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【摘要】微积分是微分学和积分学的总称。以直代曲，以线性化方法解决非线性问题是其思想精髓所在。
【关键词】微积分思想 变力做功 电场强度 电荷量等
无限细分就是微分，无限求和就是积分，这种用极限思想处理问题的方法就是微积分。
用微积分做具体运算在高中物理中虽无作硬性要求，但微积分思想丰富了我们处理问题的方法。因此，我们有必要对其进行了解和学习。本文将从以下几个方面就其在高中物理中的应用作赏析。
1.相关物理图象中面积的含义
新课标人教版高中物理必修一“研究匀变速直线运动的位移与时间的关系”一节，利用v-t图象把质点运动过程无限细分，继而把各微分段位移无限求和，得到v-t图象与坐标轴所围面积即质点在相应时间内所发生的位移。通过面积计算导出了匀变速直线运动的位移公式：x=v0t+12at2。
在匀变速直线运动的位移——时间关系导出过程中，微积分思想得到了淋漓尽致地体现。从该思想出发，我们还可以得到很多物理图象中面积的含义。如：F-t图象与坐标轴所围面积表示相应的冲量； F-x图象与坐标轴所围面积表示相应的功；P-V图象与坐标轴所围面积表示气体状态变化过程中相应的功；i-t 图象与坐标轴所围面积表示相应的电荷量等。利用'面积'解题有时会有事半功倍的效果，此点不再举例赘述。
2.研究变力做功问题
一般来说，恒力做的功可由W=Fscosθ直接求出，变力做的功可由功能关系和能量关系来求解。但借助微积分思想，我们也可直接去求变力的功。其思路是：把质点发生的位移无限细分，在每一小段位移上，力的变化很小，可以视其为恒力，先求出力在各个小段的功，再把各个小段上的功无限求和，即可得到变力所做的功。
例1 由胡克定律知，弹簧在拉伸过程中需要的力F（单位：N）与伸长量（单位：m）成正比，即F=kx（k是劲度系数）。如果把弹簧由原长拉伸 m，计算所做的功。
解析：如图2以弹簧原长处为原点建立X轴，把x平分为n段，则每一微分段的长度为△x=xn，各微分段到O点的距离为
i•(△x)=ixn（i=0、1、2、……、n）。
則力在各微分段上的功可表示为：wi=(i△x)•(△x)=ikx2n2
故整个过程需做的总功为
扩展：由功能关系知，若以弹簧原长处为零势能位置，弹簧的弹性势能可表示为Ep=12kx2，式中 为弹簧的伸长量或压缩量。
例2 一长方体蓄水池，面积为s，储水深度为h1，假定水表面低于地面的高度是h2，若要将这池水全部抽到地面上来，抽水机至少需做功多少？（水的密度为 ρ）
解析：如图3建立h轴，把池水平分为n薄层。取其中任一薄层水为研究对象，则此薄层水的重力可表示为ρgs•(△h)，把这层水抽出至少需做功为：w1=ρgs•(△h)•(h2+i△h)
ρgs•(h1h2n+iρgs•(h12n2).
则把整池水抽出至少需做功为：
4.研究均匀带电体在空间某处激发的电场强度
由点电荷的场强公式E=kqr2，很容易求得该点电荷在空间某处产生的电场强度，但对于一个均匀带电体而言，其在空间某处产生的场强应该是该带电体上的点电荷系所激发场强的叠加，我们不妨用微积分思想去思考问题。
例3 一半径为R的圆环，均匀带有电荷量q，试计算圆环轴线上与环心相距为 的p点处的场强。
解析：如图4所示建立X轴，圆环周长为l=2πR，把圆环平分为n份，在圆环上任取一微分段△l，则其上所带电荷量为q0=q2 πR△l
其在p点处所激发的场强为△Ei=kq0r2=kq.(△l)2πRr2
其中r=x2+R2
由于圆环上各微分段所带电荷在p点激发的场强△E的方向各不相同，为此把△E分解为平行于X轴线的分量△Ep垂直于X轴线的分量△E⊥，根据对称性，各微分段所带电荷在垂直于X轴方向上的分量相互抵消，所以p点的合场强是平行于X轴线的那些分量 的总和。即
当q为正电荷时，E沿X轴正方向；当q为负电荷时，E沿X轴负方向。在p点对称侧， 的方向恰好与p点的相反。
扩展：当x?R时，(x2+r2)32≈x3，
有E=kqx2
即圆环轴线上远离环心处的某点的场强与环上电荷全部集中在环心处的一个点电荷所激发的场强相同。
同理，上述扩展对均匀带电圆盘、均匀带电球体同样成立。
4.电磁感应现象中有关电荷量及感应电动势的理解
在某些电磁感应现象中，有关电荷量及感应电动势的计算用常规思维很难突破，但从微积分思想出发，问题便迎刃而解。
