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数学发展到十九世纪，其研究领域已经扩展到上百个分支，这些研究既有深度又有广度。特别是分析学的发展更为突出，这个时期可以说成函数论的时期。
公理学要研究的基本问题就是一个公里集合的独立性，完备性和相容性。一个公理集合若能同时满足这三个条件，当然是最理想的了。但有时也打不到这个要求，这里最重要的一条就是相容性，这一条必须有保证，否则在其上就不能建立一个无矛盾的理论体系。如果一个公里集合中的任何一条公理都不能从其余的公理用逻辑的方法加以证明，则称这个公理集合石独立的。公理得独立性，是要解决在所选择的公理体系中是否有多余的公理的问题。这个问题在1889年出版的《算数原理》就已经提出并进行了研究。1891年Peano在他自己创办的《数学杂志》专门写文章证明了他的自然数公理集合得独立性。
希尔伯特《几何基础》中第二章讨论的就是他所确定的公理体系的独立性问题。希尔伯特的一些公里之间还存在着相互依赖关系，因此不能证明每一条公理都同其他公理是无关的。希尔伯特是从大方面，主要讨论了平行公理的独立性，全合公理的独立性以及连续公理的独立性。希尔伯特证明的是：五类公理中的任何一组中的所有公理都不能由另外四组公理推导出来。从整体上区分了他们的独立性。如果我们所研究的这一理论体系的每一个定理都能从这个公理集合逻辑地推导出来，则这个公理集合称为完备的。因此，完备性是要求在一个公理集合中公理最少应该是多少个，再缺少一个都不能成立。相反，公理的独立性是限制一个公理集合最多不能超过多少个，限定的是最大数目。
完备性问题首先是由Veblen提出的，他首先提出的是公理集合的范畴性，设一个公理集合P的不定义符号是S1，S2，S3，…….Sn，同它相联系的是公理P1，P2，P3，……Pn，若任何一个其他的公理集合p都与P是同构的，则称公理集合P是范畴的。同构意味着两个公理集合实质上是一回事，仅仅是各种说明或解释在语言表达上的不同。从范畴性出发Veblen又提出了公理集合的完全性：如果在一个公理集合中，不可能再增加进一个独立且相容的另外一个公理时，该公理集合称为完全的。也就是现在所说的完备性。
可以证明：范畴性隐含着完全性。
后来Edward V.Huntington（1874-1952）在专门研究实数理论时也研究和运用过这个概念，在他的论文中称为充分性。因此，析取性，完全性，完备性以及充分性都是同一个概念。公理集合完备性的确定是一个难度很大的问题。有时也不一定非要先确定完备性，如欧几里得的公里体系虽不是完备的但在其上建立起来的理论却是正确的。希尔伯特在《几何基础》中没有专门讨论完备性问题，但通过长期的实践和审查，人们都认为他的公理集合是完备的，因为在整个定理的证明中再也没有出现那些不明确的和默认的其他假定理。
为了判断某一公理集合的完备性，现代几何学里又给出了新的定义和判别方法。
定理1 设W是一个公里体系，M是一组具体事物，其性质已知，若令W的每一个基本概念就是M中的某一事物，且W中的每一条公理都在M中成立，则称M是W的一个模型。如希尔伯特为欧式几何确定的算数模型。
定理2 假设某一公理体系有两个模型M1和M2，如果在这两个模型之间能建立一种一一对应关系，使得W1（与M1对应的公理系统）中元素间的相互关系或命题必有W2（与M2对应的公理系统）中相应元素间的关系或命题与之对应，则称这两个模型是同构的。
如果对某一公理系统，所有的模型都是同构的，则称这个公理系统是完备的。
公里体系应该满足的第二个性质就是相容性。如果从一个公理集合中不可能推导出两个相互矛盾的命题，则这个公理集合是相容的（无矛盾的）。在希尔伯特《几何基础》的第二章的一开头就提出了这个概念：“第一章里所提到的五类公理中的公理是有相容性的，这就是说，不可能从提到的这些公理出发，用逻辑推理得出和其中一条公理相矛盾的事实”。一个理论体系有时不仅仅存在一个公里体系，可能存在几个公里体系。如果从两个公理集合导出的理论体系是完全一样的，则称这两个公理集合是等价的。对于一个理论体系，有时可能不仅存在一个公设集合，可能存在好多个等价的公设集合，欧式几何就是这样的。
证明一个集合的相容性的主要方法是模型法，即通过建立模型以及转移矛盾的方法。模型可分为具体的模型和理想的模型。如果原始术语规定的意义是从现实世界抽取的对象和关系的话，这个模型称为具体的模型。如果这些对象和关系不是来自现实世界，而是从别的公理推演而来的，这种模型就成为理想模型。当我们选择的是具体模型来证明一个公设集合的相容性时，这个相容性是绝对可信的，因为如果在公设集合中推导出矛盾的话，它反映的是现实世界中的矛盾，是一个客观存在的事实，我们可以直接的看出这个矛盾。再如罗氏几何公理体系的克莱因模型就是一个理想的模型，因为它是建立在欧式几何公理体系之上的。通过证明，我们只是将罗氏几何的矛盾归结为欧式几何的矛盾。也就是说，在欧式几何是相容的条件下，才能保证罗氏几何是相容的因而这个相容性是相对的而不是绝对的。
