论文部分内容阅读
数学强调理性思维,但理性思维不等于逻辑思维,过分强调逻辑思维会导致“思想僵化”.“墨守成规”.相对于数学的逻辑思维,数学的非逻辑思维方法亦是重要的数学思维方法.由于这种思维方法没有固定的逻辑模式的限制,具有一定的灵活性、突发性和创造性,因而非逻辑思维在培养创新能力和应变能力方面具有重要作用,非逻辑思维在数学高考中也极为重要,是攻克重庆高考数学压轴题和创新题的有效思维方法.
1 重庆高考数学中的想像与联想思维方法
众所周知数学思维是以逻辑思维为核心,但数学也需要形象思维,想像与联想是数学创造性思维能力的重要组成部分.在数学中作为创造性想像的结果,往往形成概念内容从直观上得到加深的一些形象概念,如点、线、面这一形象性概念,只有靠想像来理解这些概念,现实生活中是没有数学中的没有大小的“点”,没有厚薄、向四周无限延伸的“平面”,没有端点向两端无限延伸的“直线”.在数学学习中如果缺乏必要的想像力,是难以理解数学,认识数学和体验数学的,也难以在高考中取得好的成绩的.
1.1 重庆高考数学中的想像思维方法
在数学思维中,根据数学语言、符号、数学表达式等形象的提示和加工改造来形成数学新形象的思维方法,称为再造性想像.在数学思维中,不依靠现成的数学语言和符号的描述,只根据思维目的和任务在头脑中独立地创造出新形象的思维方法,称为创造性想像.其特点具有新颖性、独创性和奇特性.数学想像大量存在于数学学习和数学解题过程中,比如不对问题直接进行推演求解,而是转化为另外的问题求解,将原有的数学形象加以改造,去构成新的数学形象,数学想像对高考题的切入、破题和思路的形成具有重要作用.
图1例1 (2005重庆高考文10题,选择题压轴题)有一个塔形几何体由若干个正方体构成,构成方式如图1所示,上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点,已知最底层正方体的棱长为2,且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39,则该塔形中正方体的个数至少是()
(A) 4. (B) 5.
(C) 6. (D) 7.
评析:本题考查空间想像能力,若直接把每个正方体的表面积算出,然后相加,运算量大,容易错.利用想像思维,所有正方体上底面在底面的射影恰为一个最大正方体的一个底面,现只须考虑各正方体的侧面积和最大正方体的底面积.从下到上第k个正方体的边长为a1=2,a2=2,a3=1,a4=22,a5=12,侧面积为b1=16, b2=8, b3=4,b4=2,b5=1,所以各层塔形的表面积计算方法为侧面积之和+8,这样可分别求出k层塔形的表面积分别为S1=24,S2=32,S3=36,S4=38,S5=39,所以该塔形中正方体的个数至少是6层.选(C).
图2例2 (2005重庆高考理3题)若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0)上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x)<0的的取值范围是()
(A) (-∞,2).
(B) (2,+∞).
(C) (-∞,-2)∪(2,+∞).
(D) (-2,2).
评析:本题是一道以考查函数奇偶性、单调性和解不等式的综合题.由于所给函数是一个抽象函数,可想像函数的大致图像,由图像直接得出其不等式的解集为(-2,2),选(D).
1.2 重庆高考数学的联想思维方法
在数学思维中,在不破坏原来的表象形象,而是把有关表象连接起来,形成形象链,通过各种形象的关系来把握对象,这种加工方式就是联想的方法.它是由一种思考对象而想到另一种思考对象的方法,其特点是通过形象的彼此连接而达到对事物的认识.基本类型有接近性联想、相似性联想、对比性联想.在数学高考中有联想概念,联想公式的特征,联想几何意义,联想题目产生的背景等解题联想.
例3 (2006重庆卷理20题)已知函数f(x)=(x2+bx+c)ex,其中b,c∈R 为常数.
( Ⅰ) 若b2>4(c-1),讨论函数f(x)的单调性;(Ⅱ) 若b2≤4(c-1)且limx→0f(x)-cx=4,试证:-6≤b≤2.
