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摘要：金融风险的度量是金融风险管理领域的核心。VaR（Value at Risk）方法已被广泛采用并成为金融行业风险管理的标准。本文对中国股票市场的收益率进行了统计分析，使用基于极值理论和贝叶斯估计的VaR方法对上证指数和深成指数进行实证分析，结果表明，用贝叶斯估计比经典统计方法估计得出的VaR值能够更准确地反映市场的风险状况。
关键词：风险值（VaR）;极值理论;贝叶斯估计
金融市场自产生以来，金融风险以其不可预见性及其导致的巨额经济损失越来越受到人们的关注。随着我国金融改革的不断深人，市场风险越来越成为现代金融机构管理和监管的重点。VaR已经成为金融界广泛应用的风险测度方法。VaR即在一定的概率水平下，资产组合在未来特定一段时间内的最大可能损失。VaR将不同的市场风险因子集成为一个数，能准确测量由不同风险来源及其相互作用而产生的潜在损失，适应金融市场发展的动态性、复杂性和整合性的趋势。但VaR方法亦存在一些不足，本文使用基于贝叶斯估计的POT模型来估计我国股票市场的VaR。
一、基于贝叶斯估计和POT的VaR模型
VaR的概念简单，但度量却是具有挑战性的统计问题，不同计算方法得出的结果有时会相差很大。VaR三种基本的计算方法是参数法、历史模拟法和蒙特卡洛模拟法，其共同的特点是很少专注于考虑资产收益率概率分布的尾部，而正是那些发生概率极小的极端事件给金融机构带来了灾难性的后果。极值理论是测量极端市场条件下风险损失的一种方法，可以准确地描述分布尾部的分位数。POT模型是极值理论中最有用的模型之一，它对所有超过某一充分大阈值的样本数据进行建模，有效地使用有限的极端观测值。基于经典统计学的VaR估计方法是一种完全基于历史数据的方法，并假定变量间过去的关系在未来保持不变，显然，往往与事实不符。因此可将贝叶斯估计和极值理论相结合，研究资产收益率的尾部行为来计算VaR。
POT模型称为越槛高峰模型（Peak Over Threshold），它是对样本中超过某一充分大的阈值的所有观测值进行建模。假定 是独立同分布的随机变量，其分布函数记为F(y)，u为一充分大的阈值，样本超额数y的分布函数为Fu(y)，则有 ，只对尾部x>u是有效的。
极值理论表明，对充分大的阈值u，超过u的超额数的分布函数可用广义Pareto分布近似。广义Pareto分布的分布函数为:,当 时， ，当 时， 。于是可以基于超额数的广义帕雷托型拟合分布的尾部，并估计其分位数,若x>u，则 。此时目标是构造F(x)的一个尾部估计。为此需要：①找到充分大的阈值u；②估计 的参数 ；③估计F(u)。
用贝叶斯方法估计参数时，设 的先验分布分别为 和 ，根据贝叶斯法则 的后验分布为: ,要计算的后验量可以写成某函数f(y)关于 的期望， 。对于较简单的后验分布，我们可以直接计算上式或利用正态近似、数值积分、静态Monte Carlo等近似计算方法。但当后验分布很复杂时，这些方法难以实施，可以用MCMC方法计算，从而得出两参数的贝叶斯估计。
对于F(u)的估计，通常是采用历史模拟法，即用 作为F(u)的经验估计，得到F(x)的尾部估计:，注意，这个估计量只对尾部x>u是有效的。若给定概率 ，反解上式能计算得到q分位数的估计：
。（1）
二、中国股票市场及其收益率统计分析
1.数据说明
股市指数反应了股市的走势与变化，我们选取分别反映上证指数和深成指数分析我国股市的发展情况。上证综合指数的取值区间为1990.12.19—2009.2.20，深证成份指数的取值区间是1991.4.3—2009.2.20。图1和2分别给出了上证综合指数和深证成份指数收盘价的走势图，综合两指数的走势图可以看到中国股市总体上大致经历了三次大的涨跌，为此我们分阶段对两指数收益率进行统计分析，具体的划分是：1990.12-1996.1 是第一阶段，为起步阶段；1996.1-2005.7 是第二阶段，为探索和初步发展阶段，2005.7 至今是第三阶段，为发展的新阶段。这样划分符合投资者的心理感受，也与政府干预股市的变化密切相联。
