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[摘 要] 几何直观是《义务教育数学课程标准》（2011年版）（以下简称《课标》）提出的数学课程核心概念之一，它可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用. 本文以苏教版九年级数学上册第二章对称图形圆的第4节“圆周角”教学设计为例探讨如何培养学生的几何直观.
[关键词] 圆周角；圆心角；探究；几何直观
“几何直观”是《义务教育数学课程标准》（2011年版）（以下简称《课标》）提出的数学课程核心概念之一，指出几何直观主要是指“利用图形描述和分析问题，借助几何直观可以把复杂数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果. 几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用”. 本文以苏教版九年级数学上册第二章对称图形圆的第4节“圆周角”教学设计为例就教学内容和内容解析、学情分析及问题诊断；引导学生经历数学活动，归纳定理；应用定理，拓展延伸等环节进行相关分析、整理，并与更多同行分享研讨.
教学内容和内容解析
圆周角这节课是在学习圆、弦、弧、圆心角等概念基础上，继而对同弧所对的圆周角与圆心角关系说理、作图、计算.这节课既是前面知识的继续，又是研究圆与其他平面几何图形的桥梁和纽带.教材把圆周角这节分两课时，此文说圆周角第一课时.
教学目标
1. 知识与技能：理解圆周角概念，体会同弧所对的圆周角与圆心角关系的发现、探索、验证过程.
2. 过程与方法：经历操作、观察、猜想、分析、交流、论证等数学活动，体验圆周角定理探索过程，培养学生逻辑思维和运用几何语言的能力.
3. 情感与态度：通过数学活动引导学生对图形观察、探究、添加辅助线，激发学生好奇心和求知欲，培养运用数学知识解决问题的能力.
教学重点和难点
重点：探索同弧所对的圆周角与圆心角关系.
难点：了解圆周角分类，用化归思想，合情推理验证圆周角与圆心角的关系.
学情分析
九年级学生有较强的自我发展意识，对有“挑战性”的问题比较感兴趣，具备一定的逻辑推理能力. 在教学中应建立数学与生活的联系，创设一系列具有启发性、挑战性的问题情境激发学生学习的兴趣，引导学生用数学的眼光思考问题、发现规律、验证猜想.
教学支持条件设计
为帮助学生探索发现它们的关系，在学生动手操作基础上，再用几何画板度量和动画功能，准确、全面验证发现的结论.
教学设计
活动一 创设情景、激发兴趣
师：（教师投影足球射门图片）足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈，进行无人防守射门训练，如图1，甲、乙两名运动员分别在C、D两地，争论不休，都说自己所在位置对球门AB张角大.如果你是教练，评一评他们两个人，谁的位置对球门AB张角大？
设计意图：联系生活中足球射门情境，创设有挑战性的问题情境导入新课，激发学生探索激情和求知欲，把学生注意力尽快集中到课堂.
活动二 经历数学活动，发展几何直观
1. 问题呈现，合作探究
师：复习圆心角的概念.
生：顶点在圆心的角叫圆心角.
师：图中∠C、∠D与我们前面所学的圆心角有什么区别？∠C、∠D的边和顶点与圆的位置有什么特点？
设计意图：从生活实例入手选择新旧知识切入点，让学生经历观察、分析、抽象出图形共同属性，得出圆周角定义.引出课题——圆周角.
师：仿照圆心角定义给圆周角下定义.
生：定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
特征：①角的顶点在圆上.②角的两边都与圆相交.
练习：下列与圆有关的角中，哪些是圆周角？
设计意图：此处并排呈现正例和反例有利于学生对圆周角概念本质属性与非本质属性进行比较. 使学生容易理解概念.
2. 合作探究，归纳定理
师：画弧AB所对圆心角，再画弧AB所对圆周角，你能画多少个同一条弧所对的圆心角和圆周角呢？
生：动手画图探究.
师：用几何动态语言探究圆周角与圆心角的位置关系，从而分为三种位置关系.
