发现道琼斯对数收益率序列存在显著的异方差，而且是存在高阶的异方差。
（四）GARCH族模型的建立
该金融时间序列既存在自相关也存在异方差，由于异方差特征更为明显，其自相关可能是由于异方差引起的，故考虑先对异方差进行处理。（注：尝试先对序列建立AR（3）消除自相关后再对异方差进行处理建立GARCH族模型，然而发现GARCH族模型中AR（3）的参数检验均未通过，参数均不显著，故最终选择直接建立收益方程后建立GARCH族模型）。由Q检验可以看出道琼斯指数对数日收益率平方项序列存在高阶自相关，为了避免产生更高的移动平均阶数并保证模型的拟合精度，直接开始构建低阶的GARCH族模型。
（1）基于正态分布的GARCH族模型的建立。
先对收益率序列建立收益方程，假定残差服从标准正态分布，再对建立GARCH族模型，得到参数值和显著性水平如下图：
从模型估计的参数结果中可以看出，在95%的置信水平下，GARCH和EGARCH模型的各个参数均显著。再对模型残差序列做Q自相关检验和残差平方序列做自相关Q检验，即异方差检验，检验结果略去，发现模型已经显著消除了自相关和异方差效应，模型拟合良好。
GARCH 模型的系数在1% 显著性水平上不为零 ，表明存在道琼斯指数对数收益率具有长期记忆性 ，道琼斯指数对数日收益率的相应系数β_1为0.821679，小于 1，表示收益率波动率前期波动对本期波动的影响呈衰减趋势。从长期效应来说，ARCH和GARCH各系数小于1，说明条件异方差平稳自身能保持平稳 ，不需要外力的干扰 。
综合参数显著性水平和比较AIC值的大小，发现EGARCH模型参数显著，且拟合最优。写出EGARCH模型的表达式如下：
rt=0.000327+εt
EGARCH模型中的γ1=-0.15312，小于0，当出现正新息时，则方差会变小，波动会变小，当出现负新息时，波动会变大，相同单位的正新息冲击的波动影响比负新息
的冲击要大，说明新息对道琼斯指数对数日收益率的变动具有不对称性。而PARCH模型，γ_1不为0，表明系统中有杠杆效应，与EGARCH模型结果相互印证。
（2）基于t分布的GARCH族模型的建立。
先建立收益率序列的收益方程，假定残差服从t分布，再对建立GARCH族模型，得到参数值和显著性水平如下图：
从模型估计的参数结果中可以看出，在1%的显著水平上，GARCH和EGARCH模型的各个参数均显著。再对残差做Q自相关检验和残差平方序列做自相关Q检验，即异方差检验，检验结果略去，发现模型已经显著消除了自相关和异方差效应，模型拟合良好。综合参数显著性水平和比较AIC值的大小，发现EGARCH模型参数显著，且拟合最优。同上，EGARCH和PARCH说明系统存在杠杆效应。 （3）基于GED分布的GARCH族模型的建立。
先對收益率序列建立收益方程，假定残差服从GED分布，再对建立GARCH族模型，得到参数值和显著性水平如下图：
从模型估计的参数结果中可以看出，在5%的显著水平上，GARCH和EGARCH模型的各个参数均显著。再对残差做Q自相关检验和残差平方序列做自相关Q检验，即异方差检验，检验结果略去，发现模型已经显著消除了自相关和异方差效应，模型拟合良好。可以看到GED中自由度显著小于2，印证了假定残差序列服从GED分布的合理性。综合参数显著性水平和比较AIC值的大小，发现EGARCH模型参数通过检验，且拟合最优。同上，EGARCH和PARCH表明系统存在杠杆效应。
（五）VaR值的计算
综合上面9个模型，可以发现模型中残差服从GED、t和标准正态分布下的EGARCH模型拟合最优，且参数全部显著，故使用从GED、t和标准正态分布下的EGARCH模型进行VaR值的计算，从公式可知，要计算日VaR_t值，还需求出均值u，条件方差标准差和给定置信水平下GED 分布、t和标准正态分布的分位数。在EGARCH（1，1）-GED模型，可以直接得到均值u；标准差（T = 2，3，4，…2580，）序列，可利用Eviews7.0 生成GARCH 方差序列，得到条件方差σ_t^2后，再对其开方获得条件标准差；分别给定置信水平为95%，运用Eviews7.0的逆累积分布函数，通过执行语句scalar s=@qged（0.05，1.236233）可获得自由度为1.236233的GED 分布的置信水平为95%的分位数，同理可得标准正态分布以及t分布的分位数。再通过公式计算可以得到2008年1月3日到2017年12月05日的每日VaR值序列，共有2579个数据。其中VaR值基本信息如下图所示。
（六）模型的检验
在95%置信水平下，比较估计的VaR值和 对数日收益率在第t 天的实际损失值，若实际损失值大于VaR 值，则计作失败；对2579天的失败数加总，可得到道琼斯指数收益率返回检验的失败个数，检验结果下图 所示。
直观上可以观察到GED分布和正态分布假定下的失败率均接近5%，拟合良好。通过失败频率检验法来进一步检验模型的有效性，GED分布通过计算置信水平为95%的LR统计量为3.4446，小于自由度为1的x2统计量3.841，不能拒绝原假设，认为失败率等于预先设定的VaR 置信度5%，认为该检验有效。t分布LR 统计量为7.334883，大于自由度为1的x2统计量3.841拒绝原假设，认为失败率不等于预先设定的VaR 置信度5%，模型拟合无效。正态分布LR 统计量1.784545，不能拒绝原假设，认为失败率等于预先设定的VaR 显著性水平5%，模型拟合良好。故最终认为在本案例研究中，GED分布和正态分布对VaR值拟合较好。
三、结语
第一，本文的研究表明道琼斯指数对数日收益率具有波动集聚性。一次大的变动后面往往也会引致大的变动，一次小的变动后面则容易产生较小的波动，道琼斯指数对数日收益率呈现尖峰肥尾的特征。
第二，道琼斯指数日对数收益率序列存在明显的杠杆效应，负新息引起的波动比同样大小的正新息更大些。其中，在对杠杆效应进行拟合的模型中，EGARCH模型比PARCH模型更好。
第三，在不同分布假定中的对道琼斯指数对数日收益率的拟合中，比较模型的AIC值，可以发现，GED分布拟合优于t分布拟合，t分布拟合比正态分布拟合更精准，说明采用尖峰肥尾分布的模型能更好的刻画道琼斯指数对数日收益率。
第四，在对VaR值度量时，发现残差序列在尖峰厚尾的分布下，用正态分布拟合的VaR值也有效，甚至比反映残差的尖峰肥尾特征的t分布和GED分布还要好，可能与案例研究选取的样本数据时间和道琼斯指数日对数收益率风险大小有关。总体上，EGARCH模型对VaR值的拟合最佳。（作者单位为郑州大学新校区）