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【摘要】本文由浅显易懂的角度，从科學的角度分析律学在钢琴的发声原理和特点，通过钢琴教学上平时人们会忽略的点阐述律学的重要性及其在钢琴作品中的应用，为什么我们要重视律学的学习，律学有哪些重要的应用意义，如何在钢琴学习中发现律的存在，律学与音色的关系，钢琴演奏与教学中经常被提及的平均律和律学的关系，把看似高深艰难的律学同每一个普通钢琴学习者的关联用由浅入深的方式分析出来。
【关键词】泛音；律学；哑弹；受迫振动；音色；五度及十二音体系；平均律
【中图分类号】J624.1 【文献标识码】A
基金项目：本成果为浙江艺术职业学院2018年度校级课题成果，为浙江省省属高校基本科研业务费专项资金资助“音乐中的科学—律学的发展及在钢琴作品中的教学应用”（项目编号：QNJS201803006）。
音乐是带给我们美的东西，让我们去感受美，这是我们学习钢琴或者各种乐器的初衷，借由乐器去表达我们心中对美的理解。在这个过程中，我们常常用“精通音律”来形容一个人音乐水平高，让我们感觉到音乐之美的重要因素就是这个“音”中的“律”。对于大家来说，这其中的“音”和音乐的关系是显然的，然而“律”是什么呢？“律”是规定音乐使用哪些音高、音与音之间满足什么关系的学问，是音乐的基石。常见的律制有十二平均律、纯律、五度相生律等。由于律学的内容有一定的数学、物理学的门槛，我们的音乐学习者甚至教育者常常对其望而生畏，因为世界各地的音乐学院入学考试都没有数学和物理这两门课的成绩要求，而在国内，艺术生除了基础数学是不需要理化学科的学习的。钢琴的学习者可能更容易回避这个问题，因为钢琴的调律工作往往由专业的调律师完成。所以，这个问题要怎么去解决呢？我们又为什么要去解决这个看上去和钢琴演奏本身“关系不大”的问题？
原因是，在笔者的钢琴教学实践中发现，无论是琴童还是成年学琴者，都可能出于好奇或经过思考问出这样的问题：为什么一个八度内是十二个音？为什么是七个白键五个黑键而不是白键、黑键各六个？平均律是什么？对律学的一些误解更是很容易让学琴者误入歧途。譬如调性色彩的理论是和律学紧密相关的，现在还能见到很多人用非平均律的调性色彩理论来解释所有的音乐作品。在钢琴演奏的实践中，往往会与弦乐等需要感知律学知识的演奏者合作，而弦乐演奏者需要一些利用泛音原理制造的音响效果（钢琴偶尔也是需要，详见巴托克保加利亚民间舞曲第六首的结尾），此时律学知识的缺乏就会造成合作沟通上的障碍，因为其中的原理不是片言只语可以讲清楚，而不清楚原理就会对泛音效果无法合理发挥。所以，正确认识律学可以让学琴者对调性调式、和声学等有深入的认识与理解。这对钢琴学习者感受音乐、理解键盘、分析作品、把握风格和即兴演奏都有非常大的帮助。
律学又以难学而著称，即使是音乐学院的专业乐理教学，也可能会跳过律学的部分。本文要研究的就是钢琴教学中需要哪些律学知识，怎么样深入浅出地应用在钢琴教学之中？
我们认为，钢琴学习者所需要的律学知识并不是什么高深的学问，只需要简单的声学和算术知识就足够了。在我们的教学实践中，我们发现引入律学的知识并没有造成学琴者额外的负担，反而解开了学琴者的许多疑惑，而且在这个过程中，学琴者对乐器的原理有了更深的认识，对乐器也变得更有兴趣。
一、用哑弹感知泛音
一个只弹钢琴的人，可能永远不知道什么是泛音，但是只要他有机会和学管弦乐的人交流，他们就会听到泛音这个词。有趣的是，我们其实也可以在钢琴上弹出泛音。有一些钢琴的手指技巧练习会练习弹琴者的保留手指的技巧，比如左手保留住1、2、4、5然后弹奏3，这时我们就可以在钢琴上发现泛音的存在。 我们知道，在钢琴上足够缓慢地轻按一个琴键到底，对应的琴弦并不会发出声音，但是这个琴键对应的制音器已经打开了。我们不妨把这个操作称为“哑弹”。假如我们把钢琴的 C3 琴键（C3是科学记音法，即钢琴从左边开始数第三个C） 哑弹，再用跳音的方式弹 C4，这时我们会听到钢琴还会发出 C4 的声音，即使 C4 的琴键已经回弹了。如果我们不哑弹 C3，只是在 C4 上弹跳音，就不会有这个声音，可以推断，哑弹 C3 再跳音弹 C4 所发出的声音，其实是C3 的琴弦振动。其实这个声音就是 C3 的泛音，其声学原理就是 C3 在 C4 的振动下产生的受迫振动。其原理是，频率相似的音会产生明显共振，反之则不会。