师：量一量所画弧AB所对圆周角、圆心角的度数有何发现？请验证.
生：有的借助量角器，用度量的方法进行验证；有的采用折叠重合方法进行验证.
学生兴奋地叫着我发现了：同弧所对圆周角都相等；同弧所对圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半.
设计意图：先引导学生经历操作、观察、猜想、分析、验证等数学活动，探索圆周角性质，感知基本几何事实，体会两种数量关系：同弧所对圆周角和圆心角关系；同弧所对圆周角关系.
师：用几何画板度量功能量出∠AOB、∠ACB、∠ADB和∠AEB，发现∠AOB最大，∠ACB=∠ADB=∠AEB；接着用计算功能，计算∠ACB和∠AOB的比值，发现∠ACB ∶ ∠AOB=1 ∶ 2.再从以下几个方面演示，让学生观察圆周角的度数是否改变，同弧所对圆周角与圆心角的关系有无变化：①拖动圆周角顶点使其在圆周上运动；②改变圆心角度数；③改变圆半径大小.
从而验证猜想：同弧所对圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半.
设计意图：用几何画板演示验证，用几何动态语言来探究圆周角与圆心角的关系，在某些量变化过程中使学生观察不变的数量关系，更好地理解圆周角与圆心角的关系.
师：请同学们把发现的结论用文字语言表述一下.
生：他的说法不准确，应该是：在同圆或等圆中，同弧所对圆周角相等且都等于这条弧所对圆心角的一半，丢掉了“在同圆或等圆中”和“这条弧所对的”这两点. 设计意图：通过动手操作和几何直观相结合，使推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续.
活动三 用分类讨论的方法证明定理
师：为了说明结论正确性，下面探究论证：请同学们在下图⊙O中画出圆周角有三种位置关系，即圆心可能在圆周角的一边上，可能在圆周角的内部，也可能在圆周角的外部.
师：借助计算机动画演示，观察验证学生发现的三种位置关系：
设计意图：以动态演示方式，帮助学生直观观察圆心与圆周角的三种位置关系，为分情况证明圆周角定理奠定基础.让学生通过合作、分类讨论进行探究，培养学生思维严谨性和逻辑性.
师：圆心与圆周角有三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部.
师：在上述三种情况中我们先选择其中的一种情况证明，如何证明？
生：选择第一种情况证明，因为圆心在圆周角的一边上是最简单的一种情况.因为圆心角在圆周角的一边上，AC是圆的直径，由同圆半径相等得，OC=OB，所以∠C=∠B，根据定理“三角形外角等于和它不相邻两个内角的和”可得∠AOB=∠C ∠B=2∠C，即同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半.
师：当圆心在圆周角内部时，圆周角∠ACB的边AC、BC在直径CD的两侧，因此为寻找证明思路带来了方便，沿CD对折⊙O，展开后你有什么发现？
师：很好！请同学们写出这种情况的证明过程，再完成最后一种情况的证明.
设计意图：通过观察度量、实验操作、图形变换、推理论证探索性质，让学生学会分析问题和解决问题.另外从数学语言的三种形态“文字语言、图形语言、符号语言”进行描述，强化对数学知识学习与理解，加强数学语言的运用.
活动四 定理应用
例1 如图16，点A、B、C在⊙O上，点D在⊙O外，CD、BD分别交⊙O于点E、F，比较∠BAC与∠BDC的大小，并说明理由.
例题变式：移动点D到⊙O内，其他条件不变，此时∠BAC与∠BDC的大小又如何？并说明理由.
例2 解决导入新课问题，发展能力.
拓展延伸：比较∠D、∠E、∠F的大小关系？
活动五 巩固练习
1. 如图19，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？
2. 如图20，点A、B、C、D在圆O上，若∠ACB=60°，则∠ADB=______，∠AOB=______.
3. 如图21，等边三角形ABC的顶点都在⊙O上，点D是⊙O上一点，则∠BDC=______.
