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数学强调理性思维，但理性思维不等于逻辑思维，过分强调逻辑思维会导致“思想僵化”．“墨守成规”．相对于数学的逻辑思维，数学的非逻辑思维方法亦是重要的数学思维方法．由于这种思维方法没有固定的逻辑模式的限制，具有一定的灵活性、突发性和创造性，因而非逻辑思维在培养创新能力和应变能力方面具有重要作用，非逻辑思维在数学高考中也极为重要，是攻克重庆高考数学压轴题和创新题的有效思维方法．
1 重庆高考数学中的想像与联想思维方法
众所周知数学思维是以逻辑思维为核心，但数学也需要形象思维，想像与联想是数学创造性思维能力的重要组成部分．在数学中作为创造性想像的结果，往往形成概念内容从直观上得到加深的一些形象概念，如点、线、面这一形象性概念，只有靠想像来理解这些概念，现实生活中是没有数学中的没有大小的“点”，没有厚薄、向四周无限延伸的“平面”，没有端点向两端无限延伸的“直线”．在数学学习中如果缺乏必要的想像力，是难以理解数学，认识数学和体验数学的，也难以在高考中取得好的成绩的．
1．1 重庆高考数学中的想像思维方法
在数学思维中，根据数学语言、符号、数学表达式等形象的提示和加工改造来形成数学新形象的思维方法，称为再造性想像．在数学思维中，不依靠现成的数学语言和符号的描述，只根据思维目的和任务在头脑中独立地创造出新形象的思维方法，称为创造性想像．其特点具有新颖性、独创性和奇特性．数学想像大量存在于数学学习和数学解题过程中，比如不对问题直接进行推演求解，而是转化为另外的问题求解，将原有的数学形象加以改造，去构成新的数学形象，数学想像对高考题的切入、破题和思路的形成具有重要作用．
图1例1 (2005重庆高考文10题，选择题压轴题)有一个塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图1所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是()
(A) 4． (B) 5．
(C) 6． (D) 7．
评析：本题考查空间想像能力，若直接把每个正方体的表面积算出，然后相加，运算量大，容易错．利用想像思维，所有正方体上底面在底面的射影恰为一个最大正方体的一个底面，现只须考虑各正方体的侧面积和最大正方体的底面积．从下到上第k个正方体的边长为a1=2,a2=2,a3=1,a4=22,a5=12，侧面积为b1=16, b2=8, b3=4,b4=2,b5=1,所以各层塔形的表面积计算方法为侧面积之和+8，这样可分别求出k层塔形的表面积分别为S1=24，S2=32，S3=36，S4=38，S5=39，所以该塔形中正方体的个数至少是6层．选(C)．
图2例2 (2005重庆高考理3题)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(-∞，0)上是减函数，且f(2)=0，则使得f(x)＜0的的取值范围是()
(A) (-∞，2)．
(B) (2，+∞)．
(C) (-∞，-2)∪(2,+∞)．
(D) (-2，2)．
评析：本题是一道以考查函数奇偶性、单调性和解不等式的综合题．由于所给函数是一个抽象函数，可想像函数的大致图像，由图像直接得出其不等式的解集为(-2，2)，选(D)．
1．2 重庆高考数学的联想思维方法
在数学思维中，在不破坏原来的表象形象，而是把有关表象连接起来，形成形象链，通过各种形象的关系来把握对象，这种加工方式就是联想的方法．它是由一种思考对象而想到另一种思考对象的方法，其特点是通过形象的彼此连接而达到对事物的认识．基本类型有接近性联想、相似性联想、对比性联想．在数学高考中有联想概念，联想公式的特征，联想几何意义，联想题目产生的背景等解题联想．
例3 (2006重庆卷理20题)已知函数f(x)=(x2+bx+c)ex,其中b,c∈R 为常数．
( Ⅰ) 若b2＞4(c-1)，讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ) 若b2≤4(c-1)且limx→0f(x)-cx=4，试证：-6≤b≤2．
评析：(1) 观察题目所给出条件，发现条件形式与一元二次判别式相近，联想一元二次方程根的判别式，由导数与单调性的关系，得解．(2)由所给出条件联想导数定义知limx→0f(x)-cx=
limx→0f(x)-f(0)x-0=f′(0)=4，即 f′(0)=b+c=4，结合b2＜4(c-1)得b2+4b-12≤0，解得 -6≤b≤2.