笔者见过一些“懒散的”学琴者，他们偶尔会在单练右手的时候，把左手手肘支撑在键盘上托住脸，这时右手弹奏的音符还会有类似右踏板的延留效果。此时，钢琴老师可以引导学生，告诉他们其中的原理就是受迫振动，他们听到的声音就是手肘压下去的键盘对应的琴弦的泛音。进一步地，我们还可以试着比较哑弹C3时，以相同的力度弹不同的琴键时反馈的泛音的大小，比如跳音弹C4、G3、G5等琴键的泛音音量比较大，跳弹D3、B3 的泛音效果就不明显。有了这个感性的认识，我们就可以继续展开泛音的声学原理了。
二、音色是什么
所有的钢琴老师都会带着学生唱谱，一个自然的问题就是，相同的音高，为什么钢琴的声音听起来就是钢琴的声音，人唱的听起来就是人声，不同的人唱的相同的音高听起来也不一样？一个简单的答案是，音色不同，但是这不是原因，这只是给这种听起来不同的感觉起了个名字叫音色。实际上，我们听到的每个音都不是单纯的频率。它除了有自己的基础频率之外，还会有整数倍于基础频率的高次频率，在物理上我们称它们为谐波，在音乐上我们叫泛音。严格地说，泛音和谐波还是有区别的。因为在演奏泛音的时候，总是会有该泛音的整数倍的频率存在，而谐波是理想模型中的单纯频率。我们把二倍频率的音称为第一泛音，比如 C4 就是 C3 的第一泛音，三倍频率的音称为第二泛音。音色的区别，就是泛音的能量比例的区别。在乐器中，普通音色的泛音越多，则音高越低；泛音越少，则音高越高。 了解了音高的基本成分（它本身的频率和它整数倍的频率）之后，我们就可以理解很多现象。首先是八度。我们知道，在听觉上，八度是非常和谐的音程。在音乐系统中，八度关系的音高我们给予相同的音名。在声学上，八度关系的表现为频率的二倍关系，比如C4的频率是C3的两倍，C5又是C4的两倍。根据音高基本成分的知识，我们知道C4和它的整数倍的频率完成落在C3的泛音里，这也是为什么八度的两个音听起来那么像。回过头来再想，为什么哑弹C3的时候， C4对C3的受迫共振这么强呢？因为C4和C3的泛音产生了共振，从这个角度说，一根弦的基本频率和它的整数倍的频率都是它的固有频率。当笔者问学生为什么不同乐器或歌手的音色不同时，有的学生说是材料不同。这固然没有错，但是声波通过空气传播再传到耳朵里，声波在空气中存在时已经脱离了材料本身，最直接的原因还是上述声波的频率成分。
三、五度及十二音系统
我们在哑弹实验中可以发现，除了八度泛音响应比较大，五度的响应也比较大。比如我们哑弹C3，那么跳弹G3和G4都会有比较大的泛音响应。这是因为在现代钢琴上，G4的频率大约是C3的三倍，也就是C3的第二泛音。古人很早就认识到了这种五度的概念。当我们按住一根弦二分之一的位置，就能得到二倍频率的音，也就是现在所谓的八度。当我们按住一根弦三分之一的位置，这根弦被分成了三分之一和三分之二两部分，三分之一部分的弦，振动频率是空弦的三倍，三分之二部分的弦，振动频率是空弦的1.5倍，后者就是现在所谓的纯五度，而前者就比纯五度再高八度。当我们反复使用1.5的频率关系，就能不断产生新的音。如反复四次，就得到五声音阶，如此反复六次，就得到七声音阶，如此反复十一次，就能得到十二音系统（twelve tone system）。这种产生音的方式就是五度相生律。
五度相生律产生十二音的过程，我们可以在钢琴上不断找完全五度模拟出来。这对学生理解键盘的原理以及和五度相关的音乐概念都有很大帮助。当我们虚按住一根弦的二分之一的位置，就能奏出该弦的第一泛音，也就是高八度的音；当我们虚按在一根弦的三分之一的位置，就能奏出该弦的第二泛音。
