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摘 要：针对反应堆控制棒驱动机构（Control Rod Drive Mechanics，CRDM）运行过程中偶尔出现由于弹簧组件约束失稳而引起运行不畅的现象，结合屈曲失稳理论，引入大变形非线性有限元分析，揭示弹簧失稳随机性与驱动机构运行不畅的内在原因，模拟弹簧组件的约束失稳过程. 研究表明有必要提出“过程相关约束失稳”的理论观点.
关键词：控制棒驱动机构； 弹簧； 屈曲失稳； 有限元； 过程相关约束失稳； MSC Marc
中图分类号：O241.82; TL364； TK413.43
文献标志码：A
Finite element analysis on constrained buckling of spring members in reactor
ZHENG Bailin1, YANG Qing1,2, WU Xiugen1,2, JU Jingxian3, LU Hua3
(1. Institute of Applied Mechanics, Tongji Univ., Shanghai 200092, China;
2. Shanghai Linyoo Info. & Tech. Co., Ltd., Shanghai 200092, China;
3. Navy Representative Office, Shanghai Power Plant Auxiliary Machine Factory, Shanghai 200090, China)
Abstract： With the sporadical anomaly operation of Control Rod Drive Mechanics (CRDM) system in reactor due to constrained buckling, the nonlinear large deformation finite element analysis is introduced with buckling theory combined. The underlying reasons are studied for the spring buckling randomicity and sluggish operation of drive system. The course of spring members constrained buckling when loaded is simulated. The study shows that it is necessary to propose the “constrained buckling related to process of loading” theory.
Key words： control rod drive mechanics; spring; buckling; finite element; constrained buckling related to process of loading; MSC Marc
0 引 言
反应堆控制棒驱动机构(Control Rod Drive Mechanics,CRDM)是反应堆起堆、运行、功率维持和紧急停堆的执行机构，是控制核反应堆正常运行的关键设备，要求具有高度的可靠性.[1]该机构工作在靠近堆芯附近的高温高压环境中[2]，工作条件恶劣，机构组件的力学机械性能与常温常压状态存在巨大差异.高温时控制棒驱动机构在运行过程中偶尔会出现由于弹簧组件约束失稳而导致的机构运行不畅现象，且故障出现频率是随机的.本文结合屈曲失稳分析理论，运用有限元大变形非线性计算方法，描述机构弹簧组件约束失稳的力学过程，揭示弹簧失稳随机性与机构运行不畅的内在原因，并在研究过程中发现新的学术研究点，提出“过程相关约束失稳”的理论观点.
1 弹簧机构描述
控制棒驱动机构弹簧系统结构复杂，工作时弹簧沿导向构件轴向压缩，并受到导向构件约束作用，见图1.
图 1 弹簧组件
高温时的弹簧在压缩过程中会出现与导向构件卡滞的现象，导致机构运行不畅.该故障随机出现，且概率很低.
细长的螺旋弹簧沿轴向受载.在加载过程中，当达到某一临界载荷时弹簧发生侧向变形、不能继续受载的情况称为弹簧的屈曲失稳[3]，它具有多种形态，而每种形态的产生具有随机性，故可以推测发生卡滞的随机性与弹簧发生屈曲失稳形式的随机性有着密切联系.如没有导向构件则弹簧很容易发生屈曲失稳.
经典弹簧屈曲计算公式[4]为
由于根号内要保持非负，所求的弹簧临界值长径比为l0/R≤5.24.
本套机构弹簧的长径比l0/R远大于5.24，可以确定如果没有导向构件的作用，弹簧很容易发生屈曲而失去承载力.
通过分析认为，该组件的机械故障可能是因弹簧屈曲失稳而增加与导向构件的接触力和摩擦力所致，通过建立有限元模型对上述弹簧进行屈曲特性的分析计算.
2 屈曲失稳特征的有限元分析
线性屈曲分析可以研究结构失稳发生时的临界载荷和失稳形态，由于结构失稳前系统刚度矩阵会出现奇异，可将失稳问题转化为特征值问题.[5-7]本文使用MSC Marc非线性有限元软件进行计算分析.
