柯西不等式是《普通高中数学课程标准(实验)》选修系列中的一个重要不等式,其结构对称优美,在中学数学中应用比较广泛,是异于均值不等式的另一个重要不等式,无论是代数,还是几何都可以应用,灵活巧妙的应用运用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解,这个不等式结构和谐,应用灵活广泛,利用柯西不等式可处理以下问题:
　　一、证明相关命题
　　例1.用柯西不等式推导点到直线的距离公式。
　　已知点及直线
　　设点是直线上的任意一点,则
　　(1)
　　(2)
　　点两点间的距离||就是点到直线的距离,求(2)式有最小值,有
　　由(1)(2)得:
　　 即
　　 (3)
　　当且仅当
　　⊥(3)式取等号即点到直线的距离公式
　　即
　　二、证明不等式
　　例2已知正数满足证明
　　证明:利用柯西不等式
　　(∵)
　　又因为在此不等式两边同乘以2,再加上得:3()
　　∵
　　故
　　三、解三角形的相关问题
　　例3设是内的一点,是到三边的距离,是外接圆的半径,证明
　　证明:由柯西不等式得,
　　
　　故不等式成立。
　　四、求最值
　　例4已知实数满足,试求的最值
　　解:由柯西不等式得,有
　　即
　　由条件可得,
　　解得,当且仅当时等号成立,
　　代入时,
　　时,
　　五、利用柯西不等式解方程
　　例5.在实数集内解方程
　　解:由柯西不等式,得
　　又
　　即不等式①中只有等号成立
　　从而由柯西不等式中等号成立的条件,得
　　它与联立,可得
　　由上文的分析可知,柯西不等式在不等式的证明中具有广泛的应用,证明方法也非常灵活。巧用柯西不等式能起到化腐朽为神奇的功效,使人产生对数学的强烈的研究兴趣。在利用柯西不等式解决问题时,必须认真分析,巧妙构思,方能促进问题的尽快解决。
　　
　　参考文献:
　　[1]諶晓鸿.柯西不等式在中学数学中的应用[J].内江师范学院学报,2009,(6).
　　[2]胡继成,黄超.柯西不等式在中学数学中的应用[J].华章,2007,(10).
　　[3]张荣.以柯西不等式为例谈中学数学中的不等式教学[J].重庆文理学院学报(自然科学版),2008,(1).
　　[4]王学忠.妙用"柯西不等式"巧解题[J].中国数学教育(高中版),2009,(6).
　　[5]周秀君,周天刚.柯西不等式的应用与推广[J].牡丹江教育学院学报,2009,(3).
　　[6]王莉芳.柯西不等式在初等数学中的应用[J].中国科教创新导刊,2008,(26).