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2007年江苏省泰州市中考数学压轴题是：
如图1，Rt△ABC中，∠B＝90°，∠CAB＝30°，顶点A的坐标为（10，0），顶点B的坐标为（5，5■），AB＝10，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D（0，2）出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，设运动的时间为t秒.
（1）求∠BAO的度数.
（2）当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图2），求点P的运动速度.
（3）求（2）中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标.
（4）如果点P、Q保持（2）中的速度不变，那么点P沿AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点P沿这两边运动时，使∠OPQ＝90°的点P有几个？请说明理由.
思路要点（1）由A、B两点的坐标特征，易联想到含特殊角的直角三角形，因此，作BE⊥OA，垂足为E，则AE＝AO－EO＝10-5＝5，又AB＝10，所以∠EBA
＝30°，从而∠BAO＝60°.也可用三角函数来直接求出∠BAO的度数，或由
Rt△ABC与Rt△BEA的对应边成比例，利用相似三角形来得到结果.可见本题不仅简单，而且解题思路很宽，每位考生都可以根据自己的情况选择解题的方法.
（2）这是一道图形信息题，由图1知点P从点A运动到点B的路程是10个单位，由图2知点P 从点A运动到点B的时间是5秒，故点P的运动速度为2个单位/秒.
（3）解决本题关键是求出二次函数的解析式，再利用配方法求出面积的最大值.主要方法有：
方法一：由图2知，抛物线经过点（0，10）和（5，30），再取t=2，如图1，作PM⊥OQ，PN⊥OA，垂足分别为M、N，此时AP=4 , AN=2 , PM=ON=8 , OQ=2+2×2
=6,易求得S=24,即抛物线经过点(2 , 24).设二次函数的解析式为S=at2+bt+c，则c
=10，再解方程组4a+2b+10=24，25a+5b+10=30得a=-1,b=9.所以S=-t2+9t+10=-t-■■+■,所以当t=■时, S有最大值■,此时P■，■.
方法二：因为点P的速度为2单位/秒，时间为t秒，如图1，作PM⊥OQ，PN⊥OA，垂足分别为M、N，则由AP＝2t有AN＝t，PM＝ON＝10-t，PN=■t，从而
P10-t，■t（0≤t≤5）.又OQ＝2+2t，所以S＝■（10-t）（2+2t）＝-t2+9t+10
=-t-■■+■,所以当t=■时,S有最大值■,此时P■，■.
（4）当点P沿这两边运动时，使∠OPQ＝90°的点P有2个，理由如下（方法不唯一）：①当点P与点A重合时，∠OPQ＜90°.当点P与点B重合时，OQ的长是12个单位长度.如图3，作∠OPM=90°交y轴于点M，作PH⊥y轴于点H，由△OHP∽△OPM，得OM=■≈11.5,所以OQ＞OM,从而∠OPQ＞90°.所以当点P沿AB边运动时，使∠OPQ=90°的点P有1个.
② 同理，当点P在BC边上运动到C点时，可算得OQ=12+■
≈17.8,而构成直角时PM交y轴于0，■, ■≈20.2＞17.8,所以∠OCQ＜90°,从而使∠OPQ=90°的点P也有1个.即当点P沿BC边运动时，使∠OPQ=90°的点P也有1个.所以当点P沿这两边运动时，使∠OPQ=90°的点P有2个.
典型错误 从阅卷情况来看，考生的得分率较低，其主要原因有：
1．误认为第(1)题中AC与x轴垂直,直接由∠BAO=90°-30°=60°得到结果,犯这种错误的人数不少,这与命题者的“精心”设计有关（图形中确实给人以AC与x轴垂直的感觉）.
2．对于第(2)题，不能从图形中获取有用的信息来简捷求解，有些考生由于得不到第（2）题的正确结论而使解题半途而废.
3．对于第(3)题，不善于进行数形转换,求出解析式之后由于配方不熟练或顶点坐标公式记忆有误而出现错误.
4．对于第(4)题,不会应用分类思想去思考而出现漏解, 不善于利用题设条件“点P沿AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小”，将说明∠OPQ=90°的问题转化为说明点P沿AB边运动时，∠OPQ随着时间t的增大由锐角增大为钝角,从而必有一个时间使它为直角；同样,当点P沿BC边运动时，∠OPQ随着时间t的增大由钝角减小为锐角, 必有一个时间使它为直角.