对弹簧进行有限元计算网格划分，计算采用六面体网格，精度较高.有限元模型见图2和图3.
图 3 弹簧模型局部放大
图 2 弹簧有限元模型
2.1 屈曲失稳特征计算结果
弹簧的第1、第2和第3阶都是侧向失稳；第4、第8和第10阶都出现径向膨胀；第5、第6和第9阶表现为弹簧的侧向失稳与空间扭转组合的失稳形式；而第7阶则出现侧向、扭转、膨胀等3种失稳形式的组合.图4(a)至(j)分别表示弹簧第1至第10阶的失稳形态.
计算得到弹簧1至10阶的屈曲临界失稳载荷，其中第6与第7阶的临界屈曲载荷都为275.5 N，说明对应这种临界载荷的失稳形式有两种，即弹簧在275.5 N的临界载荷作用下出现任何一种屈曲失稳形式是随机的，见表1.
通过对弹簧前10阶临界失稳载荷的计算得到：
图 4 弹簧第1至10阶的失稳形态
表 1 屈曲失稳模态阶数与临界载荷
不同的临界失稳载荷对应弹簧不同的失稳波形，随着模态阶数上升，弹簧的临界失稳载荷在不断增加，出现第10阶失稳模态的临界载荷达到466.7 N.
2.2 屈曲失稳特征分析结论
弹簧在较小的临界力作用下就会发生屈曲失稳现象，由于弹簧在实际工作过程中压缩承载力的数值要大于480 N，所以上述任何一种屈曲形式都可能在其压缩过程中发生.弹簧甚至可以出现几种屈曲形式的叠加，其变形将会变得异常复杂，不但会出现侧向失稳，而且会出现扭转、膨胀变形，从而导致弹簧和导向构件的接触摩擦关系发生重大改变.
弹簧屈曲失稳形态的不确定性与随机性是导致机构运行不畅的一个重要原因，并且在高温高压状态时，弹簧材料受温度影响刚度降低、摩擦性质改变，将更容易发生屈曲失稳，从而出现更加复杂的屈曲失稳形态.
3 弹簧压缩过程的非线性有限元模拟
弹簧在压缩时因屈曲失稳而失去承载力，控制棒驱动机构弹簧由于受到导向构件的约束作用，虽然发生失稳现象，但仍可以承受载荷继续工作.弹簧发生失稳变形后与导向构件发生接触，限制弹簧的侧向扰动，所以弹簧可以继续承载，而此时弹簧处于约束失稳的力学状态.约束失稳是指构件失稳时其屈曲变形不能自由发展而受到某种限制性约束的失稳，有时又称单向失稳、限制失稳.[8]
本机构弹簧的约束失稳状态更加复杂，因为弹簧是被逐渐压缩的，在压缩的不同阶段显示出不同的约束失稳状态，而压缩过程中的弹簧势能总是逐渐积累增加的，弹簧片段中局部能量的分配随着弹簧压缩过程中失稳波形的变化而变化，要研究弹簧的失稳变形对驱动机构落棒卡滞的影响，就要分析弹簧在压缩过程中的约束失稳状态，所以必须从动态的、过程相关的角度看待本机构中弹簧压缩的约束失稳状态.
由于目前没有成熟的与过程相关的约束失稳理论用于分析弹簧屈曲失稳的压缩过程，所以拟用非线性有限元分析方法近似模拟弹簧的压缩失稳过程.
弹簧压缩分析属于小应变大位移的几何非线性分析，在压缩变形过程中，弹簧截面承受的载荷包括剪力、扭矩、弯矩和压力.[8]一般情况下弹簧在正常工作状态时应该处于弹性范围，所以认为弹簧单元处于线弹性应变可恢复状态，计算中弹簧单元受力状态是线弹性分析.对于长弹簧，虽然每个弹簧单元都处于小应变状态，但是由于弹簧的压缩变形量很大，导致弹簧单元处于大位移的几何非线性状态，因此运用小应变大位移的几何非线性有限元分析方法模拟弹簧的压缩过程才是合理的.