例4 (2005重庆理16题，填空题压轴题)对任意实数k，直线y=kx+b与椭圆x=3+2cosθ
y=1+4sinθ (0≤θ＜2π)恒有公共点，则b的取值范围是．
评析：本题考查直线与椭圆的位置关系的知识，椭圆的普通方程为(x-3)24+(y-1)216=1，直线与椭圆恒有公共点，如果直线恒过椭圆内或椭圆上一点，则直线与椭圆恒有公共点，联想直线恒过定点(0,b)，则定点(0，b)在椭圆内或边界上，由此得34+(b-1)216≤1解之得-1≤b≤3．
2 重庆高考数学的直觉猜想的思维方法
数学直觉是对数学对象的一种“非同寻常的洞察力(庞加莱)”，这种洞察力有如下特点：整体性、直接性、突发性和自由性．
图3例5 (2007重庆二诊理21题改编)已知椭圆方程为x22+y2=1，过D(0，2)的直线与椭圆交于不同的两点M、N，且M在D，之间，设|DM||DN|=λ，则λ的取值范围是．
评析：本题若作为解答题较难，但若改为填空题，利用直觉猜想思维则容易得到答案．如图直线MN是过点D的直线系，当直线MN与x轴垂直时，|DM|最小而|DN|最大，这时得到λ的最小值为13，当直线MN与椭圆相切时，这时M，N重合，这时λ=1，又 |DM|＜|DN|，所以λ取值范围为[13,1).
例6 (2005重庆一诊理10题，选择题压轴题)在数列{an}中，如果存在非零常数T，使得am+T=am对任意的非零自然数m均成立，那么就称数列{an}为周期数列，其中T叫数列的周期，已知数列{xn}满足xn+1=|xn-xn-1| (n≥2,n∈N )，如果x1=1,x2=a (a∈R ,a≠0)，当数列{xn}的周期最小时，该数列前2005项的和是()
(A) 668．(B) 669．(C) 1336．(D) 1337．
评析：本题是新定义型题型，给出了数列周期的定义，考查学生学习新知识的学习能力，在没有有效求出数列的周期的情况下，直觉猜想其周期不会太大，因而可按周期T=1，2，3，…一一试验，从而求出T=3，a=1，所求数列为1，1，0，1，1，0，…，前2005项和为1337，选(D)．
3 重庆高考数学中的美学思维方法
数学美是已为教育和美学界所认可，高考数学要充分挖掘数学中美的因素，引导学生发现、鉴赏、体验数学概念、公式、定理、法则中所蕴含的数学美的信息．在高考中把数学美展现出来，渗透在学生心灵中．在数学高考中，学生感受、欣赏、体验数学美，体会数学是 个五彩缤纷的美的世界．数学美的表现形式是简单性、统一性、对称性、秩序性、奇异性．运用数学美思考数学问题，可以得到美的解答．
例7 (2005重庆理16，填空题压轴题)连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是(填空所有正确选项的序号)
① 菱形；② 有三条边相等的四边形；③ 梯形；
④ 平行四边形；⑤ 有一组对角相等的四边形．
评析：圆锥曲线是最优美的曲线，它们对称、统一、简明．给人无穷的想像空间．由抛物线的对称性知①④不可作，②③易作，在抛物线上任找两点A，B作线段AB的中垂线交抛物线于C，D两点，则∠DAC=∠DBC可作．
4 重庆高考数学中的数学实验思维方法
数学实验(也称思维实验)是最现实、最直接、最有效的思考问题的思维方法．
例8 (2004重庆理12题，选择题压轴题)若三棱锥A-BCD，侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与ABC组成的图形可能是()
图5评析：本题按所给出条件进行数学思维实验，把三棱锥侧面ABC沿BC旋转，观察其变化情况，发现当平面ABC与底面垂直时，则点P到底面的距离等于P到BC的距离，问题转化为点P到BC与AB的距离相等，点P的轨迹是∠ABC的平分线，排除A，B，又当平面ABC与底面接近时，点P到底面的距离较小，可推测点P的轨迹应靠近AB为正确，选(C)．
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1 重庆高考数学中的想像与联想思维方法