四、关于十二平均律
专业学钢琴的人都弹奏过J.S.Bach的《平均律钢琴曲集》，却很少有人讲得清楚平均律是什么，怎么来的，为什么称之为十二平均律。
平均律的概念属于律学。它是一种相对完美的音律。现代钢琴一般都使用十二平均律。所谓十二平均律，就是把一个八度内的十二个音的频率按照等比数列的方式定音。因为八度的频率是二倍关系，那么半音关系就是二的十二分之一次方，完全五度的频率关系就是二的十二分之七次方，约等于1.498，这和理想1.5倍的纯五度是非常接近的，这也是为什么上文说钢琴上的G4的频率大约是C3的三倍。在平均律系统下，相同音程的频率比例关系都是相同的。
十二平均律的十二个音之间频率比的等比数列：q=2=1.05946...
巴赫的键盘作品 Well-Tempered Clavier 常常被翻译成平均律钢琴曲，其实是一个误会。Well-Tempered 的字面意思其实是“好律”。但是，音乐史料证明，巴赫并没有运用过平均律（equal temperament），但是其使用的 Well Tempered调律方式可以在二十四个大小调中听起来都足够好。所以，Well-Tempered Clavier在国内被普遍翻译成《平均律钢琴曲集》实际上是非常不准确的，平均律其实是一个和Well-Tempered完全不同的概念。而巴赫的WTK作品，就是基于键盘乐器在被调律到这样一个他认为理想的（well）状态下写下的针对这一调律法而作的一整套键盘音乐作品。
五、结语
当我从音乐学院毕业回国任教后多年，偶然一次機会去了浙江大学玉泉校区，认识了这边理工科专业的好多朋友，并有幸得以和计算机系的拥有多年钢琴、大提琴、吉他以及音乐理论学习资深专业学习经验的李颂元博士讨论音乐。整个过程中，他对钢琴和乐理的深刻钻研精神和成果让我敬佩。这位工科博士用他深厚的数理学科知识作为敲门砖来打通自己通往艺术殿堂之路，这个新奇的方式，使得他对音乐、对钢琴的理解角度独树一帜且过程可谓独辟蹊径，效率之高令我惊讶。渊博的数学知识使得音乐理论的律学部分对李博士而言很是容易，而我作为从小认真练琴、专业学钢琴、大学又读了国外音乐学院的艺术生，对理学这块知识并无太多积累，音乐方面唯一涉及数学物理知识较多的律学这个知识点，也是比较弱。认识李颂元博士后，我决心认真补上这个以前钢琴系并没有重点研究的课程，以攀登钢琴音乐学习之路的更高点，努力学到更多，完善自己的音乐知识储备。这些日子里，我也是非常认真地上课、做笔记，回家记录要点，整理记录资料。在音乐的学习过程中，没有哪个相关的小点是没有必要知道的，这是我与工科博士从数理角度研究律学的最深层原因。
音乐的产生，本身就是和数学息息相关，事实就是，在中世纪时，音乐并不是作为现代人眼中与数理无关的“艺术”学科之概念，而是和天文、算数、几何并列为四大“理学课程”之一。我们今天弹奏的音乐作品，创作的原理是乐理，乐理的基础是律学，乐器的音高和弦长直接相关于五度相生律、十二音体系、振动频率，振动频率带出受迫振动，涉及泛音和泛音列知识，当你要去学习演奏一个乐器，却不知道它的音高和音准的来源及原理，对音乐的理解就是缺失的、有偏颇的，会影响到学习的结果和过程的完善。这是律学的重要性，而从理学角度去了解律学的知识，则是另一个角度，更加深入和彻底的对（钢琴）音乐的学习过程，我认为非常必要和实用。
作者简介：陈婧如（1985-），女，汉族，浙江杭州人，硕士毕业，浙江艺术职业学院 钢琴老师，研究方向：钢琴表演；李颂元（1989- ），男，广东广州人，博士研究生在读，浙江大学计算机工程学院，研究方向：计算机工程。
【关键词】泛音；律学；哑弹；受迫振动；音色；五度及十二音体系；平均律
【中图分类号】J624.1 【文献标识码】A
基金项目：本成果为浙江艺术职业学院2018年度校级课题成果，为浙江省省属高校基本科研业务费专项资金资助“音乐中的科学—律学的发展及在钢琴作品中的教学应用”（项目编号：QNJS201803006）。