图1 上证综合指数走势图图2 深圳成份指数走势图
2.实证分析结论
由于人们关心的是金融资产的价格变动或回报或收益率。对数收益率能够克服简单收益率的缺点，所以在金融经济的分析中常用对数收益率。定义对数收益率为:。(见表1)
表1 上海和深圳股市收益率整体和分段数据的基本统计特征
通过对整个样本和三个阶段收益率的基本统计特征分析、正态性分析、自相关性分析、波动的集聚性分析、股票市场间的相关性分析，得到以下结论：
(1)不管从偏度、峰度，还是从Jarqe-Bera检验来看，上证指数和深成指数均不服从正态分布，各个时段亦如此。从波动性来看，对于两个股票市场收益率的波动性在第二阶段最小，随着时间的推移，尖峰厚尾性明显减小。由序列的自相关性分析可知，在整个样本段和第一阶段的大部分时间上，两指数序列均存在一定的自相关性，但自相关性很小，第二和第三阶段，在某些滞后期零假设不能被拒绝。各序列滞后三天仍存在明显的正的相关性反应了我国股票市场中股票当天的交易信息会在市场上停留三天。
(2)对沪深两市的相关性分析中发现，总体上我国沪深两市是比较独立的，特别是在1996. 1以前，两个市场处于较强的割据状况；随着时间的推移， 在1996.1—2005.7间，短期两市不存在相互影响，但长期上两市存在一定的相互影响，而且沪市对深市的影响较深市对沪市的影响要大；在2005.7之后相反。通过对沪深两市是否存在长期均衡关系的协整发现，在整个时间段内上证指数与深成指数的波动存在长期稳定关系；而在分段样本中，只有第一阶段两指数存在协整关系，其它两阶段不存在协整关系。
三、股票市场VaR实证分析
1.数据说明
因为在我国股市发展的起步阶段，市场容量小，制度不健全，市场不规范，价格波动剧烈，将这一时期的数据加入到分析样本中会造成实际风险特征的扭曲，因此在风险分析中我们不考虑这一时期。我们选取最近的3000个收益率数据。
上证指数的基本统计特征：均值为0.000363、标准差为0.018043，偏度为-0.262619；峰度为7.7621。深成指数的基本统计特征：均值为0.000403、标准差为0.019549，偏度为-0.274977；峰度为6.85438。所以两指数分布都是有偏的、有峰的。它们的J-B统计量的相伴概率为0，拒绝分布为正态分布的原假设。在用POT模型分析时我们对负的对数收益率进行分析，即 。
2.阈值的选取
阈值的选取通常结合QQ图、平均超额函数图及Hill来确定。由两指数的正态QQ图及指数QQ图可以看出，两指数都是厚尾的，相应的GPD模型的形状参数 是大于零的。将平均超额函数法和Hill图法相结合可以初步对阈值估计，再根据Cramer-von统计量W2和Anderson-Darling统计量A2我们可以精确的得到上证指数的阈值为0.020965，超阈值的个数为247，超额数的概率为8.2%，深成指数的阈值为0.020418，超阈值的个数为261，超额数的概率为8.7%。由此我们得出POT模型只能估计概率小于8％时的VaR值。
3.GDP分布模型的参数估计
WinBUGS是一种建立和分析贝叶斯概率模型的程序模块。基于对话框和菜单按钮,给用户提供了一个用马尔可夫链蒙特卡罗方法分析模型的界面。我们利用这个软件对POT模型进行仿真。首先从条件后验分布中抽取样本,然后用得到的样本对模型的参数进行估计。为了方便，我们选取平坦分布 作为它的无信息先验分布，在实际应用中，参数的先验分布可以根据实际经验确定。Winbugs运行得到模型参数的估计值如表2，为了比较亦给出了基于极大似然估计的参数估计值。
表2 POT模型Bayes估计法和极大似然参数估计法的结果
4.VaR的计算
将参数代入式（1），我们分别取置信区间为95%、97.5%、99%、99.5%和99.9%，可以求得结果如表3。