例4 一种用小线圈测磁场的方法如下：做一个小线圈，匝数为N，面积为S,将它的一端与测量电量的冲击电流计相连，它和冲击电流计线路的总电阻为R。先把它放到待测磁场处，并使线圈平面与磁场方向垂直，然后急速地把它移动到磁场外面，这时电流计给出通过的电荷量q。试用N，S，q，R表示待测磁场的大小。
解析：我们可以把线圈移动的过程无限细分，在每一小过程中，通过电流计的电荷量可表示为q0=i.(△t)=N.(△φ)△t)R△t=N.(△φ)R，把所有小过程中的电荷量无限求和，即可得到通过冲击电流计的总电量q=NφR=NBSR。故有B=qRNS。
例5 电声行业采用辐向充磁技术生产的辐向充磁扬声器，对提高音响质量、改变旧的扬声器起到了革命性的变化。如图5所示，是一个很长的竖直放置的圆柱形磁铁，产生一个辐射状的磁场，磁场水平向外，其大小为B=k/r,r，r是磁场中一点到圆柱形中心轴的距离。设一个与磁铁同轴的圆形铝环，半径为R（大于圆柱形磁铁半径），通过磁场由静止开始下落，下落过程中圆环平面始终水平。铝丝电阻率为ρ，密度为ρ0，试求：圆环下落的最终速度。
解析：在圆环下落过程中，回路的磁通始终为零，但圆环上每一小段都在做切割磁场运动，整个圆环都是电源，产生的电动势为
铝环所受的安培力的方向竖直向上。
当安培力与重力相等时，圆环匀速下落，此时速度最大为 um
即，S为铝丝的横截面积。
圆环的最终速度为。
总之，微积分思想的的引入有利于拓展我们解决物理问题的思路，希望本文能起到抛砖引玉的效果。
参考文献
［1］ 程守洙 江之永主编．《普通物理学2》．北京：高等教育出版社，2001
［2］ 张三慧 编著．《大学物理学》．北京：清华大学出版社，2004
［3］ 同济大学数学教研室 主编．《高等数学》第四版 上册．北京：高等教育出版社，2001
【关键词】微积分思想 变力做功 电场强度 电荷量等
无限细分就是微分，无限求和就是积分，这种用极限思想处理问题的方法就是微积分。
用微积分做具体运算在高中物理中虽无作硬性要求，但微积分思想丰富了我们处理问题的方法。因此，我们有必要对其进行了解和学习。本文将从以下几个方面就其在高中物理中的应用作赏析。
1.相关物理图象中面积的含义
新课标人教版高中物理必修一“研究匀变速直线运动的位移与时间的关系”一节，利用v-t图象把质点运动过程无限细分，继而把各微分段位移无限求和，得到v-t图象与坐标轴所围面积即质点在相应时间内所发生的位移。通过面积计算导出了匀变速直线运动的位移公式：x=v0t+12at2。
在匀变速直线运动的位移——时间关系导出过程中，微积分思想得到了淋漓尽致地体现。从该思想出发，我们还可以得到很多物理图象中面积的含义。如：F-t图象与坐标轴所围面积表示相应的冲量； F-x图象与坐标轴所围面积表示相应的功；P-V图象与坐标轴所围面积表示气体状态变化过程中相应的功；i-t 图象与坐标轴所围面积表示相应的电荷量等。利用'面积'解题有时会有事半功倍的效果，此点不再举例赘述。
2.研究变力做功问题
一般来说，恒力做的功可由W=Fscosθ直接求出，变力做的功可由功能关系和能量关系来求解。但借助微积分思想，我们也可直接去求变力的功。其思路是：把质点发生的位移无限细分，在每一小段位移上，力的变化很小，可以视其为恒力，先求出力在各个小段的功，再把各个小段上的功无限求和，即可得到变力所做的功。
例1 由胡克定律知，弹簧在拉伸过程中需要的力F（单位：N）与伸长量（单位：m）成正比，即F=kx（k是劲度系数）。如果把弹簧由原长拉伸 m，计算所做的功。
解析：如图2以弹簧原长处为原点建立X轴，把x平分为n段，则每一微分段的长度为△x=xn，各微分段到O点的距离为
i•(△x)=ixn（i=0、1、2、……、n）。
則力在各微分段上的功可表示为：wi=(i△x)•(△x)=ikx2n2
故整个过程需做的总功为
扩展：由功能关系知，若以弹簧原长处为零势能位置，弹簧的弹性势能可表示为Ep=12kx2，式中 为弹簧的伸长量或压缩量。
例2 一长方体蓄水池，面积为s，储水深度为h1，假定水表面低于地面的高度是h2，若要将这池水全部抽到地面上来，抽水机至少需做功多少？（水的密度为 ρ）
解析：如图3建立h轴，把池水平分为n薄层。取其中任一薄层水为研究对象，则此薄层水的重力可表示为ρgs•(△h)，把这层水抽出至少需做功为：w1=ρgs•(△h)•(h2+i△h)
ρgs•(h1h2n+iρgs•(h12n2).