3.1 非线性有限元分析
对弹簧组件进行有限元网格划分，导向构件与弹簧均采用六面体实体单元离散，见图5，设置弹簧沿导向构件轴向压缩，分析弹簧的压缩变形规律并与实验结果进行对比.
图 5 弹簧组件非线性有限元分析模型
取摩擦因子为0.2[9]，设置弹簧与导向构件之间为接触关系，摩擦类型定义为库仑摩擦模型.
计算结果得到弹簧压缩完成后的变形形态与实验结果吻合很好，该弹簧在压缩完成后与导向构件形成4个接触区域，分别是a, b, c, d.弹簧在a区域上导向构件接触面积较大，在b, c, d等区域由于远离约束端，失稳情况较严重，在这3个区域的接触面积都较小，见图6.
图 6 计算结果与实验结果对比
3.2 非线性有限元分析结论
通过对比计算结果与实验结果，有限元非线性大变形计算方法可以较为准确地模拟弹簧压缩完成后在导向构件约束下的失稳变形状态.弹簧在实际压缩过程中的高度不断改变，同时约束失稳状态也在不断改变，即弹簧a, b, c, d4个区域与导向构件的接触关系在不断变化，这种变化不断影响弹簧的接触受力，也改变着弹簧的约束条件.约束条件的随机改变导致弹簧在压缩过程中出现多种屈曲失稳形式，而数值计算只能较为准确地反映弹簧压缩完成后的力学状态，难以反映弹簧压缩过程与约束状态耦合相关的随机特性.
4 过程相关约束失稳理论
在进行弹簧屈曲失稳分析时，发现由于要考虑屈曲失稳的变形形态与加载过程的相关性，所以用提取特征值的线性屈曲分析方法已不能满足上述要求，同时非线性屈曲的分析方法也不能够求解弹簧压缩过程中出现的各阶屈曲形式的随机性，并且此类弹簧压缩时处于非线性接触边界条件的约束下，约束条件会随弹簧的失稳形态而不断变化，所以上述方法都不能精确满足弹簧约束失稳与过程相关的特点.由于没有可以借鉴的相关理论，所以本文用大位移几何非线性有限元分析方法近似模拟弹簧压缩的失稳过程，但是要更加精确地求解此类问题，需要发展一套与过程相关的约束失稳理论，可以称之为“过程相关约束失稳”理论.
5 结 论
(1) 用有限元线性屈曲的分析方法，研究弹簧1～10阶的屈曲与临界力，说明弹簧屈曲失稳形态已非常复杂，严重改变弹簧组件正常的受力状态，并且发现机构出现故障的随机性与弹簧屈曲失稳形式的随机性相关.
(2) 用有限元大位移几何非线性的分析方法，近似描述弹簧压缩的屈曲失稳过程，模拟弹簧在导向构件约束条件下的压缩过程，与实验结果进行对比分析，说明有限元非线性大变形计算方法可以较为准确地模拟弹簧压缩完成后在导向构件约束下的失稳变形状态.
(3) 要准确模拟弹簧压缩过程与约束状态改变这一耦合相关过程，需要发展一套“过程相关约束失稳”的理论体系.
参考文献：
[1] ISHIDA Toshihisa, IMAYOSHI Shou, YORITSUNE Tsutomu, et. al. Development of in-vessel type control rod drive mechanism for marine reactor[J]. J Nuclear Sci & Tech, 2001, 38(7): 557-570.
[2] JE Yongyu, JONG Inkim. SMART线性脉冲电机型控制元件驱动机构[J].国外核动力, 2002, 23(6):16-21.
[3] 陈铁云, 沈惠申. 结构的屈曲[M]. 上海: 上海科学技术文献出版社,1993.
[4] TIMOSHENKO S P, GERE J M. Theory of elastic stability [M]. New York: McGraw Hill, 1961.
[5] 斯特朗 G, 费克斯 G J. 有限元法分析[M]. 北京: 科学出版社, 1983.
[6] 陈火红. Marc有限元分析实例教程[M]. 北京: 机械工业出版社, 2002.
[7] 朱凼凼, 冯咬齐, 向树红. KM5A真空容器屈曲稳定有限元分析[J]. 航天器环境工程， 2004, 21(9): 23-28.