学生独立思考解决问题，小组讨论，教师及时纠正反馈.
设计意图：考查学生对定理的理解和应用，使学生从复杂图形中分解出基本图形的能力.
活动六 课堂小结，巩固反思
师：请你谈谈本节课有哪些收获？
生：这节课学习圆周角的定义和圆周角的定理，知道圆周角有两个要点：同弧对圆周角相等关系，圆心角和圆周角是二倍的关系.
生：通过学习学到要全面考虑问题，学会从特殊到一般解决问题的方法，渗透了分类和转化的数学思想.
师：同学们都反思总结得很好，希望在今后学习能一如既往地养成勤反思、多总结的学习习惯，使我们学习成绩更上一层楼.
设计意图：通过小结梳理本节课的知识，帮助学生巩固所学知识.
课后感悟
1. 教学展示知识背景—知识形成—揭示联系的过程
本节课以经历数学活动、发展几何直观为理念依据，组织教学活动.活动1是从足球射门问题情境引入，让学生从经历生活数学出发，提出问题导入新课.活动2将经历数学活动、发展几何直观过程分为两个层次，一是通过几何直观寻找位置关系；二是借助几何直观探索数量关系，初步感知同弧所对圆周角等于它所对圆心角一半.活动3通过师生互动，学生动手证明活动2的发现，利用已有知识经验和数学思想方法进行演绎推理. 活动4通过定理应用，让学生进行合理、简洁的逻辑推理，使学生进一步体会数学思维的严谨性，将演绎推理渗透在思维训练中.同时例2使情境创设问题得以解决，达到了首尾呼应，再将问题进一步拓展延伸.活动5通过师生交流和学生代表的理解，强化训练巩固定理.在解决问题的过程中发展学生逻辑推理能力.活动6让学生从多方面对本节课进行小结，使学生对本节课的知识形成体系.本节课各环节层层深入、环环相扣，过渡自然，构成一个完整的知识生成体系.教学活动的过程体现师生积极参与、交往互动、共同发展过程；激发学生学习兴趣，调动学习积极性，引发了学生数学思考，鼓励了学生创造性思维；注重学生良好的数学学习习惯和数学学习方法的培养.
2. 教学方法尊重学生个体认知差异，因材施教，发展学生的几何直观
本节课以《课标》核心概念为主线，在教学方法上尊重学生个体认知差异，通过几何直观培养学生的数学推理能力.
在探究同弧所对的圆周角、圆心角的数量和位置关系时，先设置问题情景——足球射门，引入圆周角，本情境与学生现有生活经验相符，学生对情境理解和圆周角概念导入顺其自然.学生先独立思考寻找解决问题的方法，然后组内讨论，达成共识，使不同学生都有发表自己见解的机会，让学生经历观察、猜想、操作、证明同弧所对圆周角圆心角的数量和位置关系.
3. 核心概念学习与定理证明上的特色
本节内容的核心概念是圆周角定义和圆周角定理. 在教学方式上，让学生先自行探究，然后小组讨论，这有利于不同层次学生的提高，也体现了团队合作的精神；以实际情境为载体，运用《几何画板》的动画、度量与演示功能，以问题串的形式设计教学环节，巧妙地引导学生归纳、总结，抽象出概念，通过正、反两方面的练习进行概念辨析，强化对概念内涵的理解. 通过设计问题不断地引导学生进行思考，在定理的探究阶段，花费时间多一些是值得的，因为让学生经历自己探讨、发现结论的过程，能够逐步提高学生分析、解决问题的能力.
4. 数学思想和方法渗透
教学中先要求学生在已知圆中尽可能多地画出同弧所对的圆周角，并引导学生初步观察圆心角与圆周角的位置关系，接着利用《几何画板》的动画演示功能，设计了圆周角的顶点在圆周上运动的动画，直观地展示了圆心与圆周角的三种位置关系，为圆周角定理的证明创设了条件，较好地体现了用分类讨论和转化的数学思想发展学生的几何直观能力.