评析:(1) 观察题目所给出条件,发现条件形式与一元二次判别式相近,联想一元二次方程根的判别式,由导数与单调性的关系,得解.(2)由所给出条件联想导数定义知limx→0f(x)-cx=
limx→0f(x)-f(0)x-0=f′(0)=4,即 f′(0)=b+c=4,结合b2<4(c-1)得b2+4b-12≤0,解得 -6≤b≤2.
例4 (2005重庆理16题,填空题压轴题)对任意实数k,直线y=kx+b与椭圆x=3+2cosθ
y=1+4sinθ (0≤θ<2π)恒有公共点,则b的取值范围是.
评析:本题考查直线与椭圆的位置关系的知识,椭圆的普通方程为(x-3)24+(y-1)216=1,直线与椭圆恒有公共点,如果直线恒过椭圆内或椭圆上一点,则直线与椭圆恒有公共点,联想直线恒过定点(0,b),则定点(0,b)在椭圆内或边界上,由此得34+(b-1)216≤1解之得-1≤b≤3.
2 重庆高考数学的直觉猜想的思维方法
数学直觉是对数学对象的一种“非同寻常的洞察力(庞加莱)”,这种洞察力有如下特点:整体性、直接性、突发性和自由性.
图3例5 (2007重庆二诊理21题改编)已知椭圆方程为x22+y2=1,过D(0,2)的直线与椭圆交于不同的两点M、N,且M在D,之间,设|DM||DN|=λ,则λ的取值范围是.
评析:本题若作为解答题较难,但若改为填空题,利用直觉猜想思维则容易得到答案.如图直线MN是过点D的直线系,当直线MN与x轴垂直时,|DM|最小而|DN|最大,这时得到λ的最小值为13,当直线MN与椭圆相切时,这时M,N重合,这时λ=1,又 |DM|<|DN|,所以λ取值范围为[13,1).
例6 (2005重庆一诊理10题,选择题压轴题)在数列{an}中,如果存在非零常数T,使得am+T=am对任意的非零自然数m均成立,那么就称数列{an}为周期数列,其中T叫数列的周期,已知数列{xn}满足xn+1=|xn-xn-1| (n≥2,n∈N ),如果x1=1,x2=a (a∈R ,a≠0),当数列{xn}的周期最小时,该数列前2005项的和是()
(A) 668.(B) 669.(C) 1336.(D) 1337.
评析:本题是新定义型题型,给出了数列周期的定义,考查学生学习新知识的学习能力,在没有有效求出数列的周期的情况下,直觉猜想其周期不会太大,因而可按周期T=1,2,3,…一一试验,从而求出T=3,a=1,所求数列为1,1,0,1,1,0,…,前2005项和为1337,选(D).
3 重庆高考数学中的美学思维方法
数学美是已为教育和美学界所认可,高考数学要充分挖掘数学中美的因素,引导学生发现、鉴赏、体验数学概念、公式、定理、法则中所蕴含的数学美的信息.在高考中把数学美展现出来,渗透在学生心灵中.在数学高考中,学生感受、欣赏、体验数学美,体会数学是 个五彩缤纷的美的世界.数学美的表现形式是简单性、统一性、对称性、秩序性、奇异性.运用数学美思考数学问题,可以得到美的解答.
例7 (2005重庆理16,填空题压轴题)连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是(填空所有正确选项的序号)
① 菱形;② 有三条边相等的四边形;③ 梯形;
④ 平行四边形;⑤ 有一组对角相等的四边形.
评析:圆锥曲线是最优美的曲线,它们对称、统一、简明.给人无穷的想像空间.由抛物线的对称性知①④不可作,②③易作,在抛物线上任找两点A,B作线段AB的中垂线交抛物线于C,D两点,则∠DAC=∠DBC可作.
4 重庆高考数学中的数学实验思维方法
数学实验(也称思维实验)是最现实、最直接、最有效的思考问题的思维方法.
例8 (2004重庆理12题,选择题压轴题)若三棱锥A-BCD,侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等,则动点P的轨迹与ABC组成的图形可能是()
图5评析:本题按所给出条件进行数学思维实验,把三棱锥侧面ABC沿BC旋转,观察其变化情况,发现当平面ABC与底面垂直时,则点P到底面的距离等于P到BC的距离,问题转化为点P到BC与AB的距离相等,点P的轨迹是∠ABC的平分线,排除A,B,又当平面ABC与底面接近时,点P到底面的距离较小,可推测点P的轨迹应靠近AB为正确,选(C).
