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（南安市天山中学 福建 南安 362314）
[摘要]数学概念是数学知识的基础，是数学教材的最基本因素，是数学思想与方法的载体。正确理解并灵活运用数学概念，是掌握数学基础知识和运算技能、发展逻辑论证和空间想象能力的前提。
[关键词]数学概念；概念教学；引入；理解；巩固与运用。
【中图分类号】G623.5
我国著名数学家华罗庚曾说过：“数学的学习过程，就是不断的建立各种数学概念的过程”。在初中数学教学中，重视概念课的教学，正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。学生数学能力的发展也取决于他对数学概念的牢固掌握与深刻理解与否。因而，数学概念的教学在整个数学教学中有着不可替代的作用和地位。
一、何为数学概念
数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维形式。正确地理解和形成一个数学概念，必须明确这个数学概念的内涵——对象的“质”的特征，及其外延——对象的“量”的范围。
二、数学概念的表现形式
在初中阶段，常以文字表达一个数学概念，即定义的方式，如分数、比例、函数等。另外，许多数学概念需要用数学符号来表示，比如三角函数和二次根式的表达。此外，数学概念还需要用图形来表示，而有些数学概念本身就是图形，如平行四边形、棱锥、双曲线等。
三、数学概念的引入
数学概念是数学学习的主要内容之一，概念的引入是学生获得概念的前奏，并极大地影响着学生对概念的理解和运用。概念属于理性认识，它的形成依赖于感性认识，学生的心理特点是容易理解和接受具体的感性认识。恰当地选择引入概念的方式显得尤为重要。数学概念的引入一般有以下五种方式：
1.创设情境，激发兴趣
“兴趣是最好的老师”。我们在备课时要充分挖掘知识的趣味因素，找一些有关本章节内容且易于理解的趣题作引例，牢牢抓住学生的注意力，调动其积极思维，使他们对概念产生浓厚兴趣。如：学习勾股定理时，可以向学生介绍我国古代的数学著作《周髀算经》，并说明勾股定理是我国古代数学家于2000年前就发现了的，激发学生对勾股定理的兴趣和自豪感，引入课题；学习平面直角坐标系时，可以向学生介绍法国数学家笛卡尔是如何想到用坐标系来把几何图形与代数方程结合起来的。学生会在惊奇、自豪、轻松愉快的气氛中理解、接受这些概念。
2、贴近生活，联系实际
数学来源于生活，又服务于生活。用生活中的实际例子来引入数学概念，把生活经验数学化，把数学问题生活化，这样既有利于激发学生的学习兴趣和学习动机，又符合学生由感性到理性的认知规律。例如在教学“数轴”这个概念时，可以先列举一些生活中的数学例子，如温度计上的“点”表示物体的温度，杆秤上的“点”表示重量，标尺上的“点”表示长度等。秤杆、温度计、标尺都具有“三要素”：①度量的点 ②度量的单位③增减方向。这些模型都启发人们用直线上的“点”来表示数，从而引出“数轴”概念。又如，在正负数的概念教学中，负数的概念对学生来说抽象又难理解，在教学中首先要给学生认识大量的相反意义的量，如收入与支出、上升与下降、零上与零下等。使学生在现实原型的基础上，理解正负数的概念，同时也使学生认识到数学概念的产生来源于实际的需要，激发学生的学习积极性。
3、设置问题，探索新知
先提出一个问题，使学生在头脑中产生疑问，从而激发学生的求知欲。让学生动脑思考，在问题的解决中引入概念，使学生在思考中对概念的理解更加深入。例如：学习相似的概念时，可以向学生提问：你能测量出教学大楼的高度吗？又如：在教学扇形的面积时，首先来一段《上甘岭》机枪扫射的战争场面，把同学的情绪激发出来，然后，话题一转：“同学们，假设敌人碉堡的机枪有效射程是100米，机枪转动的角度是120度，那么敌人机枪的控制区域的面积是多大？”自然的引入了扇形的面积问题。
4、联系旧知，巧妙类比
初中数学概念有很多与旧概念有着千丝万缕的联系，我们可以在比较它们异同的基础上建立起新的概念。类比不但是思维的一种重要形式，而且也是引入新概念的一种重要方法。例如，分式可类比分数引入，不等式可类比方程引入，相似三角形可类比全等三角形引入，二次函数的定义可类比一次函数的定义引入等。通过类比旧概念来学习新概念，既可以让学生感受到两个知识点的联系与区别，又可以进一步加深对两个知识点的认识和理解。
