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山西孝义中学 032300
摘要：教师作为课堂的组织者、引导者、合作者，其重要任务是以生为本，树立和强化学生主体参与的意识，创设学生主体参与的良好环境，给予学生主体参与的机会和时间，让课堂成为学生思考探究、实践交流的平台.
关键词：以生为本；主体参与；思考探究；实践交流
《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“在高中数学教学中，教师讲授仍然是重要的教学方式之一，但要注意的是必须关注学生的主体参与和师生互动”，也就是说“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还应倡导自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式”. 作为数学课堂的组织者、引导者与合作者，教师的一个重要任务就是以生为本，树立和强化学生主体参与的意识，创设学生主体参与的良好环境，给予学生主体参与的机会和时间，让课堂成为学生思考探究、实践交流的平台. 本文以一道习题的教学为例，试图从这些方面进行尝试，恳请指正.
问题已知直线l：2x-ay-3=0，圆E：（x-2）2+y2=1（E为圆心），l与圆E交于相异两点M，N，求△MEN的面积S的最大值.
[M][l][x][y][O][E][P][N]
图1
师：请大家思考探索（让生1板演）.
生1：（板书）设E到l的距离为d，
则MN=2，
S=MN·d=d·
≤=.
（当且仅当=d即d=时，“＝”成立）
所以Smax=.
师：（没有急于评价）下面请同学们交流一下自己的做法或想法.
这时，生2站起来.
生2：我的做法是这样的.
设∠MEN=θ，S=ME·NE·sinθ=sinθ≤，
当θ=时，“＝”成立，
所以Smax=.
师：两位同学分别选d（圆心到直线的距离），θ（圆心角∠MEN）作为目标自变量，把目标函数S表示出来.
生3：（抢着说）他们都没有指出自变量的允许范围.
从同学们的表情来看，大家都支持生3的观点.
师：d，θ分别具有怎样的取值范围呢？
生4：因为d=，所以d∈0，
，
所以cos==，
所以≤<即≤θ<π.
生5：其实，l恒过定点P
，0，不论a 如何变化，d都满足0 生6：由自变量的范围可知，d取不到，θ取不到.
所以Smax不是，而应为S=sinθ≤sinπ=，
即Smax=.
师：同学们分析得很好，谁来说说
S=d0 ≤的最大值的求法呢？
生1：还是我来完善吧.
S=，
设m=d20 ≤，则S==.
所以当m=时，Smax==.
师：生1用最基本的方法（换元法、配方法）求出了最大值. 大家把目标函数S表示成目标自变量d（或θ）的函数后，一定要跟上相应的目标自变量的取值范围，进而求出最值，这就是所谓的“定义域优先”. 刚才生1、生2没有指出定义域导致解题错误的教训值得大家汲取.
师：同学们还有没有别的做法需要交流？
生7：我和前面同学的做法不一样，结果也是，不知道哪儿有错误.
（师把生7的做法展示出来）
请同学们帮助检查，哪儿考虑不周.
解析联立l与圆E的方程，消x得：
（a2+4）y2－2ay－3=0.
设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=，
所以y1-y2=
=，
所以MN=y1-y2·
=（l的斜率k=）.
E到l之距d=，
所以S=MN·d=.
令t=，则S==，
所以t+≥2，所以S≤，
所以Smax=.
（同学们细心地检查着）
师：发现问题了吗？
生8：生7对a缺少分类讨论.
当a≠0时，l的斜率存在时，
MN=y1-y2=才是正确的.
此时t>，所以t+>，所以S<.
当a＝0时，斜率不存在.
MN=y1-y2·就不正确了.
此时MN=y1-y2=，d=，
所以S=.
综上，Smax=.
师：生8分析得非常正确，生7明白了吗？（生7点头）生7敢于展示自己不太正确的做法，表现出他严谨治学、求真务实的学习品质，同时也为我们提供了一次好的学习素材. （对生7的质疑问难精神给予鼓励）
这时，生5发言了.
生5：生7同学可以避免对a的分类讨论.
l恒过定点P
，0，且EP=，
则S=S△EPM+S△EPN
=EP·y1-y2=y1-y2，
由于y1-y2=，
所以S=（a∈R）.
生5：（接着说）求最大值也可改进.