众所周知数学思维是以逻辑思维为核心，但数学也需要形象思维，想像与联想是数学创造性思维能力的重要组成部分．在数学中作为创造性想像的结果，往往形成概念内容从直观上得到加深的一些形象概念，如点、线、面这一形象性概念，只有靠想像来理解这些概念，现实生活中是没有数学中的没有大小的“点”，没有厚薄、向四周无限延伸的“平面”，没有端点向两端无限延伸的“直线”．在数学学习中如果缺乏必要的想像力，是难以理解数学，认识数学和体验数学的，也难以在高考中取得好的成绩的．
1．1 重庆高考数学中的想像思维方法
在数学思维中，根据数学语言、符号、数学表达式等形象的提示和加工改造来形成数学新形象的思维方法，称为再造性想像．在数学思维中，不依靠现成的数学语言和符号的描述，只根据思维目的和任务在头脑中独立地创造出新形象的思维方法，称为创造性想像．其特点具有新颖性、独创性和奇特性．数学想像大量存在于数学学习和数学解题过程中，比如不对问题直接进行推演求解，而是转化为另外的问题求解，将原有的数学形象加以改造，去构成新的数学形象，数学想像对高考题的切入、破题和思路的形成具有重要作用．
图1例1 (2005重庆高考文10题，选择题压轴题)有一个塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图1所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是()
(A) 4． (B) 5．
(C) 6． (D) 7．
评析：本题考查空间想像能力，若直接把每个正方体的表面积算出，然后相加，运算量大，容易错．利用想像思维，所有正方体上底面在底面的射影恰为一个最大正方体的一个底面，现只须考虑各正方体的侧面积和最大正方体的底面积．从下到上第k个正方体的边长为a1=2,a2=2,a3=1,a4=22,a5=12，侧面积为b1=16, b2=8, b3=4,b4=2,b5=1,所以各层塔形的表面积计算方法为侧面积之和+8，这样可分别求出k层塔形的表面积分别为S1=24，S2=32，S3=36，S4=38，S5=39，所以该塔形中正方体的个数至少是6层．选(C)．
图2例2 (2005重庆高考理3题)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(-∞，0)上是减函数，且f(2)=0，则使得f(x)＜0的的取值范围是()
(A) (-∞，2)．
(B) (2，+∞)．
(C) (-∞，-2)∪(2,+∞)．
(D) (-2，2)．
评析：本题是一道以考查函数奇偶性、单调性和解不等式的综合题．由于所给函数是一个抽象函数，可想像函数的大致图像，由图像直接得出其不等式的解集为(-2，2)，选(D)．
1．2 重庆高考数学的联想思维方法
在数学思维中，在不破坏原来的表象形象，而是把有关表象连接起来，形成形象链，通过各种形象的关系来把握对象，这种加工方式就是联想的方法．它是由一种思考对象而想到另一种思考对象的方法，其特点是通过形象的彼此连接而达到对事物的认识．基本类型有接近性联想、相似性联想、对比性联想．在数学高考中有联想概念，联想公式的特征，联想几何意义，联想题目产生的背景等解题联想．
例3 (2006重庆卷理20题)已知函数f(x)=(x2+bx+c)ex,其中b,c∈R 为常数．
( Ⅰ) 若b2＞4(c-1)，讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ) 若b2≤4(c-1)且limx→0f(x)-cx=4，试证：-6≤b≤2．
评析：(1) 观察题目所给出条件，发现条件形式与一元二次判别式相近，联想一元二次方程根的判别式，由导数与单调性的关系，得解．(2)由所给出条件联想导数定义知limx→0f(x)-cx=
limx→0f(x)-f(0)x-0=f′(0)=4，即 f′(0)=b+c=4，结合b2＜4(c-1)得b2+4b-12≤0，解得 -6≤b≤2.