[8] 郭英涛, 任文敏. 关于限制失稳的研究进展[J]. 力学进展， 2004, 34(1): 41-52.
[9] 高彩桥. 摩擦金属学[M]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社, 1988.
(编辑 廖粤新)
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
关键词：控制棒驱动机构； 弹簧； 屈曲失稳； 有限元； 过程相关约束失稳； MSC Marc
中图分类号：O241.82; TL364； TK413.43
文献标志码：A
Finite element analysis on constrained buckling of spring members in reactor
ZHENG Bailin1, YANG Qing1,2, WU Xiugen1,2, JU Jingxian3, LU Hua3
(1. Institute of Applied Mechanics, Tongji Univ., Shanghai 200092, China;
2. Shanghai Linyoo Info. & Tech. Co., Ltd., Shanghai 200092, China;
3. Navy Representative Office, Shanghai Power Plant Auxiliary Machine Factory, Shanghai 200090, China)
Abstract： With the sporadical anomaly operation of Control Rod Drive Mechanics (CRDM) system in reactor due to constrained buckling, the nonlinear large deformation finite element analysis is introduced with buckling theory combined. The underlying reasons are studied for the spring buckling randomicity and sluggish operation of drive system. The course of spring members constrained buckling when loaded is simulated. The study shows that it is necessary to propose the “constrained buckling related to process of loading” theory.
Key words： control rod drive mechanics; spring; buckling; finite element; constrained buckling related to process of loading; MSC Marc
0 引 言
反应堆控制棒驱动机构(Control Rod Drive Mechanics,CRDM)是反应堆起堆、运行、功率维持和紧急停堆的执行机构，是控制核反应堆正常运行的关键设备，要求具有高度的可靠性.[1]该机构工作在靠近堆芯附近的高温高压环境中[2]，工作条件恶劣，机构组件的力学机械性能与常温常压状态存在巨大差异.高温时控制棒驱动机构在运行过程中偶尔会出现由于弹簧组件约束失稳而导致的机构运行不畅现象，且故障出现频率是随机的.本文结合屈曲失稳分析理论，运用有限元大变形非线性计算方法，描述机构弹簧组件约束失稳的力学过程，揭示弹簧失稳随机性与机构运行不畅的内在原因，并在研究过程中发现新的学术研究点，提出“过程相关约束失稳”的理论观点.
1 弹簧机构描述
控制棒驱动机构弹簧系统结构复杂，工作时弹簧沿导向构件轴向压缩，并受到导向构件约束作用，见图1.
图 1 弹簧组件
高温时的弹簧在压缩过程中会出现与导向构件卡滞的现象，导致机构运行不畅.该故障随机出现，且概率很低.
细长的螺旋弹簧沿轴向受载.在加载过程中，当达到某一临界载荷时弹簧发生侧向变形、不能继续受载的情况称为弹簧的屈曲失稳[3]，它具有多种形态，而每种形态的产生具有随机性，故可以推测发生卡滞的随机性与弹簧发生屈曲失稳形式的随机性有着密切联系.如没有导向构件则弹簧很容易发生屈曲失稳.
经典弹簧屈曲计算公式[4]为
由于根号内要保持非负，所求的弹簧临界值长径比为l0/R≤5.24.
本套机构弹簧的长径比l0/R远大于5.24，可以确定如果没有导向构件的作用，弹簧很容易发生屈曲而失去承载力.
通过分析认为，该组件的机械故障可能是因弹簧屈曲失稳而增加与导向构件的接触力和摩擦力所致，通过建立有限元模型对上述弹簧进行屈曲特性的分析计算.
2 屈曲失稳特征的有限元分析
线性屈曲分析可以研究结构失稳发生时的临界载荷和失稳形态，由于结构失稳前系统刚度矩阵会出现奇异，可将失稳问题转化为特征值问题.[5-7]本文使用MSC Marc非线性有限元软件进行计算分析.
对弹簧进行有限元计算网格划分，计算采用六面体网格，精度较高.有限元模型见图2和图3.