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
如图1，Rt△ABC中，∠B＝90°，∠CAB＝30°，顶点A的坐标为（10，0），顶点B的坐标为（5，5■），AB＝10，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D（0，2）出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，设运动的时间为t秒.
（1）求∠BAO的度数.
（2）当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图2），求点P的运动速度.
（3）求（2）中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标.
（4）如果点P、Q保持（2）中的速度不变，那么点P沿AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点P沿这两边运动时，使∠OPQ＝90°的点P有几个？请说明理由.
思路要点（1）由A、B两点的坐标特征，易联想到含特殊角的直角三角形，因此，作BE⊥OA，垂足为E，则AE＝AO－EO＝10-5＝5，又AB＝10，所以∠EBA
＝30°，从而∠BAO＝60°.也可用三角函数来直接求出∠BAO的度数，或由
Rt△ABC与Rt△BEA的对应边成比例，利用相似三角形来得到结果.可见本题不仅简单，而且解题思路很宽，每位考生都可以根据自己的情况选择解题的方法.
（2）这是一道图形信息题，由图1知点P从点A运动到点B的路程是10个单位，由图2知点P 从点A运动到点B的时间是5秒，故点P的运动速度为2个单位/秒.
（3）解决本题关键是求出二次函数的解析式，再利用配方法求出面积的最大值.主要方法有：
方法一：由图2知，抛物线经过点（0，10）和（5，30），再取t=2，如图1，作PM⊥OQ，PN⊥OA，垂足分别为M、N，此时AP=4 , AN=2 , PM=ON=8 , OQ=2+2×2
=6,易求得S=24,即抛物线经过点(2 , 24).设二次函数的解析式为S=at2+bt+c，则c
=10，再解方程组4a+2b+10=24，25a+5b+10=30得a=-1,b=9.所以S=-t2+9t+10=-t-■■+■,所以当t=■时, S有最大值■,此时P■，■.
方法二：因为点P的速度为2单位/秒，时间为t秒，如图1，作PM⊥OQ，PN⊥OA，垂足分别为M、N，则由AP＝2t有AN＝t，PM＝ON＝10-t，PN=■t，从而
P10-t，■t（0≤t≤5）.又OQ＝2+2t，所以S＝■（10-t）（2+2t）＝-t2+9t+10
=-t-■■+■,所以当t=■时,S有最大值■,此时P■，■.
（4）当点P沿这两边运动时，使∠OPQ＝90°的点P有2个，理由如下（方法不唯一）：①当点P与点A重合时，∠OPQ＜90°.当点P与点B重合时，OQ的长是12个单位长度.如图3，作∠OPM=90°交y轴于点M，作PH⊥y轴于点H，由△OHP∽△OPM，得OM=■≈11.5,所以OQ＞OM,从而∠OPQ＞90°.所以当点P沿AB边运动时，使∠OPQ=90°的点P有1个.
② 同理，当点P在BC边上运动到C点时，可算得OQ=12+■
≈17.8,而构成直角时PM交y轴于0，■, ■≈20.2＞17.8,所以∠OCQ＜90°,从而使∠OPQ=90°的点P也有1个.即当点P沿BC边运动时，使∠OPQ=90°的点P也有1个.所以当点P沿这两边运动时，使∠OPQ=90°的点P有2个.
典型错误 从阅卷情况来看，考生的得分率较低，其主要原因有：
1．误认为第(1)题中AC与x轴垂直,直接由∠BAO=90°-30°=60°得到结果,犯这种错误的人数不少,这与命题者的“精心”设计有关（图形中确实给人以AC与x轴垂直的感觉）.
2．对于第(2)题，不能从图形中获取有用的信息来简捷求解，有些考生由于得不到第（2）题的正确结论而使解题半途而废.
3．对于第(3)题，不善于进行数形转换,求出解析式之后由于配方不熟练或顶点坐标公式记忆有误而出现错误.
4．对于第(4)题,不会应用分类思想去思考而出现漏解, 不善于利用题设条件“点P沿AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小”，将说明∠OPQ=90°的问题转化为说明点P沿AB边运动时，∠OPQ随着时间t的增大由锐角增大为钝角,从而必有一个时间使它为直角；同样,当点P沿BC边运动时，∠OPQ随着时间t的增大由钝角减小为锐角, 必有一个时间使它为直角.
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”