例4 (2005重庆理16题，填空题压轴题)对任意实数k，直线y=kx+b与椭圆x=3+2cosθ
y=1+4sinθ (0≤θ＜2π)恒有公共点，则b的取值范围是．
评析：本题考查直线与椭圆的位置关系的知识，椭圆的普通方程为(x-3)24+(y-1)216=1，直线与椭圆恒有公共点，如果直线恒过椭圆内或椭圆上一点，则直线与椭圆恒有公共点，联想直线恒过定点(0,b)，则定点(0，b)在椭圆内或边界上，由此得34+(b-1)216≤1解之得-1≤b≤3．
2 重庆高考数学的直觉猜想的思维方法
数学直觉是对数学对象的一种“非同寻常的洞察力(庞加莱)”，这种洞察力有如下特点：整体性、直接性、突发性和自由性．
图3例5 (2007重庆二诊理21题改编)已知椭圆方程为x22+y2=1，过D(0，2)的直线与椭圆交于不同的两点M、N，且M在D，之间，设|DM||DN|=λ，则λ的取值范围是．
评析：本题若作为解答题较难，但若改为填空题，利用直觉猜想思维则容易得到答案．如图直线MN是过点D的直线系，当直线MN与x轴垂直时，|DM|最小而|DN|最大，这时得到λ的最小值为13，当直线MN与椭圆相切时，这时M，N重合，这时λ=1，又 |DM|＜|DN|，所以λ取值范围为[13,1).
例6 (2005重庆一诊理10题，选择题压轴题)在数列{an}中，如果存在非零常数T，使得am+T=am对任意的非零自然数m均成立，那么就称数列{an}为周期数列，其中T叫数列的周期，已知数列{xn}满足xn+1=|xn-xn-1| (n≥2,n∈N )，如果x1=1,x2=a (a∈R ,a≠0)，当数列{xn}的周期最小时，该数列前2005项的和是()
(A) 668．(B) 669．(C) 1336．(D) 1337．
评析：本题是新定义型题型，给出了数列周期的定义，考查学生学习新知识的学习能力，在没有有效求出数列的周期的情况下，直觉猜想其周期不会太大，因而可按周期T=1，2，3，…一一试验，从而求出T=3，a=1，所求数列为1，1，0，1，1，0，…，前2005项和为1337，选(D)．
3 重庆高考数学中的美学思维方法
数学美是已为教育和美学界所认可，高考数学要充分挖掘数学中美的因素，引导学生发现、鉴赏、体验数学概念、公式、定理、法则中所蕴含的数学美的信息．在高考中把数学美展现出来，渗透在学生心灵中．在数学高考中，学生感受、欣赏、体验数学美，体会数学是 个五彩缤纷的美的世界．数学美的表现形式是简单性、统一性、对称性、秩序性、奇异性．运用数学美思考数学问题，可以得到美的解答．
例7 (2005重庆理16，填空题压轴题)连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是(填空所有正确选项的序号)
① 菱形；② 有三条边相等的四边形；③ 梯形；
④ 平行四边形；⑤ 有一组对角相等的四边形．
评析：圆锥曲线是最优美的曲线，它们对称、统一、简明．给人无穷的想像空间．由抛物线的对称性知①④不可作，②③易作，在抛物线上任找两点A，B作线段AB的中垂线交抛物线于C，D两点，则∠DAC=∠DBC可作．
4 重庆高考数学中的数学实验思维方法
数学实验(也称思维实验)是最现实、最直接、最有效的思考问题的思维方法．
例8 (2004重庆理12题，选择题压轴题)若三棱锥A-BCD，侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与ABC组成的图形可能是()
图5评析：本题按所给出条件进行数学思维实验，把三棱锥侧面ABC沿BC旋转，观察其变化情况，发现当平面ABC与底面垂直时，则点P到底面的距离等于P到BC的距离，问题转化为点P到BC与AB的距离相等，点P的轨迹是∠ABC的平分线，排除A，B，又当平面ABC与底面接近时，点P到底面的距离较小，可推测点P的轨迹应靠近AB为正确，选(C)．
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”