总之，本课的教学设计在改革教法、优化教学方法方面做了一些有益的尝试，较为成功.
[关键词] 圆周角；圆心角；探究；几何直观
“几何直观”是《义务教育数学课程标准》（2011年版）（以下简称《课标》）提出的数学课程核心概念之一，指出几何直观主要是指“利用图形描述和分析问题，借助几何直观可以把复杂数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果. 几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用”. 本文以苏教版九年级数学上册第二章对称图形圆的第4节“圆周角”教学设计为例就教学内容和内容解析、学情分析及问题诊断；引导学生经历数学活动，归纳定理；应用定理，拓展延伸等环节进行相关分析、整理，并与更多同行分享研讨.
教学内容和内容解析
圆周角这节课是在学习圆、弦、弧、圆心角等概念基础上，继而对同弧所对的圆周角与圆心角关系说理、作图、计算.这节课既是前面知识的继续，又是研究圆与其他平面几何图形的桥梁和纽带.教材把圆周角这节分两课时，此文说圆周角第一课时.
教学目标
1. 知识与技能：理解圆周角概念，体会同弧所对的圆周角与圆心角关系的发现、探索、验证过程.
2. 过程与方法：经历操作、观察、猜想、分析、交流、论证等数学活动，体验圆周角定理探索过程，培养学生逻辑思维和运用几何语言的能力.
3. 情感与态度：通过数学活动引导学生对图形观察、探究、添加辅助线，激发学生好奇心和求知欲，培养运用数学知识解决问题的能力.
教学重点和难点
重点：探索同弧所对的圆周角与圆心角关系.
难点：了解圆周角分类，用化归思想，合情推理验证圆周角与圆心角的关系.
学情分析
九年级学生有较强的自我发展意识，对有“挑战性”的问题比较感兴趣，具备一定的逻辑推理能力. 在教学中应建立数学与生活的联系，创设一系列具有启发性、挑战性的问题情境激发学生学习的兴趣，引导学生用数学的眼光思考问题、发现规律、验证猜想.
教学支持条件设计
为帮助学生探索发现它们的关系，在学生动手操作基础上，再用几何画板度量和动画功能，准确、全面验证发现的结论.
教学设计
活动一 创设情景、激发兴趣
师：（教师投影足球射门图片）足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈，进行无人防守射门训练，如图1，甲、乙两名运动员分别在C、D两地，争论不休，都说自己所在位置对球门AB张角大.如果你是教练，评一评他们两个人，谁的位置对球门AB张角大？
设计意图：联系生活中足球射门情境，创设有挑战性的问题情境导入新课，激发学生探索激情和求知欲，把学生注意力尽快集中到课堂.
活动二 经历数学活动，发展几何直观
1. 问题呈现，合作探究
师：复习圆心角的概念.
生：顶点在圆心的角叫圆心角.
师：图中∠C、∠D与我们前面所学的圆心角有什么区别？∠C、∠D的边和顶点与圆的位置有什么特点？
设计意图：从生活实例入手选择新旧知识切入点，让学生经历观察、分析、抽象出图形共同属性，得出圆周角定义.引出课题——圆周角.
师：仿照圆心角定义给圆周角下定义.
生：定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
特征：①角的顶点在圆上.②角的两边都与圆相交.
练习：下列与圆有关的角中，哪些是圆周角？
设计意图：此处并排呈现正例和反例有利于学生对圆周角概念本质属性与非本质属性进行比较. 使学生容易理解概念.
2. 合作探究，归纳定理
师：画弧AB所对圆心角，再画弧AB所对圆周角，你能画多少个同一条弧所对的圆心角和圆周角呢？
生：动手画图探究.
师：用几何动态语言探究圆周角与圆心角的位置关系，从而分为三种位置关系.
师：量一量所画弧AB所对圆周角、圆心角的度数有何发现？请验证.
生：有的借助量角器，用度量的方法进行验证；有的采用折叠重合方法进行验证.
