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摘要 有效教学的理念越来越为广大教师所接受，大家都在探索、实践着这种理念。新课程所提倡的自主探究、小组合作的学习方式也被老师们所广泛运用，从各种公开课、研究课、随堂课上都能见到其身影。由于教师对有效教学理念的认识上存在差异，导致了诸多的课堂教学虽冠以“有效”之名，而无“有效”之实。以三个课堂教学实例，分别阐述被引入误区的三种学习方式，力图使大家对有效教学有正确的认识。
关键词 有效教学 动手实践 自主探究 小组合作
何谓有效教学的“无效”形式?其实质意义是指打着有效教学的旗号，进行着看似有效，而实为低效甚至无效的教学。众所周知，新课程改革以来，有效教学的理念越发深入人心，新课程所提倡的自主探究、小组合作的学习方式被实践者们广泛运用于课堂教学。《数学课程标准》也指出：“有效的数学学习活动不能单纯的依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”“数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。”但是，由于教师个体对新课程理念特别是有效教学理论的认识差异，导致众多的课堂教学虽冠以“有效”之名，而无“有效”之实。
下面，本人就以几个案例谈谈有效教学被引入误区的几种形式，与大家商榷。
一、动手实践：该“动手”时就“动手”
[案例]《分类》——本节课，一年级学生初步学习“分类”，教师主要设计了以下活动：活动1：老师带来很多实物，有毛绒玩具、大大卷、饼干、本子、玩具魔方、玩具大鲨鱼等。教师要求把这些是一类的东西放在一起。活动2：呈现一张模拟“文具商店”的图片，让学生观察“文具商店”里物品是怎样摆放的，并说一说，哪些“物品”摆放在一起。活动3：两人一组，把手中的小卡片进行分类。学生手中的小卡片大约有20张，主要涉及：各种图形，三角形、平行四边形、圆形等，而同样形状的图片又分成两大类，一类是“空白”的，一类是涂成“黑色”的，各种小动物，包括鸡、鸭、猪、牛等，还有螃蟹、大虾、鱼等；各种蔬菜水果。活动4：按照老师的指令来摆图片。活动5：把6张纸片进行分类。这6张纸片是“圆形”和“正方形”各3张，其中大小各不相同(都是大、中、小)，“正方形”纸片是粉色的1张，红色的2张，“圆形”纸片是粉色2张，蓝色1张。
[分析]《分类》是一年级的教学内容，它是在学生较少的相关生活经验的基础上进行的。目的是培养学生能从根据事物的非本质的、表面的特征把事物进行归类，发展到根据事物的功用进行分类，最后能够根据客观事物抽象、本质的特征进行分类的能力，促进逻辑思维能力的发展。从上面的案例中，我们可以看到，教师为了让学生理解分类，设计了很多的操作活动，但是，这些操作活动真的有效吗?
活动l的设计本意是让学生初步体会分类的意义，但实际上，由于这个活动的价值不大(玩具数量不多，分类的目的性不强)，所以学生很可能体会不到分类的意义。活动2意图是让学生体会到分类摆放物品后，拿起来更方便，但在课堂中，教师在时间上的控制导致了该环节活动不充分。活动3是学生的独立动手操作，其分类标准不同，导致分类也各不相同。活动4中，学生按部就班地根据老师的指令进行分类，这个活动比较容易，但是，这个活动的价值在哪里?活动5的分类到了抽象的程度，是一个很好的活动，但教师对活动展开不充分，使课堂显得仓促。
纵观全课，短短的35分钟，教师设计了5个活动，其中学生动手操作达半堂课之久，那么，这样动手操作发挥实效了吗?从该课的教学效果来看，答案是否定的，其原因何在?笔者认为，至少有以下两点未把握好：第一，操作活动过多，导致了操作活动不充分，进而导致操作低效甚至无效，第二，对动手操作没有正确认识，我们设计操作活动的目的是什么?课堂教学仅是为了有丰富多彩的操作活动吗?