则把整池水抽出至少需做功为：
4.研究均匀带电体在空间某处激发的电场强度
由点电荷的场强公式E=kqr2，很容易求得该点电荷在空间某处产生的电场强度，但对于一个均匀带电体而言，其在空间某处产生的场强应该是该带电体上的点电荷系所激发场强的叠加，我们不妨用微积分思想去思考问题。
例3 一半径为R的圆环，均匀带有电荷量q，试计算圆环轴线上与环心相距为 的p点处的场强。
解析：如图4所示建立X轴，圆环周长为l=2πR，把圆环平分为n份，在圆环上任取一微分段△l，则其上所带电荷量为q0=q2 πR△l
其在p点处所激发的场强为△Ei=kq0r2=kq.(△l)2πRr2
其中r=x2+R2
由于圆环上各微分段所带电荷在p点激发的场强△E的方向各不相同，为此把△E分解为平行于X轴线的分量△Ep垂直于X轴线的分量△E⊥，根据对称性，各微分段所带电荷在垂直于X轴方向上的分量相互抵消，所以p点的合场强是平行于X轴线的那些分量 的总和。即
当q为正电荷时，E沿X轴正方向；当q为负电荷时，E沿X轴负方向。在p点对称侧， 的方向恰好与p点的相反。
扩展：当x?R时，(x2+r2)32≈x3，
有E=kqx2
即圆环轴线上远离环心处的某点的场强与环上电荷全部集中在环心处的一个点电荷所激发的场强相同。
同理，上述扩展对均匀带电圆盘、均匀带电球体同样成立。
4.电磁感应现象中有关电荷量及感应电动势的理解
在某些电磁感应现象中，有关电荷量及感应电动势的计算用常规思维很难突破，但从微积分思想出发，问题便迎刃而解。
例4 一种用小线圈测磁场的方法如下：做一个小线圈，匝数为N，面积为S,将它的一端与测量电量的冲击电流计相连，它和冲击电流计线路的总电阻为R。先把它放到待测磁场处，并使线圈平面与磁场方向垂直，然后急速地把它移动到磁场外面，这时电流计给出通过的电荷量q。试用N，S，q，R表示待测磁场的大小。
解析：我们可以把线圈移动的过程无限细分，在每一小过程中，通过电流计的电荷量可表示为q0=i.(△t)=N.(△φ)△t)R△t=N.(△φ)R，把所有小过程中的电荷量无限求和，即可得到通过冲击电流计的总电量q=NφR=NBSR。故有B=qRNS。
例5 电声行业采用辐向充磁技术生产的辐向充磁扬声器，对提高音响质量、改变旧的扬声器起到了革命性的变化。如图5所示，是一个很长的竖直放置的圆柱形磁铁，产生一个辐射状的磁场，磁场水平向外，其大小为B=k/r,r，r是磁场中一点到圆柱形中心轴的距离。设一个与磁铁同轴的圆形铝环，半径为R（大于圆柱形磁铁半径），通过磁场由静止开始下落，下落过程中圆环平面始终水平。铝丝电阻率为ρ，密度为ρ0，试求：圆环下落的最终速度。
解析：在圆环下落过程中，回路的磁通始终为零，但圆环上每一小段都在做切割磁场运动，整个圆环都是电源，产生的电动势为
铝环所受的安培力的方向竖直向上。
当安培力与重力相等时，圆环匀速下落，此时速度最大为 um
即，S为铝丝的横截面积。
圆环的最终速度为。
总之，微积分思想的的引入有利于拓展我们解决物理问题的思路，希望本文能起到抛砖引玉的效果。
参考文献
［1］ 程守洙 江之永主编．《普通物理学2》．北京：高等教育出版社，2001
［2］ 张三慧 编著．《大学物理学》．北京：清华大学出版社，2004
［3］ 同济大学数学教研室 主编．《高等数学》第四版 上册．北京：高等教育出版社，2001