函数作为高中数学的核心,贯穿于整个高中数学的始终。函数的定义域不仅是构成函数的三要素之一,更是函数的灵魂。
　　【例1】 已知函数f(x)=2+log2x,x∈［1,16］,求函数y=［f(x)］2+f(x2)的值域．
　　解 由1≤x≤16,
　　1≤x2≤16,得1≤x≤4,
　　∴log2x∈［0,2］，
　　∴y=［f(x)］2+f(x2)=log22x+6log2x+6,
　　∴y∈［6,22］．
　　点评 如果忽视了x2也要在［1,16］的范围内,从而导致log2x的取值范围扩大为［0,4］,那么值域变为［6,46］。因此在研究复合函数时不能忽视定义域。
　　【例2】 函数f(x)是定义在［-1,1］上递增的奇函数,则函数y=f(x2-3)+f(x+1)的值域是．
　　解 由题意得-1≤x2-3≤1,
　　-1≤x+1≤1,
　　f(x2-3)+f(x+1)≥0.
　　∴2≤x≤2或-2≤x≤-2,
　　-2≤x≤0,
　　x+1≥3-x2.
　　故定义域为{-2},值域为{0}.
　　点评 这道例题看上去很新颖,但本质是由老题翻新而来,我们不仅要考虑x2-3和x+1的取值在［-1,1］上,更不能忽视开偶次根式内的表达式要满足非负性。
　　【例3】 求函数y=x+4-x的值域．
　　解 令t=4-x≥0,∴x=4-t2,
　　∴y=4-t2+t=-t-122+174≤174,故所求的函数值域是-∞,174．
　　点评 要去掉根号就要换元,换元时必须紧跟变量的取值范围,然后利用二次函数的图象和性质得出函数的值域。
　　变式题 求函数y=x+4-x2的值域．
　　解 令x=2cosα,α∈［0,π］,
　　∴α+π4∈π4,5π4,sinα+π4∈-22,1
　　∴y=2sinα+2cosα=22sinα+π4∈［-2,22］．
　　点评 当4-x变为4-x2时原来的这种换元就不适合了,我们联想圆的参数方程利用三角换元就可去掉根号了,无论代数换元还是三角换元都必须注意范围的限制!
　　【例4】 设x、y∈R且3x2＋2y2＝6x,求x2＋y2的范围．
　　解法1 由6x－3x2＝2y2≥0得0≤x≤2.
　　设k＝x2＋y2,则y2＝k－x2,代入已知等式得：x2－6x＋2k＝0,
　　即k＝－12x2＋3x,其对称轴为x＝3.
　　由0≤x≤2得k∈［0,4］.
　　所以x2＋y2的范围是：0≤x2＋y2≤4.
　　当然还可用数形结合法转化为解析几何问题来求解：
　　解法2 由3x2＋2y2＝6x得(x－1)2＋y232＝1,即表示如图所示椭圆,其一个顶点在坐标原点.x2＋y2的范围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方.由图象可知最小值是0,距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点.设圆方程为x2＋y2＝k,结合图形易得k＝4,所以x2＋y2的范围是：0≤x2＋y2≤4.
　　此题也可以用三角换元法,对已知式和待求式都可以进行三角换元(转化为三角问题)来求解：
　　解法3 由3x2＋2y2＝6x
　　得(x－1)2＋y232＝1,设x=1+cosα,
　　y=62sinα.则
　　x2＋y2＝1＋2cosα＋cos2α＋32sin2α
　　＝1＋32＋2cosα－12cos2α
　　＝－12cos2α＋2cosα＋52∈［0,4］
　　所以x2＋y2的范围是：0≤x2＋y2≤4.
　　点评 本题运用多种方法进行解答,实现了多种角度的转化,联系了多个知识点,有助于提高发散思维的能力。法1由已知条件很快将x2+y2变为一元二次函数f(x)=-12(x-3)2+92,然后求极值点的x值,联系到y2≥0,这一条件,既快又准地求出最大值。这种解法必须要挖掘隐蔽条件,因此,消元时也必须考虑变量的取值范围。法2和法3体现了数学知识间可以相互转化,代数问题几何化、三角化。
　　变式题 已知x、y∈R且3x2+2y2=6x,求x+y的最值．
　　分析 注意到方程3x2+2y2=6x表示的是椭圆,可以用椭圆的参数方程来求解。
　　解 化3x2+2y2=6x为(x-1)2+y232=1,
　　得参数方程为x=1+cosθ,
　　y=62sinθ.
　　∴x+y=1+cosθ+62sinθ=1+102sin(θ+φ)，
　　故(x+y)max=1+102,(x+y)min=1-102．
　　点评 三角代换是一种非常实用的方法,当然这题还可以用线性规划来求解,即当直线和椭圆相切时取最值。
　　【例5】 若函数f(x)=log2(x2-ax+4a)在［3,+∞)上是增函数,则a的取值范围是．
　　解 由a2≤3,
　　9-3a+4a>0,得-9　　点评 利用单调性解题时不仅仅要考虑对称轴满足的条件,更要考虑在函数定义域内讨论函数单调性。
　　哪里有数，哪里就有美。——Proclus
　　实战演练
　　1. 已知函数f(x)=3+log3x,x∈［1,9］,求函数y=［f(x)］2+f(x2)的值域．
　　2. 求函数f(x)=tanx1-tan2x的周期．
　　3. 设x、y∈R且x2＋y2＝x,求x2＋2y2的范围．
　　4. 已知x、y∈R,1≤x2+y2≤4.求u=x2+xy+y2的最值．
　　5. 求函数y=4x-5+2x-1的值域．
　　6. 若函数f(x)=loga(3-ax)在［0,2］上是关于x的减函数,求a的取值范围．
　　
　　【参考答案】
　　1. 由1≤x≤9,
　　1≤x2≤9,得1≤x≤3,∴log3x∈［0,1］，
　　∴y=［f(x)］2+f(x2)
　　=log23x+6log3x+9+3+2log3x
　　=log23x+8log3x+12,
　　∴y∈［12,21］．
　　2. 化简得f(x)=12tan2x,
　　函数的定义域为x≠kπ+π2,
　　tanx≠±1,k∈Z,
　　所以{x|x∈R,且x≠kπ+π2,且x≠kπ±π4,k∈Z}．
　　画出简图，易得其最小正周期为π，
　　故函数的最小正周期为π．
　　3. 由x－x2＝y2≥0得0≤x≤1.
　　设k＝x2＋2y2,则将y2＝x－x2代入得
　　k＝x2＋2(x-x2)=-x2＋2x,
　　其对称轴为x＝1.
　　由0≤x≤1得k∈［0,1］.
　　所以x2＋2y2的范围是：0≤x2＋2y2≤1.
　　4. 设x=tcosθ,y=tsinθ,(t为参数)
　　因1≤x2+y2≤4,故1≤t2≤4
　　∴u=t2(cos2θ+cosθsinθ+sin2θ)
　　=t21+12sin2θ,
　　故当t2=4且sin2θ=1时,umax=6；
　　当t2=1且sin2θ=-1时,umax=12．
　　5. 令t=2x-1≥0,∴2x=t2+1,
　　∴y=2t2-3+t=2t+142-258,
　　而函数y=2t2+t-3在［0,+∞)上是增函数,
　　所以当t=0时,ymin=-3.故所求的函数值域是［-3,+∞)．
　　6. 因为a>0且a≠1,所以3-ax在［0,2］上是关于x的减函数,故a>1,
　　同时真数的最小值为3-2a必须大于零,故a<32,
　　综上,1