[思考]由此可见，虽然动手实践是促进学生有效学习的途径，但并非设计大量的动手实践，教学过程就一定是有效的。那么，我们在教学中应该如何把握动手实践呢?笔者认为，应该做到以下3点：
1.该“动手”时就“动手”。数学教学要让学生经历过程，这是课标中倡导的重要理念之一，所谓“经历”是指在特定的数学活动中，获得一些初步的经验，因此，要经历就必须有一个现实的活动情境，让学生通过动手操作，感受数学、理解数学。如对于平行四边形是不是轴对称图形，学生们总有不同的意见，这时可让学生通过实践操作来证明自己的猜想。这时动手操作显得如此必要，而且很有实效。
2.若“动手”时应“充分”。动手操作与讲授很大的不同之处在于，动手操作需要一定的时间，而讲授需时较少。所以，一旦动手实践，教师应该考虑到时间安排，要给予学生充足的时间进行操作，否则便会像上述案例一样，收效甚微。换句话说，教学过程中要让学生的思维积极、完全地参与其中，没有学生思维的参与，即使再多的操作实践都是无效的。
3.不该动时勿动手。我们提倡动手实践，但从上面的案例中可以得到提示：并非所有的活动都需让学生动手，也并非活动越多，教学就越有实效。重复、机械地动手操作来获得教师甚至学生事先已经知道的结论，还不如让学生共同来分析、归纳没有达到“结论”的原因，寻求原因的思维过程中的收获在某种程序上要比得出一个结论重要得多。因此，当动手实践显得多余的时候，可以让学生进行思考，不该动手时勿动手。
二、自主探究：学生到底需要什么样的“探究”
[案例]《圆的面积》的三种探究
第一种探究：复习平行四边形面积公式的推导过程，然后引导学生将圆平均分成若干个扇形。接着，教师给学生比较充分的探究时间，鼓励他们将这些扇形拼成近似的长方形、平行四边形、梯形和三角形(如下图)，然后教师选择其中一种，引导学生推导圆的面积的计算公式。
第二种探究：从实际问题引入，使学生产生探索圆的面积计算方法的愿望。接着，教师还是引导学生将圆分成若干个扇形，并将它们拼成一个近似的平行四边形。然后，教师把重点放在公式的推导过程上，给学生较长的探究时间，鼓励他们用不同的份数进行推导，即尽管都是拼成近似的平行四边形，但由于拼的份数不一样，中间的推导过程也是不一样的(如下图)。引导学生体会用不同的份数都可以推导出圆面积的计算公式。
第三种探究：教师一开始就给学生较大的探究空间，鼓励学生自由尝试解决圆的面积的计算方法。
(1)在圆中画出一个内接正方形(如图1)。学生：我们在圆中画一个正方形，这个正方形的面积可以求出，但多余的8块图形面积不知道如何求?
(2)在圆中画小方格(如图2)。学生：我们用数方格的方法来求圆的面积，中间正好满格的可以数出来，但旁边不满一格的不知怎么办?
(3)利用圆半径为边长画正方形(如图3)。学生：通过这样的方法，我们知道了圆的面积大概是正方形面积(r2)的3倍多一点(即圆的面积≈r×r×3)。
(4)“切蛋糕”法求圆的面积(如下图)。学生：我们把圆切割成形状、大小都完全相同的小扇形，然后把这些扇形重新拼成我们以前学过的图形来求圆的面积。
[分析]以上《圆的面积》的三种探究方式，侧重各不相同。第一种探究侧重于将16个扇形拼成不同的图形，在拼上下功夫；第二种探究侧重于进行多种角度的推导，也就是在推导上下功夫；第三种探究重视学生的原认知，给学生较为广阔的探究空间，其实质是侧重于数学思想的渗透，培养学生的探究精神和探究意识。下面，让我们一起来分析三种探究背后所蕴涵的数学本质，进而进一步深刻认识学生所需要的探究方式。