5、辅助教学，化抽象为具体
操作引入概念，直观形象，生动活泼，且富有启发性和趣味性，便于唤起学生的注意力，学生通过仔细观察、积极思考和亲眼目睹的事实而获得新知识概念的过程提高了其观察力、思考力。如：在教学旋转变换的概念时，利用多媒体演示一些生活中旋转的例子，在激发学生兴趣的同时感知旋转的现象。在教学两圆的五种位置关系中的外离、外切、相交、内切、内含等概念时，利用多媒体，从两圆外离的位置开始演示，其中一个圆固定不动，另一个圆向着它运动，从运动的过程中去理解两圆外离、外切、相交、内切、内含等概念。
四、数学概念的理解
《数学课程标准》中指出：“正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。”
1、符号误导。由于数学概念本身就较为抽象，加上用符号表示，从而使概念更抽象化，因此教学中要注意引导学生对符号所表达的内涵进行纵横联系，使学生真正理解概念，理解符号的数学含义。例如，在锐角三角函数概念的教学中，让学生理解正弦、余弦、正切、余切是表示相应的两条线段之比，实质上是一个比值，比值的大小与点在角的终边上的位置无关，只与对应的角的大小有关，当角的大小确定，比值也唯一确定。因此，他们的自变量是角，比如sinα是表示α的正弦函数的一个完整符号，从变量的角度来看，它表示了α是自变量，sinα是α的函数。从而让学生明白sinα是一个整体，只有符号sin是没有意义的。
2、隐含条件。对于概念中的那些隐含条件，要跟学生讲清楚。比如：在一元一次方程的概念教学中，其一般形式是：ax+b=0（其中a，b均为常数，且a≠0）。这里的隐含条件就是a≠0，为了进一步加深学生对概念的理解，可举一些反例①3a+2b；②5x—10≤0；③xy=4；④ax+b=0（其中a，b均为常数），让学生先判断再说明理由。又如：二次根式 的隐含条件是：（a≥0）；抛物线y=ax2+bx+c（其中a，b，c均为常数）隐含条件是：a≠0 3、望文生义。比如：非负整数：不少同学理解为“不是负整数的数”。其实，“非负整数”应为“整数中的非负数”，它首先是一个整数然后不带负号，即“非负整数”为“0或正整数”。用这样的思路可帮助学生去正确理解“非正整数”、“非正数”、“非负数”等概念。
五、数学概念的巩固与应用
心理学告诉我们，概念一旦获得如不及时巩固就会被遗忘。因此，概念的巩固与应用尤其重要。教师要在学生形成概念地基础上，创造性地使用教材，通过精心设计适量典型性的例题和习题，让学生尝试应用概念解决问题。例如，平方根的概念是初中数学的一个难点，在教学这个概念后，可以通过以下几类练习题加以巩固。第一类，使学生加深对平方根符号的运用，可以让学生练习：（1）把32=9；42=16；（—6）2=36；改写成平方根形式，（2）把 =1 ； ； 等改写成平方形式，并让学生说出底、幂、被开方数、平方根，通过这些练习一方面把被开方数a与二次幂联系起来，加深对符号意义的理解，也明白为什么在二次根式 中，a≥0。另一方面又理解了平方运算和开平方运算的互逆性。第二类，扣住平方根定义去思考。如求16，81，0，6这些数的平方根。讲解时可以这样分析：什么叫求16的平方根？根据平方根的定义，就是要求一个数x，使x2=16。因为42=16，（—4）2=16，所以16的平方根是4和—4。第三类，利用反例加深对概念的巩固，如：判断下列语句是否正确，并说明理由。（1）36的平方根是6，（2）0没有平方根，（3）—9的平方根是3和—3，（4）13没有平方根。
总之，概念的教学方法是多种多样的，在教学时，应重视学生的思维特征和认知水平，根据学生的具体情况和知识的需要，联系实际，精心设计，灵活运用，针对不同概念采取不同的教学方法，力争使这些方法既符合学生认识发展的规律，又符合每个数学概念发生发展的规律。这样才能有效地进行概念教学，降低学生学习的难度，让“人人学有价值的数学”；使“不同的人在数学上得到不同的发展。”提高教学质量。
参考文献
[1]赵振威《中学数学教材教法》（修订二版）第一分册华东师范大学出版
[2]孙维刚《孙维刚初中数学》北京大学出版社2005年1月
[3]张奠宙、戴再平《数学教育研究导引》江苏教育出版社出版1994年10月
