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摘要A.Hadjidimos等在文献[1]中提出了预条件矩阵.在文献[3]中柳和畅用文献[2]的方法证明了若系数矩阵为矩阵,则仍为矩阵.在本文中我们引入了五种预条件矩阵.证明了若系数矩阵为矩阵时,仍是矩阵.
关键词矩阵; 预条件矩阵; 比较矩阵; 性质
中图分类号：G353文献标识码： A
中图分类号O151.21
Some Properties of Matrix and Its Application
XUE Wei
(Gansu Construction Vocational Technical College,Lanzhou 730050, China)
Abstract: A.Hadjidimos et.al in [1] proposed preconditioned matrix .In [3] Liu and Chang used the method of literature [2] show that if the coefficient matrixis an matrix,then theis also anmatrix.In this paper,we introduce five kinds of preconditioned matrix.And show thatis also an matrix ,When the coefficientis the matrix.
Keywords: Matrix; Preconditioned Matrix; Comparison Matrix; Property
1引言
为了更好地解线性方程组，其中是阶矩阵，和是维向量.预条件矩阵常被考虑，文献[1]中A.Hadjidimos等提出了预条件矩阵
. (1)
其中,.
文献[3]中作者用文献[1]中的预条件矩阵,证明了当是矩阵时,仍为矩阵.
其中
，(2)
下面我们引入五个预条件矩阵
, (3)
,(4)
, (5)
,(6)
.(7)
证明了当为矩阵时,仍是矩阵.
2相关定义及引理
定义如果一个矩阵满足: ,则称为非奇异矩阵,简称矩阵.
定义矩阵是矩阵,如果的比较矩阵是一个矩阵,这里,.
引理是矩阵的充要条件是存在向量使得.
引理如果是对角元素全为的矩阵,让,那么,,其中,.
3主要结论
定理1设是对角元素全为的矩阵,若,且
,
那么为矩阵.其中.
证明由,是对角元为的矩阵,知,其中,因
1)对于,
.
2)对于,
.
由于,所以.
3)对于有
.
由于,所以.
综合1),2),3)知,根據引理,是矩阵.
定理2让是对角元素全为的矩阵,若,那么为矩阵.其中.
证明因
1)对于,
.
2)对于
.
由于,所以.
综合1),2)知.根据引理,是矩阵.
定理3让是对角元素全为的矩阵,若,那么为矩阵.其中.
证明因
1)对于,
.
由于,所以.
2)对于,
.
综合1),2)知,根据引理,是矩阵.
定理4让是对角元素全为的矩阵,若,那么为矩阵.其中.
证明因
1)对于,
,
由于,所以.
2)对于,
.
综合1),2)知,根据引理,是矩阵.
定理5让是对角元素全为的矩阵,若,那么为矩阵.其中.
证明因
, .
对于,
.
由于,所以.根据引理,是矩阵.
4数值例子
例1让,选择定理5的预条件矩阵为
,
则 .
其中,即,由于
.
容易验证,所以是矩阵.
例2让选择定理5的预条件矩阵为
,
则
.
其中,即由于
.
容易验证,所以是矩阵.
参考文献
[1]Hadjidimosa A,Noutsos D,Tzoumas M.More on modifications and improvements of classical iterativ-
e schemes formatrices[J].Liner Algebra Appl,2003,364:253-279.
[2]孙丽英.IMGS方法对于矩阵的若干令人满意的改进[J].数学物理学报,2006,26A(4): 591-
594.
[3]柳卫东,畅大为.矩阵的预条件Gauss-Seidel迭代法[J].2007,33(5):1009-1112.
[4]黄廷祝,杨传胜.特殊矩阵的分析及应用[M].北京:科学出版社,2007.
[5]胡家赣.线性方程组的迭代解法[M].北京:科学出版社,1991.
[6]Yu L,Kolotilina.Two-sided bounds for the inverse of anmatrix[J].Liner Algebra Appl,1995, (225):
117-123.
关键词矩阵; 预条件矩阵; 比较矩阵; 性质
中图分类号：G353文献标识码： A
中图分类号O151.21
Some Properties of Matrix and Its Application
XUE Wei
(Gansu Construction Vocational Technical College,Lanzhou 730050, China)
Abstract: A.Hadjidimos et.al in [1] proposed preconditioned matrix .In [3] Liu and Chang used the method of literature [2] show that if the coefficient matrixis an matrix,then theis also anmatrix.In this paper,we introduce five kinds of preconditioned matrix.And show thatis also an matrix ,When the coefficientis the matrix.
Keywords: Matrix; Preconditioned Matrix; Comparison Matrix; Property
1引言
为了更好地解线性方程组，其中是阶矩阵，和是维向量.预条件矩阵常被考虑，文献[1]中A.Hadjidimos等提出了预条件矩阵
. (1)
其中,.
文献[3]中作者用文献[1]中的预条件矩阵,证明了当是矩阵时,仍为矩阵.
其中
，(2)
下面我们引入五个预条件矩阵
, (3)
,(4)
, (5)
,(6)
.(7)
证明了当为矩阵时,仍是矩阵.
2相关定义及引理
定义如果一个矩阵满足: ,则称为非奇异矩阵,简称矩阵.
定义矩阵是矩阵,如果的比较矩阵是一个矩阵,这里,.
引理是矩阵的充要条件是存在向量使得.
引理如果是对角元素全为的矩阵,让,那么,,其中,.
3主要结论
定理1设是对角元素全为的矩阵,若,且
,
那么为矩阵.其中.
证明由,是对角元为的矩阵,知,其中,因
1)对于,
.
2)对于,
.
由于,所以.
3)对于有
.
由于,所以.
综合1),2),3)知,根據引理,是矩阵.
定理2让是对角元素全为的矩阵,若,那么为矩阵.其中.
证明因
1)对于,
.
2)对于
.
由于,所以.
综合1),2)知.根据引理,是矩阵.
定理3让是对角元素全为的矩阵,若,那么为矩阵.其中.
证明因
1)对于,
.
由于,所以.
2)对于,
.
综合1),2)知,根据引理,是矩阵.
定理4让是对角元素全为的矩阵,若,那么为矩阵.其中.
证明因
1)对于,
,
由于,所以.
2)对于,
.
综合1),2)知,根据引理,是矩阵.
定理5让是对角元素全为的矩阵,若,那么为矩阵.其中.
证明因
, .
对于,
.
由于,所以.根据引理,是矩阵.
4数值例子
例1让,选择定理5的预条件矩阵为
,
则 .
其中,即,由于
.
容易验证,所以是矩阵.
例2让选择定理5的预条件矩阵为
,
则
.
其中,即由于
.
容易验证,所以是矩阵.
参考文献
[1]Hadjidimosa A,Noutsos D,Tzoumas M.More on modifications and improvements of classical iterativ-
e schemes formatrices[J].Liner Algebra Appl,2003,364:253-279.
[2]孙丽英.IMGS方法对于矩阵的若干令人满意的改进[J].数学物理学报,2006,26A(4): 591-
594.
[3]柳卫东,畅大为.矩阵的预条件Gauss-Seidel迭代法[J].2007,33(5):1009-1112.
[4]黄廷祝,杨传胜.特殊矩阵的分析及应用[M].北京:科学出版社,2007.
[5]胡家赣.线性方程组的迭代解法[M].北京:科学出版社,1991.
[6]Yu L,Kolotilina.Two-sided bounds for the inverse of anmatrix[J].Liner Algebra Appl,1995, (225):
117-123.