音乐是带给我们美的东西，让我们去感受美，这是我们学习钢琴或者各种乐器的初衷，借由乐器去表达我们心中对美的理解。在这个过程中，我们常常用“精通音律”来形容一个人音乐水平高，让我们感觉到音乐之美的重要因素就是这个“音”中的“律”。对于大家来说，这其中的“音”和音乐的关系是显然的，然而“律”是什么呢？“律”是规定音乐使用哪些音高、音与音之间满足什么关系的学问，是音乐的基石。常见的律制有十二平均律、纯律、五度相生律等。由于律学的内容有一定的数学、物理学的门槛，我们的音乐学习者甚至教育者常常对其望而生畏，因为世界各地的音乐学院入学考试都没有数学和物理这两门课的成绩要求，而在国内，艺术生除了基础数学是不需要理化学科的学习的。钢琴的学习者可能更容易回避这个问题，因为钢琴的调律工作往往由专业的调律师完成。所以，这个问题要怎么去解决呢？我们又为什么要去解决这个看上去和钢琴演奏本身“关系不大”的问题？
原因是，在笔者的钢琴教学实践中发现，无论是琴童还是成年学琴者，都可能出于好奇或经过思考问出这样的问题：为什么一个八度内是十二个音？为什么是七个白键五个黑键而不是白键、黑键各六个？平均律是什么？对律学的一些误解更是很容易让学琴者误入歧途。譬如调性色彩的理论是和律学紧密相关的，现在还能见到很多人用非平均律的调性色彩理论来解释所有的音乐作品。在钢琴演奏的实践中，往往会与弦乐等需要感知律学知识的演奏者合作，而弦乐演奏者需要一些利用泛音原理制造的音响效果（钢琴偶尔也是需要，详见巴托克保加利亚民间舞曲第六首的结尾），此时律学知识的缺乏就会造成合作沟通上的障碍，因为其中的原理不是片言只语可以讲清楚，而不清楚原理就会对泛音效果无法合理发挥。所以，正确认识律学可以让学琴者对调性调式、和声学等有深入的认识与理解。这对钢琴学习者感受音乐、理解键盘、分析作品、把握风格和即兴演奏都有非常大的帮助。
律学又以难学而著称，即使是音乐学院的专业乐理教学，也可能会跳过律学的部分。本文要研究的就是钢琴教学中需要哪些律学知识，怎么样深入浅出地应用在钢琴教学之中？
我们认为，钢琴学习者所需要的律学知识并不是什么高深的学问，只需要简单的声学和算术知识就足够了。在我们的教学实践中，我们发现引入律学的知识并没有造成学琴者额外的负担，反而解开了学琴者的许多疑惑，而且在这个过程中，学琴者对乐器的原理有了更深的认识，对乐器也变得更有兴趣。
一、用哑弹感知泛音
一个只弹钢琴的人，可能永远不知道什么是泛音，但是只要他有机会和学管弦乐的人交流，他们就会听到泛音这个词。有趣的是，我们其实也可以在钢琴上弹出泛音。有一些钢琴的手指技巧练习会练习弹琴者的保留手指的技巧，比如左手保留住1、2、4、5然后弹奏3，这时我们就可以在钢琴上发现泛音的存在。 我们知道，在钢琴上足够缓慢地轻按一个琴键到底，对应的琴弦并不会发出声音，但是这个琴键对应的制音器已经打开了。我们不妨把这个操作称为“哑弹”。假如我们把钢琴的 C3 琴键（C3是科学记音法，即钢琴从左边开始数第三个C） 哑弹，再用跳音的方式弹 C4，这时我们会听到钢琴还会发出 C4 的声音，即使 C4 的琴键已经回弹了。如果我们不哑弹 C3，只是在 C4 上弹跳音，就不会有这个声音，可以推断，哑弹 C3 再跳音弹 C4 所发出的声音，其实是C3 的琴弦振动。其实这个声音就是 C3 的泛音，其声学原理就是 C3 在 C4 的振动下产生的受迫振动。其原理是，频率相似的音会产生明显共振，反之则不会。
笔者见过一些“懒散的”学琴者，他们偶尔会在单练右手的时候，把左手手肘支撑在键盘上托住脸，这时右手弹奏的音符还会有类似右踏板的延留效果。此时，钢琴老师可以引导学生，告诉他们其中的原理就是受迫振动，他们听到的声音就是手肘压下去的键盘对应的琴弦的泛音。进一步地，我们还可以试着比较哑弹C3时，以相同的力度弹不同的琴键时反馈的泛音的大小，比如跳音弹C4、G3、G5等琴键的泛音音量比较大，跳弹D3、B3 的泛音效果就不明显。有了这个感性的认识，我们就可以继续展开泛音的声学原理了。