第一种探究：将16个扇形拼成不同的图形，其本质是“转化”的数学思想，这是数学学习中解决新知的一个基本方法，将“未知”通过一定的方法转化成“已知”，进而解决问题。我们可以看到，实际上，后面的两种探究中都用到了这种数学思想，只不过在这里进行了多重强化，其实质意义是有限的。
第二种探究：进行多种角度的推导。圆是曲边形，要解决圆面积的计算方法，其重要方法之一就是以曲代直，我们可以看到，案例中教师将探究重点放在推导而不在于发现，换言之，教师设计探究活动的背后在于“极限思想”的渗透。
第三种探究：在这里，学生所发现的几种方法，也都蕴涵了重要的数学思想，我们逐个来看。(1)内接正方形法：无论是内接还是外切正方形，其本质都是用“直”代“曲”，至于此方法中剩下的部分，教师可引导学生能不能用形似的三角形代替?平分后类似三角形的曲边形能不能再用一个小的三角形来代替?如果把所有的圆上的这些点连在一起，就是一些正多边形，这实际上就是刘徽的割圆术。这表明，学生的想法与教材的想法也是一致的，教材不也在割圆吗?无非是为了让学生更好地体会，教材把圆割成小扇形后，将这些小扇形重新进行了拼摆。(2)画方格法：学生这种想法应该来自于最初求面积度量的学习，就是数面积单位的个数。这种想法是最原始的，但同时也应该是有价值的想法。如果小方格再细分，与圆的面积就会越接近。学生的这个思想，既有对面积度量的一种本质认识，同时也提供了以直代曲的一种思想。(3)用圆半径为边长画正方形法：这种想法实际上是上述两种方法综合而成的产物，它初步概括了圆的面积大概是它的半径平方的3倍多一些。(4)“切蛋糕”法：它与第二种探究中的方法相同，但侧重不同。为什么要切成蛋糕形状?我们处理曲线图形的测量，无非要将它转化为直线。但是要用直的代替曲的话，就需要细分很多段，这样用直的代替曲的误差就不会太大。这就是“切蛋糕”一法的本实用意，而且切了8份切16份，再切32份，也就是极限的思想。
[思考]从上述分析我们不难发现，虽然同为探究，但三种探究其内涵各不相同，导致这种结果的根源在于教师对数学有效教学本质把握的各不相同。那么，对于学生来说，究竟需要什么样的探究呢?
1.学生需要的探究应有一定的“探究空间”。探究内容要合适。很明显，圆的面积的计算方法是适合学生探究的。在小学数学的知识领域，并不是所有的内容都适宜于探究，有些内容适合讲授，有些数学技巧的培养需要通过练习，而像法则、性质、定律、公式、规律等内容则比较适宜于学生探究。
2.学生需要的探究应有一定的“探究策略”。自主探究不是放任自流，因此，在探究过程中，教师应适当的给予启发、引导，但同时要给予学生充分的探索时间与空间。在引导学生探究的过程中，教师要启发和引导学生积极发现问题，从活动的内容或从别人的发言中产生自己的想法，鼓励学生展开充分的、给内容以合理的补充和扩展，让学生对同一个问题从多个不同角度大胆去探究。从本案例的第三种探究中，我们可以看到教师在这方面的大胆尝试。
3.学生需要的探究应有一定的“探究内涵”。探究内涵实指探究行为背后所蕴含的数学本质。如案例所示，三种探究其内涵各不相同，虽然前两种探究花时不多，而且指向明确，但在本案例中，第三种探究却是学生最喜爱的，因为它更能促进学生对数学本质的把握。尽管在探究时它所花的时间最多，甚至某些想法并不能直接得到圆面积的计算方法，但这丝毫不影响学生对此内容的探究。
三、小组合作：究竟为什么要“合作”?
