广州市2008年中考次位压轴题是：
　　如图1，扇形OAB的半径OA=3，圆心角AOB=90°，点C是AB上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E.连接DE，点G、H在线段DE上，且DG=GH=HE.
　　（1）求证：四边形OGCH为平行四边形；
　　（2）当点C在AB上运动时，在CD、CG、DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；
　　（3）求证：CD2+3CH2是定值.
　　这道次位压轴题是一道探究性的几何综合题.命题者把矩形ODCE与圆心角为90°半径为3的扇形有机地组成在一起.
　　首先令考生判定四边形OGCH为平行四边形.当然离不开它的判定方法；其次令考生探究出三条线段CD、CG、DG中的长度不变的线段，并求出式子CD2+3CH2的定值.如果仔细观察、分析、研究图形，便会发现：不仅长度不变的线段存在，而且存在的这一线段求得，与DE=OC=OA=3、DG=GH=HE二等式密不可分；式子CD2+3CH2的定值求得，与图中的直角三角形性质密不可分，但都必须围绕CH2添加辅助线构造直角三角形求之.
　　基于上述分析，下面一一给出各问的解法：
　　（1）证明四边形OGCH为平行四边形：
　　证一：如题图.因为CD⊥OA，OE⊥OB，
　　所以∠CDO=∠DOE=∠OEC=90°，
　　所以四边形OECD是矩形，所以EC=OD.
　　因为EC∥OD，
　　所以∠CEH=∠ODG，EH=DG，
　　所以△CEH≌△ODG（SAS），
　　所以CH=DG.
　　同理CG=HO，所以四边形OGCH是平行四边形.
　　证二：如题图.因为四边形OECD是矩形（已证），
　　所以OE=DC.
　　又EG=DH，因为OE∥DC，
　　所以∠OEG=∠CDH，
　　所以△OEG≌△CDH（SAS）.
　　所以∠OGE=∠CHD，所以OG∥CH.
　　同理OH∥GC，所以四边形OGCH是平行四边形.
　　证三：如题图.因为四边形OECD是矩形（已证），
　　所以CE=OD.又EH=DG，
　　因为CE∥OD，所以∠CEH=∠ODG，
　　所以△CEH≌△ODG（SAS），
　　所以∠CHE=∠OGD，CH=OG.
　　因为∠CHG=180°-∠CHE，
　　∠OGH=180°-∠OGD，
　　所以∠CHG=∠OGH，所以CH∥OG，
　　所以四边形OGCH是平行四边形.
　　证四：如题图.因为四边形ODCE是矩形（已证），
　　所以CD=EO.
　　因为CD∥EO，所以∠CDH=∠OEG，
　　又DH=EG，
　　所以△CDH≌△OEG（SAS）.
　　所以∠CHD=∠OGE，
　　同理∠OHG=∠CGH.
　　因为∠OGC=∠OGE+∠CGH，
　　∠CHO=∠CHG+∠OHG，
　　所以∠OGC=∠CHO.
　　易证△ECG≌△DOH，所以∠ECG=∠DOH.
　　易证△ECH≌△DOG，所以∠ECH=∠DOG.
　　因为∠GCH=∠ECG-∠ECH，
　　∠HOG=∠DOH-∠DOG，
　　所以∠GCH=∠HOG.
　　所以四边形OGCH是平行四边形.
　　证五：如图2.连结OC交DE于Q.
　　因为四边形OECD是矩形（已证），
　　所以OQ=QC，DQ=QE.
　　易证△ECH≌△DOG，所以DG=HE.
　　因为GQ=DQ-DG，QH=QE-HE，
　　所以GQ=QH，
　　所以四边形OGCH是平行四边形.
　　（2）解：线段DG的长度不变.
　　因为点C是AB上的点，OA=3，
　　所以OC=OA=3.
　　因为四边形OECD是矩形（已证），
　　所以DE=OC=3.
　　因为DG=GH=HE，
　　所以DG=13DE=1.
　　（3）求CD2+3CH2的定值：
　　证一：如图3，过点H作HF⊥CD于F.