设t=（t≥），
则S==（t≥） ，
所以f（t）=t+（t≥）单调递增，
所以f（t）≥+=，
所以S≤=，
当t=，即a=0时，“＝”成立.
（同学们为生5的改进喝彩，课堂气氛空前高涨）
师：生5发现并利用了本题的隐含条件，由l过定点P
，0使解法回避了讨论，值得我们学习！
（学生们经历了艰苦的思考探索过程，体验到实践交流的快乐，因而一脸的愉悦，趁此引导同学们进行解题后的反思、回顾、总结，养成好的学习习惯）
师：（1）求S的表达式有几种思路？关键是什么？应注意什么？
（2）求S的最值用了哪些方法？应注意什么？
（3）比较上述方法的优劣，哪些方法具有一般性？哪些方法具有特殊性？
（4）上述方法涉及哪些数学思想和方法？
（师生共同回顾、反思、总结后，结束了本节课，并布置了变题）
变题1过点B（2，0）的直线l与曲线x2－y2=2相交于M，N两点，A（－2，0），求△AMN面积的最小值.
变题2过原点的直线与一焦点为F的椭圆：+=1（a>b>0）交于M，N两点，则△MNF的面积的最大值为多少？
[⇩]教学感受
1. 新课程理念下，教师要真正成为课堂的组织者、引导者与合作者，学生应由被动接收的地位，转变为积极思考探索、合作交流、动手实践、回顾反思的主体地位. 如果教师独霸课堂，只一味地介绍方法，虽然学生也许听得津津有味，但只能是被动接收，未能让学生去亲身探索和体验，其效果显然会大打折扣.
2. 获得知识与获得能力是两种完全不同的途径. 前者大量接受前人的知识，而能力是无法继承的，它只有在积极思考和实践中去领会. 因此，教师要大胆解放学生的思想，让他们主动去思考，解放学生的双手，让他们努力去实践. 在实践中让他们尝到思考的乐趣，享受到探索后的欢乐.
3. 教师应精心创设学生思考的氛围，留给学生思考的时间和空间，让学生“在游泳中学会游泳”. 在学生思考时，教师应不怕学生犯错误，要让学生懂得任何一件事成功的背后，都包含着探索的艰辛，从而培养学生严谨细致、追求真理的学习习惯及克服困难的勇气.
摘要：教师作为课堂的组织者、引导者、合作者，其重要任务是以生为本，树立和强化学生主体参与的意识，创设学生主体参与的良好环境，给予学生主体参与的机会和时间，让课堂成为学生思考探究、实践交流的平台.
关键词：以生为本；主体参与；思考探究；实践交流
《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“在高中数学教学中，教师讲授仍然是重要的教学方式之一，但要注意的是必须关注学生的主体参与和师生互动”，也就是说“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还应倡导自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式”. 作为数学课堂的组织者、引导者与合作者，教师的一个重要任务就是以生为本，树立和强化学生主体参与的意识，创设学生主体参与的良好环境，给予学生主体参与的机会和时间，让课堂成为学生思考探究、实践交流的平台. 本文以一道习题的教学为例，试图从这些方面进行尝试，恳请指正.
问题已知直线l：2x-ay-3=0，圆E：（x-2）2+y2=1（E为圆心），l与圆E交于相异两点M，N，求△MEN的面积S的最大值.
图1
师：请大家思考探索（让生1板演）.
生1：（板书）设E到l的距离为d，
则MN=2，
S=MN·d=d·
≤=.
（当且仅当=d即d=时，“＝”成立）
所以Smax=.
师：（没有急于评价）下面请同学们交流一下自己的做法或想法.
这时，生2站起来.
生2：我的做法是这样的.
设∠MEN=θ，S=ME·NE·sinθ=sinθ≤，
当θ=时，“＝”成立，
所以Smax=.
师：两位同学分别选d（圆心到直线的距离），θ（圆心角∠MEN）作为目标自变量，把目标函数S表示出来.
生3：（抢着说）他们都没有指出自变量的允许范围.
从同学们的表情来看，大家都支持生3的观点.
师：d，θ分别具有怎样的取值范围呢？
生4：因为d=，所以d∈0，
，
所以cos==，
所以≤<即≤θ<π.
生5：其实，l恒过定点P
，0，不论a 如何变化，d都满足0
所以Smax不是，而应为S=sinθ≤sinπ=，
即Smax=.