[案例]片段1：《直线、射线和角》——在认识了直线之后，教师要求学生说一说生活中的直线，半天没有学生举手，教师马上要求学生以小组为单位进行讨论，可结果还是令他失望。其实，在我们的生活中根本就没有直线，能找到的也只是直线的一部分。像这样不切实际的内容要求学生小组合作，完全没有必要，这也说明了执教的老师对知识的把握不够。
片段2：《三角形内角和》——在课前学生已备好了直尺、三角板、量角器、剪刀和三角形纸板数张。老师引导学生经过猜想三角形内角和为180度，让学生小组合作验证结论。学生兴趣浓厚，积极性非常高，大家剪剪、画画、拼拼，好像非要弄一个明白不可。一会儿，教师示意学生停止验证、探索，接着用多媒体课件演示、验证教材上的拼剪方法。
片段3：《倍数和因数》——教学了倍数和因数的概念，学生在教师引导下完成了“找一个数的因数”的学习，接着学习“找一个数的倍数”。教师进行了如下设计，让学生通过小组合作探索“一个数的倍数”的有关规律：
□找出3的倍数，我们是这样想的(任选一种想法)：
3×1=( ) ( )÷3=1
3×2=( ) ( )÷3=2
3×3=( ) ( )÷3=3
所以，3的倍数有__________________。
□我们还准备找出_________的倍数，我们是这样想的(任选一种想法)：
( )×1=( ) ( )÷( )=1
( )×2=( ) ( )÷( )=2
( )×3=( ) ( )÷( )=3
……
所以，_________的倍数有__________________。
□通过找以上两个数的倍数，我们发现：
(1)__________________。
(2)__________________。
(3)__________________。
[分析]上述三个案例都采用了小组合作的形式，但其效果却迥然不同。
片段1：教师采用小组合作的形式，仅仅是因为学生的回答出现了困难，当学生学习出现难点时，有时合作讨论确实可以起到一定的作用，但该教师在此处运用合作时机不对。尚且不说生活中找不到抽象的直线的例子，就是有，那么这样的小组合作有什么意义呢?学生通过这样的合作能有什么获得呢?简言之，该教学内容是不适用小组合作的。
片段2：其合作的内容选择得较为恰当，不当之处在于给学生合作交流的时间太少了!当学生兴趣正浓的时候，教师中断了学生的合作讨论。很明显，合作并没有结束，学生仍然处于积极的探索之中，但教师的传统教学观仍然没有解放，要说合作也是在传统教学观念下的合作学习。显然，这是一种没有实际意义的 合作学习，是一种形式。如果合作仅仅是为了体现“合作”，那么这样的合作不要也罢!
片段3：给了我们较好的启示，其合作的形式体现在两个方面。①找一个数的倍数的规律是单个个体无法单独完成的，小组合作应运而用；②小组与小组之间的合作也相当益彰，当小组间进行交流后，不同的小组进行了不同的探索，汇总后又对“一个数的倍数的规律”进行了验证，合作效果显而易见!
[思考]上述案例给予我们怎样思考?我们为什么要在数学学习中提倡小组合作?我们究竟如何才能有效地提高小组合作实效呢?笔者认为，要使小组合作这种学习方式真正产生实效，我们应当从以下几方面来把握：
1.把握合适的“学习内容”。合作学习一般用于以下几个方面：①方法不确定，答案不唯一的学习内容，②具有探究性和挑战性的学习内容，③个人无法完成的内容。一些操作性强，需要同伴的帮助才能完成的活动内容，适合通过小组合作学习完成。因此，在教学中，教师必须对教学内容有深刻地理解，若不考虑内容是否有价值，是否符合学生的认知规律而勉强进行合作，就会浪费学生的学习时间，这种浅层次的合作学习，必然熄灭学生合作的热情，打消学生真正合作交流的兴趣。
2.把握合适的“合作时间”。这里的合作时间有两层意思，一是时间点，即什么时候开始合作；二是时间段，即合作要多长时间。在开展合作学习的过程中，教师在教学中设置的问题应该尽可能与学生的“最近发展区”相适应，既要学生能够达到，又要有一定的难度，而又不能轻易达到。还要含有一定的趣味性，让学生觉得研讨这样的问题有劲、有趣、有意义，能促进思维的发展。相机开展小组合作探究、合作交流会更有效。此外，要给学生留足合作时间，不可过多，不可过少，过多浪费时间，少了则会流于形式。
3.把握合适的“合作指导”。合作学习的主体是学生，但教师在此过程中的指导作用不可或缺。合作前要让学生明确合作的任务、目标，要让学生独立思考，教师在合作中要参与合作，与学生共同探讨，对于合作中学生出现的问题要善于及时发现和及时补漏、有的放矢，在合作之后学生汇报时，老师要及时捕捉和激励学生回答中的闪光点，适时评价。教师应该为学生小组合作学习提供及时的点拨和指导，价值引导与自主建构相统一，从而使合作学习更为有效。
新课程改革至今已有多年，当大家都在运用新理念进行动手实践、自主探究、小组合作的时候，我们都应该认真思考其本真的含义。表面探究的背后若是浅层次的思考、外在动手的内涵却是无意义的操作，这些披着“有效”的外衣而实则“无效”的教学形式，都是新课程所要摒弃的，都是我们所要摒弃的!