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
1 重庆高考数学中的想像与联想思维方法
众所周知数学思维是以逻辑思维为核心,但数学也需要形象思维,想像与联想是数学创造性思维能力的重要组成部分.在数学中作为创造性想像的结果,往往形成概念内容从直观上得到加深的一些形象概念,如点、线、面这一形象性概念,只有靠想像来理解这些概念,现实生活中是没有数学中的没有大小的“点”,没有厚薄、向四周无限延伸的“平面”,没有端点向两端无限延伸的“直线”.在数学学习中如果缺乏必要的想像力,是难以理解数学,认识数学和体验数学的,也难以在高考中取得好的成绩的.
1.1 重庆高考数学中的想像思维方法
在数学思维中,根据数学语言、符号、数学表达式等形象的提示和加工改造来形成数学新形象的思维方法,称为再造性想像.在数学思维中,不依靠现成的数学语言和符号的描述,只根据思维目的和任务在头脑中独立地创造出新形象的思维方法,称为创造性想像.其特点具有新颖性、独创性和奇特性.数学想像大量存在于数学学习和数学解题过程中,比如不对问题直接进行推演求解,而是转化为另外的问题求解,将原有的数学形象加以改造,去构成新的数学形象,数学想像对高考题的切入、破题和思路的形成具有重要作用.
图1例1 (2005重庆高考文10题,选择题压轴题)有一个塔形几何体由若干个正方体构成,构成方式如图1所示,上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点,已知最底层正方体的棱长为2,且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39,则该塔形中正方体的个数至少是()
(A) 4. (B) 5.
(C) 6. (D) 7.
评析:本题考查空间想像能力,若直接把每个正方体的表面积算出,然后相加,运算量大,容易错.利用想像思维,所有正方体上底面在底面的射影恰为一个最大正方体的一个底面,现只须考虑各正方体的侧面积和最大正方体的底面积.从下到上第k个正方体的边长为a1=2,a2=2,a3=1,a4=22,a5=12,侧面积为b1=16, b2=8, b3=4,b4=2,b5=1,所以各层塔形的表面积计算方法为侧面积之和+8,这样可分别求出k层塔形的表面积分别为S1=24,S2=32,S3=36,S4=38,S5=39,所以该塔形中正方体的个数至少是6层.选(C).
图2例2 (2005重庆高考理3题)若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0)上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x)<0的的取值范围是()
(A) (-∞,2).
(B) (2,+∞).
(C) (-∞,-2)∪(2,+∞).
(D) (-2,2).
评析:本题是一道以考查函数奇偶性、单调性和解不等式的综合题.由于所给函数是一个抽象函数,可想像函数的大致图像,由图像直接得出其不等式的解集为(-2,2),选(D).
1.2 重庆高考数学的联想思维方法
在数学思维中,在不破坏原来的表象形象,而是把有关表象连接起来,形成形象链,通过各种形象的关系来把握对象,这种加工方式就是联想的方法.它是由一种思考对象而想到另一种思考对象的方法,其特点是通过形象的彼此连接而达到对事物的认识.基本类型有接近性联想、相似性联想、对比性联想.在数学高考中有联想概念,联想公式的特征,联想几何意义,联想题目产生的背景等解题联想.
例3 (2006重庆卷理20题)已知函数f(x)=(x2+bx+c)ex,其中b,c∈R 为常数.
( Ⅰ) 若b2>4(c-1),讨论函数f(x)的单调性;(Ⅱ) 若b2≤4(c-1)且limx→0f(x)-cx=4,试证:-6≤b≤2.
评析:(1) 观察题目所给出条件,发现条件形式与一元二次判别式相近,联想一元二次方程根的判别式,由导数与单调性的关系,得解.(2)由所给出条件联想导数定义知limx→0f(x)-cx=
limx→0f(x)-f(0)x-0=f′(0)=4,即 f′(0)=b+c=4,结合b2<4(c-1)得b2+4b-12≤0,解得 -6≤b≤2.