二、音色是什么
所有的钢琴老师都会带着学生唱谱，一个自然的问题就是，相同的音高，为什么钢琴的声音听起来就是钢琴的声音，人唱的听起来就是人声，不同的人唱的相同的音高听起来也不一样？一个简单的答案是，音色不同，但是这不是原因，这只是给这种听起来不同的感觉起了个名字叫音色。实际上，我们听到的每个音都不是单纯的频率。它除了有自己的基础频率之外，还会有整数倍于基础频率的高次频率，在物理上我们称它们为谐波，在音乐上我们叫泛音。严格地说，泛音和谐波还是有区别的。因为在演奏泛音的时候，总是会有该泛音的整数倍的频率存在，而谐波是理想模型中的单纯频率。我们把二倍频率的音称为第一泛音，比如 C4 就是 C3 的第一泛音，三倍频率的音称为第二泛音。音色的区别，就是泛音的能量比例的区别。在乐器中，普通音色的泛音越多，则音高越低；泛音越少，则音高越高。 了解了音高的基本成分（它本身的频率和它整数倍的频率）之后，我们就可以理解很多现象。首先是八度。我们知道，在听觉上，八度是非常和谐的音程。在音乐系统中，八度关系的音高我们给予相同的音名。在声学上，八度关系的表现为频率的二倍关系，比如C4的频率是C3的两倍，C5又是C4的两倍。根据音高基本成分的知识，我们知道C4和它的整数倍的频率完成落在C3的泛音里，这也是为什么八度的两个音听起来那么像。回过头来再想，为什么哑弹C3的时候， C4对C3的受迫共振这么强呢？因为C4和C3的泛音产生了共振，从这个角度说，一根弦的基本频率和它的整数倍的频率都是它的固有频率。当笔者问学生为什么不同乐器或歌手的音色不同时，有的学生说是材料不同。这固然没有错，但是声波通过空气传播再传到耳朵里，声波在空气中存在时已经脱离了材料本身，最直接的原因还是上述声波的频率成分。
三、五度及十二音系统
我们在哑弹实验中可以发现，除了八度泛音响应比较大，五度的响应也比较大。比如我们哑弹C3，那么跳弹G3和G4都会有比较大的泛音响应。这是因为在现代钢琴上，G4的频率大约是C3的三倍，也就是C3的第二泛音。古人很早就认识到了这种五度的概念。当我们按住一根弦二分之一的位置，就能得到二倍频率的音，也就是现在所谓的八度。当我们按住一根弦三分之一的位置，这根弦被分成了三分之一和三分之二两部分，三分之一部分的弦，振动频率是空弦的三倍，三分之二部分的弦，振动频率是空弦的1.5倍，后者就是现在所谓的纯五度，而前者就比纯五度再高八度。当我们反复使用1.5的频率关系，就能不断产生新的音。如反复四次，就得到五声音阶，如此反复六次，就得到七声音阶，如此反复十一次，就能得到十二音系统（twelve tone system）。这种产生音的方式就是五度相生律。
五度相生律产生十二音的过程，我们可以在钢琴上不断找完全五度模拟出来。这对学生理解键盘的原理以及和五度相关的音乐概念都有很大帮助。当我们虚按住一根弦的二分之一的位置，就能奏出该弦的第一泛音，也就是高八度的音；当我们虚按在一根弦的三分之一的位置，就能奏出该弦的第二泛音。
四、关于十二平均律
专业学钢琴的人都弹奏过J.S.Bach的《平均律钢琴曲集》，却很少有人讲得清楚平均律是什么，怎么来的，为什么称之为十二平均律。
平均律的概念属于律学。它是一种相对完美的音律。现代钢琴一般都使用十二平均律。所谓十二平均律，就是把一个八度内的十二个音的频率按照等比数列的方式定音。因为八度的频率是二倍关系，那么半音关系就是二的十二分之一次方，完全五度的频率关系就是二的十二分之七次方，约等于1.498，这和理想1.5倍的纯五度是非常接近的，这也是为什么上文说钢琴上的G4的频率大约是C3的三倍。在平均律系统下，相同音程的频率比例关系都是相同的。
十二平均律的十二个音之间频率比的等比数列：q=2=1.05946...