学生兴奋地叫着我发现了：同弧所对圆周角都相等；同弧所对圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半.
设计意图：先引导学生经历操作、观察、猜想、分析、验证等数学活动，探索圆周角性质，感知基本几何事实，体会两种数量关系：同弧所对圆周角和圆心角关系；同弧所对圆周角关系.
师：用几何画板度量功能量出∠AOB、∠ACB、∠ADB和∠AEB，发现∠AOB最大，∠ACB=∠ADB=∠AEB；接着用计算功能，计算∠ACB和∠AOB的比值，发现∠ACB ∶ ∠AOB=1 ∶ 2.再从以下几个方面演示，让学生观察圆周角的度数是否改变，同弧所对圆周角与圆心角的关系有无变化：①拖动圆周角顶点使其在圆周上运动；②改变圆心角度数；③改变圆半径大小.
从而验证猜想：同弧所对圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半.
设计意图：用几何画板演示验证，用几何动态语言来探究圆周角与圆心角的关系，在某些量变化过程中使学生观察不变的数量关系，更好地理解圆周角与圆心角的关系.
师：请同学们把发现的结论用文字语言表述一下.
生：他的说法不准确，应该是：在同圆或等圆中，同弧所对圆周角相等且都等于这条弧所对圆心角的一半，丢掉了“在同圆或等圆中”和“这条弧所对的”这两点. 设计意图：通过动手操作和几何直观相结合，使推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续.
活动三 用分类讨论的方法证明定理
师：为了说明结论正确性，下面探究论证：请同学们在下图⊙O中画出圆周角有三种位置关系，即圆心可能在圆周角的一边上，可能在圆周角的内部，也可能在圆周角的外部.
师：借助计算机动画演示，观察验证学生发现的三种位置关系：
设计意图：以动态演示方式，帮助学生直观观察圆心与圆周角的三种位置关系，为分情况证明圆周角定理奠定基础.让学生通过合作、分类讨论进行探究，培养学生思维严谨性和逻辑性.
师：圆心与圆周角有三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部.
师：在上述三种情况中我们先选择其中的一种情况证明，如何证明？
生：选择第一种情况证明，因为圆心在圆周角的一边上是最简单的一种情况.因为圆心角在圆周角的一边上，AC是圆的直径，由同圆半径相等得，OC=OB，所以∠C=∠B，根据定理“三角形外角等于和它不相邻两个内角的和”可得∠AOB=∠C ∠B=2∠C，即同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半.
师：当圆心在圆周角内部时，圆周角∠ACB的边AC、BC在直径CD的两侧，因此为寻找证明思路带来了方便，沿CD对折⊙O，展开后你有什么发现？
师：很好！请同学们写出这种情况的证明过程，再完成最后一种情况的证明.
设计意图：通过观察度量、实验操作、图形变换、推理论证探索性质，让学生学会分析问题和解决问题.另外从数学语言的三种形态“文字语言、图形语言、符号语言”进行描述，强化对数学知识学习与理解，加强数学语言的运用.
活动四 定理应用
例1 如图16，点A、B、C在⊙O上，点D在⊙O外，CD、BD分别交⊙O于点E、F，比较∠BAC与∠BDC的大小，并说明理由.
例题变式：移动点D到⊙O内，其他条件不变，此时∠BAC与∠BDC的大小又如何？并说明理由.
例2 解决导入新课问题，发展能力.
拓展延伸：比较∠D、∠E、∠F的大小关系？
活动五 巩固练习
1. 如图19，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？
2. 如图20，点A、B、C、D在圆O上，若∠ACB=60°，则∠ADB=______，∠AOB=______.
3. 如图21，等边三角形ABC的顶点都在⊙O上，点D是⊙O上一点，则∠BDC=______.
学生独立思考解决问题，小组讨论，教师及时纠正反馈.
设计意图：考查学生对定理的理解和应用，使学生从复杂图形中分解出基本图形的能力.