关键词 有效教学 动手实践 自主探究 小组合作
何谓有效教学的“无效”形式?其实质意义是指打着有效教学的旗号，进行着看似有效，而实为低效甚至无效的教学。众所周知，新课程改革以来，有效教学的理念越发深入人心，新课程所提倡的自主探究、小组合作的学习方式被实践者们广泛运用于课堂教学。《数学课程标准》也指出：“有效的数学学习活动不能单纯的依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”“数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。”但是，由于教师个体对新课程理念特别是有效教学理论的认识差异，导致众多的课堂教学虽冠以“有效”之名，而无“有效”之实。
下面，本人就以几个案例谈谈有效教学被引入误区的几种形式，与大家商榷。
一、动手实践：该“动手”时就“动手”
[案例]《分类》——本节课，一年级学生初步学习“分类”，教师主要设计了以下活动：活动1：老师带来很多实物，有毛绒玩具、大大卷、饼干、本子、玩具魔方、玩具大鲨鱼等。教师要求把这些是一类的东西放在一起。活动2：呈现一张模拟“文具商店”的图片，让学生观察“文具商店”里物品是怎样摆放的，并说一说，哪些“物品”摆放在一起。活动3：两人一组，把手中的小卡片进行分类。学生手中的小卡片大约有20张，主要涉及：各种图形，三角形、平行四边形、圆形等，而同样形状的图片又分成两大类，一类是“空白”的，一类是涂成“黑色”的，各种小动物，包括鸡、鸭、猪、牛等，还有螃蟹、大虾、鱼等；各种蔬菜水果。活动4：按照老师的指令来摆图片。活动5：把6张纸片进行分类。这6张纸片是“圆形”和“正方形”各3张，其中大小各不相同(都是大、中、小)，“正方形”纸片是粉色的1张，红色的2张，“圆形”纸片是粉色2张，蓝色1张。
[分析]《分类》是一年级的教学内容，它是在学生较少的相关生活经验的基础上进行的。目的是培养学生能从根据事物的非本质的、表面的特征把事物进行归类，发展到根据事物的功用进行分类，最后能够根据客观事物抽象、本质的特征进行分类的能力，促进逻辑思维能力的发展。从上面的案例中，我们可以看到，教师为了让学生理解分类，设计了很多的操作活动，但是，这些操作活动真的有效吗?
活动l的设计本意是让学生初步体会分类的意义，但实际上，由于这个活动的价值不大(玩具数量不多，分类的目的性不强)，所以学生很可能体会不到分类的意义。活动2意图是让学生体会到分类摆放物品后，拿起来更方便，但在课堂中，教师在时间上的控制导致了该环节活动不充分。活动3是学生的独立动手操作，其分类标准不同，导致分类也各不相同。活动4中，学生按部就班地根据老师的指令进行分类，这个活动比较容易，但是，这个活动的价值在哪里?活动5的分类到了抽象的程度，是一个很好的活动，但教师对活动展开不充分，使课堂显得仓促。
纵观全课，短短的35分钟，教师设计了5个活动，其中学生动手操作达半堂课之久，那么，这样动手操作发挥实效了吗?从该课的教学效果来看，答案是否定的，其原因何在?笔者认为，至少有以下两点未把握好：第一，操作活动过多，导致了操作活动不充分，进而导致操作低效甚至无效，第二，对动手操作没有正确认识，我们设计操作活动的目的是什么?课堂教学仅是为了有丰富多彩的操作活动吗?