巴赫的键盘作品 Well-Tempered Clavier 常常被翻译成平均律钢琴曲，其实是一个误会。Well-Tempered 的字面意思其实是“好律”。但是，音乐史料证明，巴赫并没有运用过平均律（equal temperament），但是其使用的 Well Tempered调律方式可以在二十四个大小调中听起来都足够好。所以，Well-Tempered Clavier在国内被普遍翻译成《平均律钢琴曲集》实际上是非常不准确的，平均律其实是一个和Well-Tempered完全不同的概念。而巴赫的WTK作品，就是基于键盘乐器在被调律到这样一个他认为理想的（well）状态下写下的针对这一调律法而作的一整套键盘音乐作品。
五、结语
当我从音乐学院毕业回国任教后多年，偶然一次機会去了浙江大学玉泉校区，认识了这边理工科专业的好多朋友，并有幸得以和计算机系的拥有多年钢琴、大提琴、吉他以及音乐理论学习资深专业学习经验的李颂元博士讨论音乐。整个过程中，他对钢琴和乐理的深刻钻研精神和成果让我敬佩。这位工科博士用他深厚的数理学科知识作为敲门砖来打通自己通往艺术殿堂之路，这个新奇的方式，使得他对音乐、对钢琴的理解角度独树一帜且过程可谓独辟蹊径，效率之高令我惊讶。渊博的数学知识使得音乐理论的律学部分对李博士而言很是容易，而我作为从小认真练琴、专业学钢琴、大学又读了国外音乐学院的艺术生，对理学这块知识并无太多积累，音乐方面唯一涉及数学物理知识较多的律学这个知识点，也是比较弱。认识李颂元博士后，我决心认真补上这个以前钢琴系并没有重点研究的课程，以攀登钢琴音乐学习之路的更高点，努力学到更多，完善自己的音乐知识储备。这些日子里，我也是非常认真地上课、做笔记，回家记录要点，整理记录资料。在音乐的学习过程中，没有哪个相关的小点是没有必要知道的，这是我与工科博士从数理角度研究律学的最深层原因。
音乐的产生，本身就是和数学息息相关，事实就是，在中世纪时，音乐并不是作为现代人眼中与数理无关的“艺术”学科之概念，而是和天文、算数、几何并列为四大“理学课程”之一。我们今天弹奏的音乐作品，创作的原理是乐理，乐理的基础是律学，乐器的音高和弦长直接相关于五度相生律、十二音体系、振动频率，振动频率带出受迫振动，涉及泛音和泛音列知识，当你要去学习演奏一个乐器，却不知道它的音高和音准的来源及原理，对音乐的理解就是缺失的、有偏颇的，会影响到学习的结果和过程的完善。这是律学的重要性，而从理学角度去了解律学的知识，则是另一个角度，更加深入和彻底的对（钢琴）音乐的学习过程，我认为非常必要和实用。
作者简介：陈婧如（1985-），女，汉族，浙江杭州人，硕士毕业，浙江艺术职业学院 钢琴老师，研究方向：钢琴表演；李颂元（1989- ），男，广东广州人，博士研究生在读，浙江大学计算机工程学院，研究方向：计算机工程。