表3 不同置信区间下的VaR
表3可以看出，基于贝叶斯估计下的上证指数和深成指数在各置信水平下的VaR 值均大于基于极大似然估计下各置信水平下的VaR值。这是由于Bayes方法把分布参数看作是随机变量，这实际上是在资产的收益率分布中增加了不确定性。由上述计算结果还可看出，各种方法得到的VaR中，深成指数都在各置信区间都要大于上证指数，说明深成指数所包含的股票的波动性要大于上证指数，也就是具有更大的市场风险。
四、结论
由于金融市场瞬息万变，离现在越久远的数据与当前市场情况的相关性越低，基于经典统计学的对未来的损失完全基于历史数据的方法，显然无法保证VaR模型的精度和有效性。由于金融市场中影响资产收益率的因素时刻都在变化,分布的参数也是不断变化的,因此将参数看作随机变量是合理的。将贝叶斯估计与极值理论相结合，研究资产收益率的尾部行为, 将历史数据与人们的经验预期结合起来，使得投资者能够根据观测数据结合自己所掌握的经验信息对风险值VaR模型进行调整，如此获得的VaR能够更准确地反映市场的风险状况，并据此做出正确的投资决策。
参考文献：
[1]王春峰:VaR金融市场风险管理[M].天津:天津大学出版社,2001:230.
[2]王春峰 万海辉 李 刚:基于MCMC的金融市场风险VaR的估计[J]. 管理科学学报，2000,3(2):54-61.
[3]肖敬红 缪柏其 吴振翔:应用极值理论计算VaR的一种方法[J].运筹与管理,2005(2):52-56.
[4]茆诗松:贝叶斯统计[M].北京:中国统计出版社,1999.
[5]Philippe Jorion.Value at Risk: The New Benchmark for Managing Financial Risk[M].2thEdition, New York,McGraw-Hill,1997.
[6]Francois Longin.From value at risk to stress testing:The extreme value approach[J]. Journal of Banking & Finance, 2000, 24: 1097 - 1130.
关键词：风险值（VaR）;极值理论;贝叶斯估计
金融市场自产生以来，金融风险以其不可预见性及其导致的巨额经济损失越来越受到人们的关注。随着我国金融改革的不断深人，市场风险越来越成为现代金融机构管理和监管的重点。VaR已经成为金融界广泛应用的风险测度方法。VaR即在一定的概率水平下，资产组合在未来特定一段时间内的最大可能损失。VaR将不同的市场风险因子集成为一个数，能准确测量由不同风险来源及其相互作用而产生的潜在损失，适应金融市场发展的动态性、复杂性和整合性的趋势。但VaR方法亦存在一些不足，本文使用基于贝叶斯估计的POT模型来估计我国股票市场的VaR。
一、基于贝叶斯估计和POT的VaR模型
VaR的概念简单，但度量却是具有挑战性的统计问题，不同计算方法得出的结果有时会相差很大。VaR三种基本的计算方法是参数法、历史模拟法和蒙特卡洛模拟法，其共同的特点是很少专注于考虑资产收益率概率分布的尾部，而正是那些发生概率极小的极端事件给金融机构带来了灾难性的后果。极值理论是测量极端市场条件下风险损失的一种方法，可以准确地描述分布尾部的分位数。POT模型是极值理论中最有用的模型之一，它对所有超过某一充分大阈值的样本数据进行建模，有效地使用有限的极端观测值。基于经典统计学的VaR估计方法是一种完全基于历史数据的方法，并假定变量间过去的关系在未来保持不变，显然，往往与事实不符。因此可将贝叶斯估计和极值理论相结合，研究资产收益率的尾部行为来计算VaR。
POT模型称为越槛高峰模型（Peak Over Threshold），它是对样本中超过某一充分大的阈值的所有观测值进行建模。假定 是独立同分布的随机变量，其分布函数记为F(y)，u为一充分大的阈值，样本超额数y的分布函数为Fu(y)，则有 ，只对尾部x>u是有效的。