图 3 弹簧模型局部放大
图 2 弹簧有限元模型
2.1 屈曲失稳特征计算结果
弹簧的第1、第2和第3阶都是侧向失稳；第4、第8和第10阶都出现径向膨胀；第5、第6和第9阶表现为弹簧的侧向失稳与空间扭转组合的失稳形式；而第7阶则出现侧向、扭转、膨胀等3种失稳形式的组合.图4(a)至(j)分别表示弹簧第1至第10阶的失稳形态.
计算得到弹簧1至10阶的屈曲临界失稳载荷，其中第6与第7阶的临界屈曲载荷都为275.5 N，说明对应这种临界载荷的失稳形式有两种，即弹簧在275.5 N的临界载荷作用下出现任何一种屈曲失稳形式是随机的，见表1.
通过对弹簧前10阶临界失稳载荷的计算得到：
图 4 弹簧第1至10阶的失稳形态
表 1 屈曲失稳模态阶数与临界载荷
不同的临界失稳载荷对应弹簧不同的失稳波形，随着模态阶数上升，弹簧的临界失稳载荷在不断增加，出现第10阶失稳模态的临界载荷达到466.7 N.
2.2 屈曲失稳特征分析结论
弹簧在较小的临界力作用下就会发生屈曲失稳现象，由于弹簧在实际工作过程中压缩承载力的数值要大于480 N，所以上述任何一种屈曲形式都可能在其压缩过程中发生.弹簧甚至可以出现几种屈曲形式的叠加，其变形将会变得异常复杂，不但会出现侧向失稳，而且会出现扭转、膨胀变形，从而导致弹簧和导向构件的接触摩擦关系发生重大改变.
弹簧屈曲失稳形态的不确定性与随机性是导致机构运行不畅的一个重要原因，并且在高温高压状态时，弹簧材料受温度影响刚度降低、摩擦性质改变，将更容易发生屈曲失稳，从而出现更加复杂的屈曲失稳形态.
3 弹簧压缩过程的非线性有限元模拟
弹簧在压缩时因屈曲失稳而失去承载力，控制棒驱动机构弹簧由于受到导向构件的约束作用，虽然发生失稳现象，但仍可以承受载荷继续工作.弹簧发生失稳变形后与导向构件发生接触，限制弹簧的侧向扰动，所以弹簧可以继续承载，而此时弹簧处于约束失稳的力学状态.约束失稳是指构件失稳时其屈曲变形不能自由发展而受到某种限制性约束的失稳，有时又称单向失稳、限制失稳.[8]
本机构弹簧的约束失稳状态更加复杂，因为弹簧是被逐渐压缩的，在压缩的不同阶段显示出不同的约束失稳状态，而压缩过程中的弹簧势能总是逐渐积累增加的，弹簧片段中局部能量的分配随着弹簧压缩过程中失稳波形的变化而变化，要研究弹簧的失稳变形对驱动机构落棒卡滞的影响，就要分析弹簧在压缩过程中的约束失稳状态，所以必须从动态的、过程相关的角度看待本机构中弹簧压缩的约束失稳状态.
由于目前没有成熟的与过程相关的约束失稳理论用于分析弹簧屈曲失稳的压缩过程，所以拟用非线性有限元分析方法近似模拟弹簧的压缩失稳过程.
弹簧压缩分析属于小应变大位移的几何非线性分析，在压缩变形过程中，弹簧截面承受的载荷包括剪力、扭矩、弯矩和压力.[8]一般情况下弹簧在正常工作状态时应该处于弹性范围，所以认为弹簧单元处于线弹性应变可恢复状态，计算中弹簧单元受力状态是线弹性分析.对于长弹簧，虽然每个弹簧单元都处于小应变状态，但是由于弹簧的压缩变形量很大，导致弹簧单元处于大位移的几何非线性状态，因此运用小应变大位移的几何非线性有限元分析方法模拟弹簧的压缩过程才是合理的.
3.1 非线性有限元分析
对弹簧组件进行有限元网格划分，导向构件与弹簧均采用六面体实体单元离散，见图5，设置弹簧沿导向构件轴向压缩，分析弹簧的压缩变形规律并与实验结果进行对比.
图 5 弹簧组件非线性有限元分析模型
取摩擦因子为0.2[9]，设置弹簧与导向构件之间为接触关系，摩擦类型定义为库仑摩擦模型.