活动六 课堂小结，巩固反思
师：请你谈谈本节课有哪些收获？
生：这节课学习圆周角的定义和圆周角的定理，知道圆周角有两个要点：同弧对圆周角相等关系，圆心角和圆周角是二倍的关系.
生：通过学习学到要全面考虑问题，学会从特殊到一般解决问题的方法，渗透了分类和转化的数学思想.
师：同学们都反思总结得很好，希望在今后学习能一如既往地养成勤反思、多总结的学习习惯，使我们学习成绩更上一层楼.
设计意图：通过小结梳理本节课的知识，帮助学生巩固所学知识.
课后感悟
1. 教学展示知识背景—知识形成—揭示联系的过程
本节课以经历数学活动、发展几何直观为理念依据，组织教学活动.活动1是从足球射门问题情境引入，让学生从经历生活数学出发，提出问题导入新课.活动2将经历数学活动、发展几何直观过程分为两个层次，一是通过几何直观寻找位置关系；二是借助几何直观探索数量关系，初步感知同弧所对圆周角等于它所对圆心角一半.活动3通过师生互动，学生动手证明活动2的发现，利用已有知识经验和数学思想方法进行演绎推理. 活动4通过定理应用，让学生进行合理、简洁的逻辑推理，使学生进一步体会数学思维的严谨性，将演绎推理渗透在思维训练中.同时例2使情境创设问题得以解决，达到了首尾呼应，再将问题进一步拓展延伸.活动5通过师生交流和学生代表的理解，强化训练巩固定理.在解决问题的过程中发展学生逻辑推理能力.活动6让学生从多方面对本节课进行小结，使学生对本节课的知识形成体系.本节课各环节层层深入、环环相扣，过渡自然，构成一个完整的知识生成体系.教学活动的过程体现师生积极参与、交往互动、共同发展过程；激发学生学习兴趣，调动学习积极性，引发了学生数学思考，鼓励了学生创造性思维；注重学生良好的数学学习习惯和数学学习方法的培养.
2. 教学方法尊重学生个体认知差异，因材施教，发展学生的几何直观
本节课以《课标》核心概念为主线，在教学方法上尊重学生个体认知差异，通过几何直观培养学生的数学推理能力.
在探究同弧所对的圆周角、圆心角的数量和位置关系时，先设置问题情景——足球射门，引入圆周角，本情境与学生现有生活经验相符，学生对情境理解和圆周角概念导入顺其自然.学生先独立思考寻找解决问题的方法，然后组内讨论，达成共识，使不同学生都有发表自己见解的机会，让学生经历观察、猜想、操作、证明同弧所对圆周角圆心角的数量和位置关系.
3. 核心概念学习与定理证明上的特色
本节内容的核心概念是圆周角定义和圆周角定理. 在教学方式上，让学生先自行探究，然后小组讨论，这有利于不同层次学生的提高，也体现了团队合作的精神；以实际情境为载体，运用《几何画板》的动画、度量与演示功能，以问题串的形式设计教学环节，巧妙地引导学生归纳、总结，抽象出概念，通过正、反两方面的练习进行概念辨析，强化对概念内涵的理解. 通过设计问题不断地引导学生进行思考，在定理的探究阶段，花费时间多一些是值得的，因为让学生经历自己探讨、发现结论的过程，能够逐步提高学生分析、解决问题的能力.
4. 数学思想和方法渗透
教学中先要求学生在已知圆中尽可能多地画出同弧所对的圆周角，并引导学生初步观察圆心角与圆周角的位置关系，接着利用《几何画板》的动画演示功能，设计了圆周角的顶点在圆周上运动的动画，直观地展示了圆心与圆周角的三种位置关系，为圆周角定理的证明创设了条件，较好地体现了用分类讨论和转化的数学思想发展学生的几何直观能力.
总之，本课的教学设计在改革教法、优化教学方法方面做了一些有益的尝试，较为成功.