极值理论表明，对充分大的阈值u，超过u的超额数的分布函数可用广义Pareto分布近似。广义Pareto分布的分布函数为:,当 时， ，当 时， 。于是可以基于超额数的广义帕雷托型拟合分布的尾部，并估计其分位数,若x>u，则 。此时目标是构造F(x)的一个尾部估计。为此需要：①找到充分大的阈值u；②估计 的参数 ；③估计F(u)。
用贝叶斯方法估计参数时，设 的先验分布分别为 和 ，根据贝叶斯法则 的后验分布为: ,要计算的后验量可以写成某函数f(y)关于 的期望， 。对于较简单的后验分布，我们可以直接计算上式或利用正态近似、数值积分、静态Monte Carlo等近似计算方法。但当后验分布很复杂时，这些方法难以实施，可以用MCMC方法计算，从而得出两参数的贝叶斯估计。
对于F(u)的估计，通常是采用历史模拟法，即用 作为F(u)的经验估计，得到F(x)的尾部估计:，注意，这个估计量只对尾部x>u是有效的。若给定概率 ，反解上式能计算得到q分位数的估计：
。（1）
二、中国股票市场及其收益率统计分析
1.数据说明
股市指数反应了股市的走势与变化，我们选取分别反映上证指数和深成指数分析我国股市的发展情况。上证综合指数的取值区间为1990.12.19—2009.2.20，深证成份指数的取值区间是1991.4.3—2009.2.20。图1和2分别给出了上证综合指数和深证成份指数收盘价的走势图，综合两指数的走势图可以看到中国股市总体上大致经历了三次大的涨跌，为此我们分阶段对两指数收益率进行统计分析，具体的划分是：1990.12-1996.1 是第一阶段，为起步阶段；1996.1-2005.7 是第二阶段，为探索和初步发展阶段，2005.7 至今是第三阶段，为发展的新阶段。这样划分符合投资者的心理感受，也与政府干预股市的变化密切相联。
图1 上证综合指数走势图图2 深圳成份指数走势图
2.实证分析结论
由于人们关心的是金融资产的价格变动或回报或收益率。对数收益率能够克服简单收益率的缺点，所以在金融经济的分析中常用对数收益率。定义对数收益率为:。(见表1)
表1 上海和深圳股市收益率整体和分段数据的基本统计特征
通过对整个样本和三个阶段收益率的基本统计特征分析、正态性分析、自相关性分析、波动的集聚性分析、股票市场间的相关性分析，得到以下结论：
(1)不管从偏度、峰度，还是从Jarqe-Bera检验来看，上证指数和深成指数均不服从正态分布，各个时段亦如此。从波动性来看，对于两个股票市场收益率的波动性在第二阶段最小，随着时间的推移，尖峰厚尾性明显减小。由序列的自相关性分析可知，在整个样本段和第一阶段的大部分时间上，两指数序列均存在一定的自相关性，但自相关性很小，第二和第三阶段，在某些滞后期零假设不能被拒绝。各序列滞后三天仍存在明显的正的相关性反应了我国股票市场中股票当天的交易信息会在市场上停留三天。
(2)对沪深两市的相关性分析中发现，总体上我国沪深两市是比较独立的，特别是在1996. 1以前，两个市场处于较强的割据状况；随着时间的推移， 在1996.1—2005.7间，短期两市不存在相互影响，但长期上两市存在一定的相互影响，而且沪市对深市的影响较深市对沪市的影响要大；在2005.7之后相反。通过对沪深两市是否存在长期均衡关系的协整发现，在整个时间段内上证指数与深成指数的波动存在长期稳定关系；而在分段样本中，只有第一阶段两指数存在协整关系，其它两阶段不存在协整关系。
三、股票市场VaR实证分析
1.数据说明
因为在我国股市发展的起步阶段，市场容量小，制度不健全，市场不规范，价格波动剧烈，将这一时期的数据加入到分析样本中会造成实际风险特征的扭曲，因此在风险分析中我们不考虑这一时期。我们选取最近的3000个收益率数据。