例4 (2005重庆理16题,填空题压轴题)对任意实数k,直线y=kx+b与椭圆x=3+2cosθ
y=1+4sinθ (0≤θ<2π)恒有公共点,则b的取值范围是.
评析:本题考查直线与椭圆的位置关系的知识,椭圆的普通方程为(x-3)24+(y-1)216=1,直线与椭圆恒有公共点,如果直线恒过椭圆内或椭圆上一点,则直线与椭圆恒有公共点,联想直线恒过定点(0,b),则定点(0,b)在椭圆内或边界上,由此得34+(b-1)216≤1解之得-1≤b≤3.
2 重庆高考数学的直觉猜想的思维方法
数学直觉是对数学对象的一种“非同寻常的洞察力(庞加莱)”,这种洞察力有如下特点:整体性、直接性、突发性和自由性.
图3例5 (2007重庆二诊理21题改编)已知椭圆方程为x22+y2=1,过D(0,2)的直线与椭圆交于不同的两点M、N,且M在D,之间,设|DM||DN|=λ,则λ的取值范围是.
评析:本题若作为解答题较难,但若改为填空题,利用直觉猜想思维则容易得到答案.如图直线MN是过点D的直线系,当直线MN与x轴垂直时,|DM|最小而|DN|最大,这时得到λ的最小值为13,当直线MN与椭圆相切时,这时M,N重合,这时λ=1,又 |DM|<|DN|,所以λ取值范围为[13,1).
例6 (2005重庆一诊理10题,选择题压轴题)在数列{an}中,如果存在非零常数T,使得am+T=am对任意的非零自然数m均成立,那么就称数列{an}为周期数列,其中T叫数列的周期,已知数列{xn}满足xn+1=|xn-xn-1| (n≥2,n∈N ),如果x1=1,x2=a (a∈R ,a≠0),当数列{xn}的周期最小时,该数列前2005项的和是()
(A) 668.(B) 669.(C) 1336.(D) 1337.
评析:本题是新定义型题型,给出了数列周期的定义,考查学生学习新知识的学习能力,在没有有效求出数列的周期的情况下,直觉猜想其周期不会太大,因而可按周期T=1,2,3,…一一试验,从而求出T=3,a=1,所求数列为1,1,0,1,1,0,…,前2005项和为1337,选(D).
3 重庆高考数学中的美学思维方法
数学美是已为教育和美学界所认可,高考数学要充分挖掘数学中美的因素,引导学生发现、鉴赏、体验数学概念、公式、定理、法则中所蕴含的数学美的信息.在高考中把数学美展现出来,渗透在学生心灵中.在数学高考中,学生感受、欣赏、体验数学美,体会数学是 个五彩缤纷的美的世界.数学美的表现形式是简单性、统一性、对称性、秩序性、奇异性.运用数学美思考数学问题,可以得到美的解答.
例7 (2005重庆理16,填空题压轴题)连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是(填空所有正确选项的序号)
① 菱形;② 有三条边相等的四边形;③ 梯形;
④ 平行四边形;⑤ 有一组对角相等的四边形.
评析:圆锥曲线是最优美的曲线,它们对称、统一、简明.给人无穷的想像空间.由抛物线的对称性知①④不可作,②③易作,在抛物线上任找两点A,B作线段AB的中垂线交抛物线于C,D两点,则∠DAC=∠DBC可作.
4 重庆高考数学中的数学实验思维方法
数学实验(也称思维实验)是最现实、最直接、最有效的思考问题的思维方法.
例8 (2004重庆理12题,选择题压轴题)若三棱锥A-BCD,侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等,则动点P的轨迹与ABC组成的图形可能是()
图5评析:本题按所给出条件进行数学思维实验,把三棱锥侧面ABC沿BC旋转,观察其变化情况,发现当平面ABC与底面垂直时,则点P到底面的距离等于P到BC的距离,问题转化为点P到BC与AB的距离相等,点P的轨迹是∠ABC的平分线,排除A,B,又当平面ABC与底面接近时,点P到底面的距离较小,可推测点P的轨迹应靠近AB为正确,选(C).
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”