[思考]由此可见，虽然动手实践是促进学生有效学习的途径，但并非设计大量的动手实践，教学过程就一定是有效的。那么，我们在教学中应该如何把握动手实践呢?笔者认为，应该做到以下3点：
1.该“动手”时就“动手”。数学教学要让学生经历过程，这是课标中倡导的重要理念之一，所谓“经历”是指在特定的数学活动中，获得一些初步的经验，因此，要经历就必须有一个现实的活动情境，让学生通过动手操作，感受数学、理解数学。如对于平行四边形是不是轴对称图形，学生们总有不同的意见，这时可让学生通过实践操作来证明自己的猜想。这时动手操作显得如此必要，而且很有实效。
2.若“动手”时应“充分”。动手操作与讲授很大的不同之处在于，动手操作需要一定的时间，而讲授需时较少。所以，一旦动手实践，教师应该考虑到时间安排，要给予学生充足的时间进行操作，否则便会像上述案例一样，收效甚微。换句话说，教学过程中要让学生的思维积极、完全地参与其中，没有学生思维的参与，即使再多的操作实践都是无效的。
3.不该动时勿动手。我们提倡动手实践，但从上面的案例中可以得到提示：并非所有的活动都需让学生动手，也并非活动越多，教学就越有实效。重复、机械地动手操作来获得教师甚至学生事先已经知道的结论，还不如让学生共同来分析、归纳没有达到“结论”的原因，寻求原因的思维过程中的收获在某种程序上要比得出一个结论重要得多。因此，当动手实践显得多余的时候，可以让学生进行思考，不该动手时勿动手。
二、自主探究：学生到底需要什么样的“探究”
[案例]《圆的面积》的三种探究
第一种探究：复习平行四边形面积公式的推导过程，然后引导学生将圆平均分成若干个扇形。接着，教师给学生比较充分的探究时间，鼓励他们将这些扇形拼成近似的长方形、平行四边形、梯形和三角形(如下图)，然后教师选择其中一种，引导学生推导圆的面积的计算公式。
第二种探究：从实际问题引入，使学生产生探索圆的面积计算方法的愿望。接着，教师还是引导学生将圆分成若干个扇形，并将它们拼成一个近似的平行四边形。然后，教师把重点放在公式的推导过程上，给学生较长的探究时间，鼓励他们用不同的份数进行推导，即尽管都是拼成近似的平行四边形，但由于拼的份数不一样，中间的推导过程也是不一样的(如下图)。引导学生体会用不同的份数都可以推导出圆面积的计算公式。
第三种探究：教师一开始就给学生较大的探究空间，鼓励学生自由尝试解决圆的面积的计算方法。
(1)在圆中画出一个内接正方形(如图1)。学生：我们在圆中画一个正方形，这个正方形的面积可以求出，但多余的8块图形面积不知道如何求?
(2)在圆中画小方格(如图2)。学生：我们用数方格的方法来求圆的面积，中间正好满格的可以数出来，但旁边不满一格的不知怎么办?
(3)利用圆半径为边长画正方形(如图3)。学生：通过这样的方法，我们知道了圆的面积大概是正方形面积(r2)的3倍多一点(即圆的面积≈r×r×3)。
(4)“切蛋糕”法求圆的面积(如下图)。学生：我们把圆切割成形状、大小都完全相同的小扇形，然后把这些扇形重新拼成我们以前学过的图形来求圆的面积。
[分析]以上《圆的面积》的三种探究方式，侧重各不相同。第一种探究侧重于将16个扇形拼成不同的图形，在拼上下功夫；第二种探究侧重于进行多种角度的推导，也就是在推导上下功夫；第三种探究重视学生的原认知，给学生较为广阔的探究空间，其实质是侧重于数学思想的渗透，培养学生的探究精神和探究意识。下面，让我们一起来分析三种探究背后所蕴涵的数学本质，进而进一步深刻认识学生所需要的探究方式。