师：同学们分析得很好，谁来说说
S=d0
生1：还是我来完善吧.
S=，
设m=d20
所以当m=时，Smax==.
师：生1用最基本的方法（换元法、配方法）求出了最大值. 大家把目标函数S表示成目标自变量d（或θ）的函数后，一定要跟上相应的目标自变量的取值范围，进而求出最值，这就是所谓的“定义域优先”. 刚才生1、生2没有指出定义域导致解题错误的教训值得大家汲取.
师：同学们还有没有别的做法需要交流？
生7：我和前面同学的做法不一样，结果也是，不知道哪儿有错误.
（师把生7的做法展示出来）
请同学们帮助检查，哪儿考虑不周.
解析联立l与圆E的方程，消x得：
（a2+4）y2－2ay－3=0.
设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=，
所以y1-y2=
=，
所以MN=y1-y2·
=（l的斜率k=）.
E到l之距d=，
所以S=MN·d=.
令t=，则S==，
所以t+≥2，所以S≤，
所以Smax=.
（同学们细心地检查着）
师：发现问题了吗？
生8：生7对a缺少分类讨论.
当a≠0时，l的斜率存在时，
MN=y1-y2=才是正确的.
此时t>，所以t+>，所以S<.
当a＝0时，斜率不存在.
MN=y1-y2·就不正确了.
此时MN=y1-y2=，d=，
所以S=.
综上，Smax=.
师：生8分析得非常正确，生7明白了吗？（生7点头）生7敢于展示自己不太正确的做法，表现出他严谨治学、求真务实的学习品质，同时也为我们提供了一次好的学习素材. （对生7的质疑问难精神给予鼓励）
这时，生5发言了.
生5：生7同学可以避免对a的分类讨论.
l恒过定点P
，0，且EP=，
则S=S△EPM+S△EPN
=EP·y1-y2=y1-y2，
由于y1-y2=，
所以S=（a∈R）.
生5：（接着说）求最大值也可改进.
设t=（t≥），
则S==（t≥） ，
所以f（t）=t+（t≥）单调递增，
所以f（t）≥+=，
所以S≤=，
当t=，即a=0时，“＝”成立.
（同学们为生5的改进喝彩，课堂气氛空前高涨）
师：生5发现并利用了本题的隐含条件，由l过定点P
，0使解法回避了讨论，值得我们学习！
（学生们经历了艰苦的思考探索过程，体验到实践交流的快乐，因而一脸的愉悦，趁此引导同学们进行解题后的反思、回顾、总结，养成好的学习习惯）
师：（1）求S的表达式有几种思路？关键是什么？应注意什么？
（2）求S的最值用了哪些方法？应注意什么？
（3）比较上述方法的优劣，哪些方法具有一般性？哪些方法具有特殊性？
（4）上述方法涉及哪些数学思想和方法？
（师生共同回顾、反思、总结后，结束了本节课，并布置了变题）
变题1过点B（2，0）的直线l与曲线x2－y2=2相交于M，N两点，A（－2，0），求△AMN面积的最小值.
变题2过原点的直线与一焦点为F的椭圆：+=1（a>b>0）交于M，N两点，则△MNF的面积的最大值为多少？
[⇩]教学感受
1. 新课程理念下，教师要真正成为课堂的组织者、引导者与合作者，学生应由被动接收的地位，转变为积极思考探索、合作交流、动手实践、回顾反思的主体地位. 如果教师独霸课堂，只一味地介绍方法，虽然学生也许听得津津有味，但只能是被动接收，未能让学生去亲身探索和体验，其效果显然会大打折扣.
2. 获得知识与获得能力是两种完全不同的途径. 前者大量接受前人的知识，而能力是无法继承的，它只有在积极思考和实践中去领会. 因此，教师要大胆解放学生的思想，让他们主动去思考，解放学生的双手，让他们努力去实践. 在实践中让他们尝到思考的乐趣，享受到探索后的欢乐.
3. 教师应精心创设学生思考的氛围，留给学生思考的时间和空间，让学生“在游泳中学会游泳”. 在学生思考时，教师应不怕学生犯错误，要让学生懂得任何一件事成功的背后，都包含着探索的艰辛，从而培养学生严谨细致、追求真理的学习习惯及克服困难的勇气.