（作者单位：沈阳师范大学数学系）
公理学要研究的基本问题就是一个公里集合的独立性，完备性和相容性。一个公理集合若能同时满足这三个条件，当然是最理想的了。但有时也打不到这个要求，这里最重要的一条就是相容性，这一条必须有保证，否则在其上就不能建立一个无矛盾的理论体系。如果一个公里集合中的任何一条公理都不能从其余的公理用逻辑的方法加以证明，则称这个公理集合石独立的。公理得独立性，是要解决在所选择的公理体系中是否有多余的公理的问题。这个问题在1889年出版的《算数原理》就已经提出并进行了研究。1891年Peano在他自己创办的《数学杂志》专门写文章证明了他的自然数公理集合得独立性。
希尔伯特《几何基础》中第二章讨论的就是他所确定的公理体系的独立性问题。希尔伯特的一些公里之间还存在着相互依赖关系，因此不能证明每一条公理都同其他公理是无关的。希尔伯特是从大方面，主要讨论了平行公理的独立性，全合公理的独立性以及连续公理的独立性。希尔伯特证明的是：五类公理中的任何一组中的所有公理都不能由另外四组公理推导出来。从整体上区分了他们的独立性。如果我们所研究的这一理论体系的每一个定理都能从这个公理集合逻辑地推导出来，则这个公理集合称为完备的。因此，完备性是要求在一个公理集合中公理最少应该是多少个，再缺少一个都不能成立。相反，公理的独立性是限制一个公理集合最多不能超过多少个，限定的是最大数目。
完备性问题首先是由Veblen提出的，他首先提出的是公理集合的范畴性，设一个公理集合P的不定义符号是S1，S2，S3，…….Sn，同它相联系的是公理P1，P2，P3，……Pn，若任何一个其他的公理集合p都与P是同构的，则称公理集合P是范畴的。同构意味着两个公理集合实质上是一回事，仅仅是各种说明或解释在语言表达上的不同。从范畴性出发Veblen又提出了公理集合的完全性：如果在一个公理集合中，不可能再增加进一个独立且相容的另外一个公理时，该公理集合称为完全的。也就是现在所说的完备性。
可以证明：范畴性隐含着完全性。
后来Edward V.Huntington（1874-1952）在专门研究实数理论时也研究和运用过这个概念，在他的论文中称为充分性。因此，析取性，完全性，完备性以及充分性都是同一个概念。公理集合完备性的确定是一个难度很大的问题。有时也不一定非要先确定完备性，如欧几里得的公里体系虽不是完备的但在其上建立起来的理论却是正确的。希尔伯特在《几何基础》中没有专门讨论完备性问题，但通过长期的实践和审查，人们都认为他的公理集合是完备的，因为在整个定理的证明中再也没有出现那些不明确的和默认的其他假定理。
为了判断某一公理集合的完备性，现代几何学里又给出了新的定义和判别方法。
定理1 设W是一个公里体系，M是一组具体事物，其性质已知，若令W的每一个基本概念就是M中的某一事物，且W中的每一条公理都在M中成立，则称M是W的一个模型。如希尔伯特为欧式几何确定的算数模型。
定理2 假设某一公理体系有两个模型M1和M2，如果在这两个模型之间能建立一种一一对应关系，使得W1（与M1对应的公理系统）中元素间的相互关系或命题必有W2（与M2对应的公理系统）中相应元素间的关系或命题与之对应，则称这两个模型是同构的。
如果对某一公理系统，所有的模型都是同构的，则称这个公理系统是完备的。
公里体系应该满足的第二个性质就是相容性。如果从一个公理集合中不可能推导出两个相互矛盾的命题，则这个公理集合是相容的（无矛盾的）。在希尔伯特《几何基础》的第二章的一开头就提出了这个概念：“第一章里所提到的五类公理中的公理是有相容性的，这就是说，不可能从提到的这些公理出发，用逻辑推理得出和其中一条公理相矛盾的事实”。一个理论体系有时不仅仅存在一个公里体系，可能存在几个公里体系。如果从两个公理集合导出的理论体系是完全一样的，则称这两个公理集合是等价的。对于一个理论体系，有时可能不仅存在一个公设集合，可能存在好多个等价的公设集合，欧式几何就是这样的。
证明一个集合的相容性的主要方法是模型法，即通过建立模型以及转移矛盾的方法。模型可分为具体的模型和理想的模型。如果原始术语规定的意义是从现实世界抽取的对象和关系的话，这个模型称为具体的模型。如果这些对象和关系不是来自现实世界，而是从别的公理推演而来的，这种模型就成为理想模型。当我们选择的是具体模型来证明一个公设集合的相容性时，这个相容性是绝对可信的，因为如果在公设集合中推导出矛盾的话，它反映的是现实世界中的矛盾，是一个客观存在的事实，我们可以直接的看出这个矛盾。再如罗氏几何公理体系的克莱因模型就是一个理想的模型，因为它是建立在欧式几何公理体系之上的。通过证明，我们只是将罗氏几何的矛盾归结为欧式几何的矛盾。也就是说，在欧式几何是相容的条件下，才能保证罗氏几何是相容的因而这个相容性是相对的而不是绝对的。
（作者单位：沈阳师范大学数学系）