第一种探究：将16个扇形拼成不同的图形，其本质是“转化”的数学思想，这是数学学习中解决新知的一个基本方法，将“未知”通过一定的方法转化成“已知”，进而解决问题。我们可以看到，实际上，后面的两种探究中都用到了这种数学思想，只不过在这里进行了多重强化，其实质意义是有限的。
第二种探究：进行多种角度的推导。圆是曲边形，要解决圆面积的计算方法，其重要方法之一就是以曲代直，我们可以看到，案例中教师将探究重点放在推导而不在于发现，换言之，教师设计探究活动的背后在于“极限思想”的渗透。
第三种探究：在这里，学生所发现的几种方法，也都蕴涵了重要的数学思想，我们逐个来看。(1)内接正方形法：无论是内接还是外切正方形，其本质都是用“直”代“曲”，至于此方法中剩下的部分，教师可引导学生能不能用形似的三角形代替?平分后类似三角形的曲边形能不能再用一个小的三角形来代替?如果把所有的圆上的这些点连在一起，就是一些正多边形，这实际上就是刘徽的割圆术。这表明，学生的想法与教材的想法也是一致的，教材不也在割圆吗?无非是为了让学生更好地体会，教材把圆割成小扇形后，将这些小扇形重新进行了拼摆。(2)画方格法：学生这种想法应该来自于最初求面积度量的学习，就是数面积单位的个数。这种想法是最原始的，但同时也应该是有价值的想法。如果小方格再细分，与圆的面积就会越接近。学生的这个思想，既有对面积度量的一种本质认识，同时也提供了以直代曲的一种思想。(3)用圆半径为边长画正方形法：这种想法实际上是上述两种方法综合而成的产物，它初步概括了圆的面积大概是它的半径平方的3倍多一些。(4)“切蛋糕”法：它与第二种探究中的方法相同，但侧重不同。为什么要切成蛋糕形状?我们处理曲线图形的测量，无非要将它转化为直线。但是要用直的代替曲的话，就需要细分很多段，这样用直的代替曲的误差就不会太大。这就是“切蛋糕”一法的本实用意，而且切了8份切16份，再切32份，也就是极限的思想。
[思考]从上述分析我们不难发现，虽然同为探究，但三种探究其内涵各不相同，导致这种结果的根源在于教师对数学有效教学本质把握的各不相同。那么，对于学生来说，究竟需要什么样的探究呢?
1.学生需要的探究应有一定的“探究空间”。探究内容要合适。很明显，圆的面积的计算方法是适合学生探究的。在小学数学的知识领域，并不是所有的内容都适宜于探究，有些内容适合讲授，有些数学技巧的培养需要通过练习，而像法则、性质、定律、公式、规律等内容则比较适宜于学生探究。
2.学生需要的探究应有一定的“探究策略”。自主探究不是放任自流，因此，在探究过程中，教师应适当的给予启发、引导，但同时要给予学生充分的探索时间与空间。在引导学生探究的过程中，教师要启发和引导学生积极发现问题，从活动的内容或从别人的发言中产生自己的想法，鼓励学生展开充分的、给内容以合理的补充和扩展，让学生对同一个问题从多个不同角度大胆去探究。从本案例的第三种探究中，我们可以看到教师在这方面的大胆尝试。
3.学生需要的探究应有一定的“探究内涵”。探究内涵实指探究行为背后所蕴含的数学本质。如案例所示，三种探究其内涵各不相同，虽然前两种探究花时不多，而且指向明确，但在本案例中，第三种探究却是学生最喜爱的，因为它更能促进学生对数学本质的把握。尽管在探究时它所花的时间最多，甚至某些想法并不能直接得到圆面积的计算方法，但这丝毫不影响学生对此内容的探究。
三、小组合作：究竟为什么要“合作”?