[4]曹才翰、章建跃《数学教育心理学》北京师范大学出版社2001年3月
[摘要]数学概念是数学知识的基础，是数学教材的最基本因素，是数学思想与方法的载体。正确理解并灵活运用数学概念，是掌握数学基础知识和运算技能、发展逻辑论证和空间想象能力的前提。
[关键词]数学概念；概念教学；引入；理解；巩固与运用。
【中图分类号】G623.5
我国著名数学家华罗庚曾说过：“数学的学习过程，就是不断的建立各种数学概念的过程”。在初中数学教学中，重视概念课的教学，正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。学生数学能力的发展也取决于他对数学概念的牢固掌握与深刻理解与否。因而，数学概念的教学在整个数学教学中有着不可替代的作用和地位。
一、何为数学概念
数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维形式。正确地理解和形成一个数学概念，必须明确这个数学概念的内涵——对象的“质”的特征，及其外延——对象的“量”的范围。
二、数学概念的表现形式
在初中阶段，常以文字表达一个数学概念，即定义的方式，如分数、比例、函数等。另外，许多数学概念需要用数学符号来表示，比如三角函数和二次根式的表达。此外，数学概念还需要用图形来表示，而有些数学概念本身就是图形，如平行四边形、棱锥、双曲线等。
三、数学概念的引入
数学概念是数学学习的主要内容之一，概念的引入是学生获得概念的前奏，并极大地影响着学生对概念的理解和运用。概念属于理性认识，它的形成依赖于感性认识，学生的心理特点是容易理解和接受具体的感性认识。恰当地选择引入概念的方式显得尤为重要。数学概念的引入一般有以下五种方式：
1.创设情境，激发兴趣
“兴趣是最好的老师”。我们在备课时要充分挖掘知识的趣味因素，找一些有关本章节内容且易于理解的趣题作引例，牢牢抓住学生的注意力，调动其积极思维，使他们对概念产生浓厚兴趣。如：学习勾股定理时，可以向学生介绍我国古代的数学著作《周髀算经》，并说明勾股定理是我国古代数学家于2000年前就发现了的，激发学生对勾股定理的兴趣和自豪感，引入课题；学习平面直角坐标系时，可以向学生介绍法国数学家笛卡尔是如何想到用坐标系来把几何图形与代数方程结合起来的。学生会在惊奇、自豪、轻松愉快的气氛中理解、接受这些概念。
2、贴近生活，联系实际
数学来源于生活，又服务于生活。用生活中的实际例子来引入数学概念，把生活经验数学化，把数学问题生活化，这样既有利于激发学生的学习兴趣和学习动机，又符合学生由感性到理性的认知规律。例如在教学“数轴”这个概念时，可以先列举一些生活中的数学例子，如温度计上的“点”表示物体的温度，杆秤上的“点”表示重量，标尺上的“点”表示长度等。秤杆、温度计、标尺都具有“三要素”：①度量的点 ②度量的单位③增减方向。这些模型都启发人们用直线上的“点”来表示数，从而引出“数轴”概念。又如，在正负数的概念教学中，负数的概念对学生来说抽象又难理解，在教学中首先要给学生认识大量的相反意义的量，如收入与支出、上升与下降、零上与零下等。使学生在现实原型的基础上，理解正负数的概念，同时也使学生认识到数学概念的产生来源于实际的需要，激发学生的学习积极性。
3、设置问题，探索新知
先提出一个问题，使学生在头脑中产生疑问，从而激发学生的求知欲。让学生动脑思考，在问题的解决中引入概念，使学生在思考中对概念的理解更加深入。例如：学习相似的概念时，可以向学生提问：你能测量出教学大楼的高度吗？又如：在教学扇形的面积时，首先来一段《上甘岭》机枪扫射的战争场面，把同学的情绪激发出来，然后，话题一转：“同学们，假设敌人碉堡的机枪有效射程是100米，机枪转动的角度是120度，那么敌人机枪的控制区域的面积是多大？”自然的引入了扇形的面积问题。
4、联系旧知，巧妙类比
初中数学概念有很多与旧概念有着千丝万缕的联系，我们可以在比较它们异同的基础上建立起新的概念。类比不但是思维的一种重要形式，而且也是引入新概念的一种重要方法。例如，分式可类比分数引入，不等式可类比方程引入，相似三角形可类比全等三角形引入，二次函数的定义可类比一次函数的定义引入等。通过类比旧概念来学习新概念，既可以让学生感受到两个知识点的联系与区别，又可以进一步加深对两个知识点的认识和理解。