　　因为EC⊥CD，所以HF∥EC,
　　所以△DFH∽△DCE，
　　所以DFDC=DHDE=23.
　　所以DF=23CD，CF=CD-DF=13CD.
　　在Rt△CFH中，CH2=HF2+CF2=HF2+19CD2，
　　在Rt△HFD中，HF2=DH2-DF2=4-49CD2，
　　所以CH2=4-49CD2+19CD2=4-13CD2.
　　所以CD2+3CH2=12.
　　故CD2+3CH2的定值为12.
　　证二：如图4，延长CH交OE于Q.
　　因为QC∥OG，EH=HG，
　　所以EQ=QO，所以QH=12OG.
　　因为OG=CH，所以QH=12CH，
　　所以CQ=QH+CH=12CH+CH=32CH.
　　因为EQ∥CD，
　　所以△EHQ∽△DHC，
　　所以EQCD=EHHD=12，
　　所以EQ=12CD.
　　在Rt△DCE中，EC2=9-CD2.
　　在Rt△CEQ中，CQ2=EQ2+EC2.
　　所以（32CH）2=（12CD）2+9-CD2，
　　94CH2=14CD2+9-CD2=9-34CD2，
　　所以3CH2+CD2=12.
　　故CD2+3CH2的定值为12.
　　证三：如图5，过点H作HK⊥EC于K.
　　易知HK=13CD，CK=23CE，
　　由解二知EC2=9-CD2.
　　在Rt△CKH中，CH2=CK2+HK2，
　　所以CH2=（23CE）2+（13CD）2=49CE2+19CD2，
　　CH2=49（9-CD2）+19CD2=4-49CD2+19CD2，
　　所以CH2=4-13CD2，
　　所以CD2+3CH2=12.
　　故CD2+3CH2的定值为12.
　　证四：如图6，延长CH交OE于K至Q，使KQ=HK，过Q作QP∥OE交CE的延长线于P.
　　易证HK=12CH.
　　因为HK=KQ，
　　所以CQ=2CH，易EK=12CD.
　　因为PQ∥EK，所以△CPQ∽△CEK，
　　所以PQEK=CQCK=2CH32CH=43，
　　所以PQ=43EK=23CD.
　　在Rt△CPQ中，CQ2=PQ2+PC2，易证PC=43CE.
　　所以（2CH）2=（23CD）2+（43CE）2，
　　4CH2=49CD2+169CE2，
　　所以CH2=19CD2+49CE2
　　=19CD2+49（9-CD2）
　　=19CD2+4-49CD2
　　=4-13CD2，
　　所以3CH2=12-CD2，
　　所以CD2+3CH2=12.
　　故CD2+3CH2的定值为12.
　　证五：如图7，延长CH交EO于Q、交DO的延长线于P.
　　易证PC=3CH，PD=2CE.
　　由法三知CE2=9-CD2.
　　在Rt△PDC中，PC2=PD2+CD2，
　　所以（3CH）2=（2CE）2+CD2，
　　所以9CH2=4CE2+CD2，
　　所以9CH2=4（9-CD2）+CD2=36-4CD2+CD2=36-3CD2，
　　所以CD2+3CH2=12.
　　故CD2+3CH2的定值为12.
　　证六：如图8，延长CH交OE于Q、交DO的延长线于P，过点H作HK⊥PD于K.
　　因为HK∥OE，
　　所以△DKH∽△DOE，
　　所以HKEO=DHDE=23，
　　所以HK=23EO=23CD.
　　易证Rt△POQ≌Rt△CEQ，
　　所以PQ=CQ=CH+12CH=32CH，
　　所以PH=PQ+QH=32CH+12CH=2CH.
　　因为PK=PO+OK=CE+13CE=43CE.
　　在Rt△PKH中，PH2=HK2+PK2，
　　所以（2CH）2=（43CE）2+（23CD）2，
　　所以4CH2=169CE2+49CD2，
　　所以4CH2=169（9-CD2）+49CD2
　　=16-169CD2+49CD2，
　　所以CH2=4-13CD2，
　　所以3CH2=12-CD2，
　　所以CD2+3CH2=12.
　　故CD2+3CH2的定值为12.
　　（初三）