[案例]片段1：《直线、射线和角》——在认识了直线之后，教师要求学生说一说生活中的直线，半天没有学生举手，教师马上要求学生以小组为单位进行讨论，可结果还是令他失望。其实，在我们的生活中根本就没有直线，能找到的也只是直线的一部分。像这样不切实际的内容要求学生小组合作，完全没有必要，这也说明了执教的老师对知识的把握不够。
片段2：《三角形内角和》——在课前学生已备好了直尺、三角板、量角器、剪刀和三角形纸板数张。老师引导学生经过猜想三角形内角和为180度，让学生小组合作验证结论。学生兴趣浓厚，积极性非常高，大家剪剪、画画、拼拼，好像非要弄一个明白不可。一会儿，教师示意学生停止验证、探索，接着用多媒体课件演示、验证教材上的拼剪方法。
片段3：《倍数和因数》——教学了倍数和因数的概念，学生在教师引导下完成了“找一个数的因数”的学习，接着学习“找一个数的倍数”。教师进行了如下设计，让学生通过小组合作探索“一个数的倍数”的有关规律：
□找出3的倍数，我们是这样想的(任选一种想法)：
3×1=( ) ( )÷3=1
3×2=( ) ( )÷3=2
3×3=( ) ( )÷3=3
所以，3的倍数有__________________。
□我们还准备找出_________的倍数，我们是这样想的(任选一种想法)：
( )×1=( ) ( )÷( )=1
( )×2=( ) ( )÷( )=2
( )×3=( ) ( )÷( )=3
……
所以，_________的倍数有__________________。
□通过找以上两个数的倍数，我们发现：
(1)__________________。
(2)__________________。
(3)__________________。
[分析]上述三个案例都采用了小组合作的形式，但其效果却迥然不同。
片段1：教师采用小组合作的形式，仅仅是因为学生的回答出现了困难，当学生学习出现难点时，有时合作讨论确实可以起到一定的作用，但该教师在此处运用合作时机不对。尚且不说生活中找不到抽象的直线的例子，就是有，那么这样的小组合作有什么意义呢?学生通过这样的合作能有什么获得呢?简言之，该教学内容是不适用小组合作的。
片段2：其合作的内容选择得较为恰当，不当之处在于给学生合作交流的时间太少了!当学生兴趣正浓的时候，教师中断了学生的合作讨论。很明显，合作并没有结束，学生仍然处于积极的探索之中，但教师的传统教学观仍然没有解放，要说合作也是在传统教学观念下的合作学习。显然，这是一种没有实际意义的 合作学习，是一种形式。如果合作仅仅是为了体现“合作”，那么这样的合作不要也罢!
片段3：给了我们较好的启示，其合作的形式体现在两个方面。①找一个数的倍数的规律是单个个体无法单独完成的，小组合作应运而用；②小组与小组之间的合作也相当益彰，当小组间进行交流后，不同的小组进行了不同的探索，汇总后又对“一个数的倍数的规律”进行了验证，合作效果显而易见!
[思考]上述案例给予我们怎样思考?我们为什么要在数学学习中提倡小组合作?我们究竟如何才能有效地提高小组合作实效呢?笔者认为，要使小组合作这种学习方式真正产生实效，我们应当从以下几方面来把握：
1.把握合适的“学习内容”。合作学习一般用于以下几个方面：①方法不确定，答案不唯一的学习内容，②具有探究性和挑战性的学习内容，③个人无法完成的内容。一些操作性强，需要同伴的帮助才能完成的活动内容，适合通过小组合作学习完成。因此，在教学中，教师必须对教学内容有深刻地理解，若不考虑内容是否有价值，是否符合学生的认知规律而勉强进行合作，就会浪费学生的学习时间，这种浅层次的合作学习，必然熄灭学生合作的热情，打消学生真正合作交流的兴趣。
2.把握合适的“合作时间”。这里的合作时间有两层意思，一是时间点，即什么时候开始合作；二是时间段，即合作要多长时间。在开展合作学习的过程中，教师在教学中设置的问题应该尽可能与学生的“最近发展区”相适应，既要学生能够达到，又要有一定的难度，而又不能轻易达到。还要含有一定的趣味性，让学生觉得研讨这样的问题有劲、有趣、有意义，能促进思维的发展。相机开展小组合作探究、合作交流会更有效。此外，要给学生留足合作时间，不可过多，不可过少，过多浪费时间，少了则会流于形式。
3.把握合适的“合作指导”。合作学习的主体是学生，但教师在此过程中的指导作用不可或缺。合作前要让学生明确合作的任务、目标，要让学生独立思考，教师在合作中要参与合作，与学生共同探讨，对于合作中学生出现的问题要善于及时发现和及时补漏、有的放矢，在合作之后学生汇报时，老师要及时捕捉和激励学生回答中的闪光点，适时评价。教师应该为学生小组合作学习提供及时的点拨和指导，价值引导与自主建构相统一，从而使合作学习更为有效。
新课程改革至今已有多年，当大家都在运用新理念进行动手实践、自主探究、小组合作的时候，我们都应该认真思考其本真的含义。表面探究的背后若是浅层次的思考、外在动手的内涵却是无意义的操作，这些披着“有效”的外衣而实则“无效”的教学形式，都是新课程所要摒弃的，都是我们所要摒弃的!