5、辅助教学，化抽象为具体
操作引入概念，直观形象，生动活泼，且富有启发性和趣味性，便于唤起学生的注意力，学生通过仔细观察、积极思考和亲眼目睹的事实而获得新知识概念的过程提高了其观察力、思考力。如：在教学旋转变换的概念时，利用多媒体演示一些生活中旋转的例子，在激发学生兴趣的同时感知旋转的现象。在教学两圆的五种位置关系中的外离、外切、相交、内切、内含等概念时，利用多媒体，从两圆外离的位置开始演示，其中一个圆固定不动，另一个圆向着它运动，从运动的过程中去理解两圆外离、外切、相交、内切、内含等概念。
四、数学概念的理解
《数学课程标准》中指出：“正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。”
1、符号误导。由于数学概念本身就较为抽象，加上用符号表示，从而使概念更抽象化，因此教学中要注意引导学生对符号所表达的内涵进行纵横联系，使学生真正理解概念，理解符号的数学含义。例如，在锐角三角函数概念的教学中，让学生理解正弦、余弦、正切、余切是表示相应的两条线段之比，实质上是一个比值，比值的大小与点在角的终边上的位置无关，只与对应的角的大小有关，当角的大小确定，比值也唯一确定。因此，他们的自变量是角，比如sinα是表示α的正弦函数的一个完整符号，从变量的角度来看，它表示了α是自变量，sinα是α的函数。从而让学生明白sinα是一个整体，只有符号sin是没有意义的。
2、隐含条件。对于概念中的那些隐含条件，要跟学生讲清楚。比如：在一元一次方程的概念教学中，其一般形式是：ax+b=0（其中a，b均为常数，且a≠0）。这里的隐含条件就是a≠0，为了进一步加深学生对概念的理解，可举一些反例①3a+2b；②5x—10≤0；③xy=4；④ax+b=0（其中a，b均为常数），让学生先判断再说明理由。又如：二次根式 的隐含条件是：（a≥0）；抛物线y=ax2+bx+c（其中a，b，c均为常数）隐含条件是：a≠0 3、望文生义。比如：非负整数：不少同学理解为“不是负整数的数”。其实，“非负整数”应为“整数中的非负数”，它首先是一个整数然后不带负号，即“非负整数”为“0或正整数”。用这样的思路可帮助学生去正确理解“非正整数”、“非正数”、“非负数”等概念。
五、数学概念的巩固与应用
心理学告诉我们，概念一旦获得如不及时巩固就会被遗忘。因此，概念的巩固与应用尤其重要。教师要在学生形成概念地基础上，创造性地使用教材，通过精心设计适量典型性的例题和习题，让学生尝试应用概念解决问题。例如，平方根的概念是初中数学的一个难点，在教学这个概念后，可以通过以下几类练习题加以巩固。第一类，使学生加深对平方根符号的运用，可以让学生练习：（1）把32=9；42=16；（—6）2=36；改写成平方根形式，（2）把 =1 ； ； 等改写成平方形式，并让学生说出底、幂、被开方数、平方根，通过这些练习一方面把被开方数a与二次幂联系起来，加深对符号意义的理解，也明白为什么在二次根式 中，a≥0。另一方面又理解了平方运算和开平方运算的互逆性。第二类，扣住平方根定义去思考。如求16，81，0，6这些数的平方根。讲解时可以这样分析：什么叫求16的平方根？根据平方根的定义，就是要求一个数x，使x2=16。因为42=16，（—4）2=16，所以16的平方根是4和—4。第三类，利用反例加深对概念的巩固，如：判断下列语句是否正确，并说明理由。（1）36的平方根是6，（2）0没有平方根，（3）—9的平方根是3和—3，（4）13没有平方根。
总之，概念的教学方法是多种多样的，在教学时，应重视学生的思维特征和认知水平，根据学生的具体情况和知识的需要，联系实际，精心设计，灵活运用，针对不同概念采取不同的教学方法，力争使这些方法既符合学生认识发展的规律，又符合每个数学概念发生发展的规律。这样才能有效地进行概念教学，降低学生学习的难度，让“人人学有价值的数学”；使“不同的人在数学上得到不同的发展。”提高教学质量。
参考文献
[1]赵振威《中学数学教材教法》（修订二版）第一分册华东师范大学出版
[2]孙维刚《孙维刚初中数学》北京大学出版社2005年1月
[3]张奠宙、戴再平《数学教育研究导引》江苏教育出版社出版1994年10月
[4]曹才翰、章建跃《数学教育心理学》北京师范大学出版社2001年3月