上证指数的基本统计特征：均值为0.000363、标准差为0.018043，偏度为-0.262619；峰度为7.7621。深成指数的基本统计特征：均值为0.000403、标准差为0.019549，偏度为-0.274977；峰度为6.85438。所以两指数分布都是有偏的、有峰的。它们的J-B统计量的相伴概率为0，拒绝分布为正态分布的原假设。在用POT模型分析时我们对负的对数收益率进行分析，即 。
2.阈值的选取
阈值的选取通常结合QQ图、平均超额函数图及Hill来确定。由两指数的正态QQ图及指数QQ图可以看出，两指数都是厚尾的，相应的GPD模型的形状参数 是大于零的。将平均超额函数法和Hill图法相结合可以初步对阈值估计，再根据Cramer-von统计量W2和Anderson-Darling统计量A2我们可以精确的得到上证指数的阈值为0.020965，超阈值的个数为247，超额数的概率为8.2%，深成指数的阈值为0.020418，超阈值的个数为261，超额数的概率为8.7%。由此我们得出POT模型只能估计概率小于8％时的VaR值。
3.GDP分布模型的参数估计
WinBUGS是一种建立和分析贝叶斯概率模型的程序模块。基于对话框和菜单按钮,给用户提供了一个用马尔可夫链蒙特卡罗方法分析模型的界面。我们利用这个软件对POT模型进行仿真。首先从条件后验分布中抽取样本,然后用得到的样本对模型的参数进行估计。为了方便，我们选取平坦分布 作为它的无信息先验分布，在实际应用中，参数的先验分布可以根据实际经验确定。Winbugs运行得到模型参数的估计值如表2，为了比较亦给出了基于极大似然估计的参数估计值。
表2 POT模型Bayes估计法和极大似然参数估计法的结果
4.VaR的计算
将参数代入式（1），我们分别取置信区间为95%、97.5%、99%、99.5%和99.9%，可以求得结果如表3。
表3 不同置信区间下的VaR
表3可以看出，基于贝叶斯估计下的上证指数和深成指数在各置信水平下的VaR 值均大于基于极大似然估计下各置信水平下的VaR值。这是由于Bayes方法把分布参数看作是随机变量，这实际上是在资产的收益率分布中增加了不确定性。由上述计算结果还可看出，各种方法得到的VaR中，深成指数都在各置信区间都要大于上证指数，说明深成指数所包含的股票的波动性要大于上证指数，也就是具有更大的市场风险。
四、结论
由于金融市场瞬息万变，离现在越久远的数据与当前市场情况的相关性越低，基于经典统计学的对未来的损失完全基于历史数据的方法，显然无法保证VaR模型的精度和有效性。由于金融市场中影响资产收益率的因素时刻都在变化,分布的参数也是不断变化的,因此将参数看作随机变量是合理的。将贝叶斯估计与极值理论相结合，研究资产收益率的尾部行为, 将历史数据与人们的经验预期结合起来，使得投资者能够根据观测数据结合自己所掌握的经验信息对风险值VaR模型进行调整，如此获得的VaR能够更准确地反映市场的风险状况，并据此做出正确的投资决策。
参考文献：
[1]王春峰:VaR金融市场风险管理[M].天津:天津大学出版社,2001:230.
[2]王春峰 万海辉 李 刚:基于MCMC的金融市场风险VaR的估计[J]. 管理科学学报，2000,3(2):54-61.
[3]肖敬红 缪柏其 吴振翔:应用极值理论计算VaR的一种方法[J].运筹与管理,2005(2):52-56.
[4]茆诗松:贝叶斯统计[M].北京:中国统计出版社,1999.
[5]Philippe Jorion.Value at Risk: The New Benchmark for Managing Financial Risk[M].2thEdition, New York,McGraw-Hill,1997.
[6]Francois Longin.From value at risk to stress testing:The extreme value approach[J]. Journal of Banking & Finance, 2000, 24: 1097 - 1130.