计算结果得到弹簧压缩完成后的变形形态与实验结果吻合很好，该弹簧在压缩完成后与导向构件形成4个接触区域，分别是a, b, c, d.弹簧在a区域上导向构件接触面积较大，在b, c, d等区域由于远离约束端，失稳情况较严重，在这3个区域的接触面积都较小，见图6.
图 6 计算结果与实验结果对比
3.2 非线性有限元分析结论
通过对比计算结果与实验结果，有限元非线性大变形计算方法可以较为准确地模拟弹簧压缩完成后在导向构件约束下的失稳变形状态.弹簧在实际压缩过程中的高度不断改变，同时约束失稳状态也在不断改变，即弹簧a, b, c, d4个区域与导向构件的接触关系在不断变化，这种变化不断影响弹簧的接触受力，也改变着弹簧的约束条件.约束条件的随机改变导致弹簧在压缩过程中出现多种屈曲失稳形式，而数值计算只能较为准确地反映弹簧压缩完成后的力学状态，难以反映弹簧压缩过程与约束状态耦合相关的随机特性.
4 过程相关约束失稳理论
在进行弹簧屈曲失稳分析时，发现由于要考虑屈曲失稳的变形形态与加载过程的相关性，所以用提取特征值的线性屈曲分析方法已不能满足上述要求，同时非线性屈曲的分析方法也不能够求解弹簧压缩过程中出现的各阶屈曲形式的随机性，并且此类弹簧压缩时处于非线性接触边界条件的约束下，约束条件会随弹簧的失稳形态而不断变化，所以上述方法都不能精确满足弹簧约束失稳与过程相关的特点.由于没有可以借鉴的相关理论，所以本文用大位移几何非线性有限元分析方法近似模拟弹簧压缩的失稳过程，但是要更加精确地求解此类问题，需要发展一套与过程相关的约束失稳理论，可以称之为“过程相关约束失稳”理论.
5 结 论
(1) 用有限元线性屈曲的分析方法，研究弹簧1～10阶的屈曲与临界力，说明弹簧屈曲失稳形态已非常复杂，严重改变弹簧组件正常的受力状态，并且发现机构出现故障的随机性与弹簧屈曲失稳形式的随机性相关.
(2) 用有限元大位移几何非线性的分析方法，近似描述弹簧压缩的屈曲失稳过程，模拟弹簧在导向构件约束条件下的压缩过程，与实验结果进行对比分析，说明有限元非线性大变形计算方法可以较为准确地模拟弹簧压缩完成后在导向构件约束下的失稳变形状态.
(3) 要准确模拟弹簧压缩过程与约束状态改变这一耦合相关过程，需要发展一套“过程相关约束失稳”的理论体系.
参考文献：
[1] ISHIDA Toshihisa, IMAYOSHI Shou, YORITSUNE Tsutomu, et. al. Development of in-vessel type control rod drive mechanism for marine reactor[J]. J Nuclear Sci & Tech, 2001, 38(7): 557-570.
[2] JE Yongyu, JONG Inkim. SMART线性脉冲电机型控制元件驱动机构[J].国外核动力, 2002, 23(6):16-21.
[3] 陈铁云, 沈惠申. 结构的屈曲[M]. 上海: 上海科学技术文献出版社,1993.
[4] TIMOSHENKO S P, GERE J M. Theory of elastic stability [M]. New York: McGraw Hill, 1961.
[5] 斯特朗 G, 费克斯 G J. 有限元法分析[M]. 北京: 科学出版社, 1983.
[6] 陈火红. Marc有限元分析实例教程[M]. 北京: 机械工业出版社, 2002.
[7] 朱凼凼, 冯咬齐, 向树红. KM5A真空容器屈曲稳定有限元分析[J]. 航天器环境工程， 2004, 21(9): 23-28.
[8] 郭英涛, 任文敏. 关于限制失稳的研究进展[J]. 力学进展， 2004, 34(1): 41-52.
[9] 高彩桥. 摩擦金属学[M]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社, 1988.
(编辑 廖粤新)
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”