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[摘 要] 实验是数学学习、研究的重要方法，关于实验的教学，近年来成为初中数学教学不可或缺的组成部分. 本文笔者针对实验教学最后一个环节中理性提升、数学化提炼不足的问题，提出了“数学实验教学需要漂亮‘最后一跃’”的观点，并结合“拼图实验”课例，作进一步思考，寻找解决问题的策略.
[关键词] 数学实验；教学；问题；思考
因为数学实验具有激发学生学习兴趣、唤起学生对数学学习的信心等功能，所以受到越来越多数学教师的重视. 近两年，使用苏科版教材的地区，数学教师与学生有了董林伟先生主编的《数学实验手册》的相伴，大家对数学实验教与学的热情更是激增. 期间，笔者也听了多位教师开设的“数学实验专题课”，感觉到大家在用这本教材时可谓“百花齐放，各具风骚”. 但是在听课过程中，时常有一种“最后一跃”不够酣畅淋漓的感觉，就好像跳水运动员，起跳与空中姿态都很好，但入水时水花偏大，留下了较多遗憾. 笔者选取了一节以《数学实验手册（七年级下册）》第9个实验——“拼图”为课题的教学案例，从对具体案例的分析中，谈一点自己的拙见.
课堂流程概述
这节课分三个环节.
第一个环节，教师要求学生用三种纸片——A型纸片（边长为a的正方形）、B型纸片（边长为b的正方形）、C型纸片（长为a、宽为b的长方形）中的若干张拼长方形. 然后用不同的代数式分别表示所拼长方形的面积，再根据面积恒等的原理，得到一些等式，进而感受“形”与“数”的关系，以及拼图与整式乘法、因式分解之间的联系.
第二个环节，学生用拼图方法完成对a2 4ab 3b2的因式分解，从中体会、归纳不同纸片的选择数量与系数之间的关系. 再利用小结出来的拼图方法完成对2a2 5ab 2b2的因式分解. 之后，学生之间互相出题，一个学生写一个二次三项式，另一个学生用拼图法进行因式分解. 这一步，让学生在不断熟悉方法的同时，自主发现能因式分解的二次三项式的系数有一定的局限性.
第三个环节，教师让学生不动手拼图，而是直接对a2 5ab 6b2进行因式分解.
问题解析及改进建议
1. 问题解析
从流程看，教师教学环节的编排很清晰，层次也很鲜明. 先是从任意拼长方形的过程中发现可以根据拼图写出多项式因式分解后的形式，然后用拼图的方法对一些二次三项式进行因式分解，最后不拼图，直接对二次三项式进行因式分解. 环环相扣，似乎没有问题. 但笔者在课堂接近尾声时发现，最后一个环节能完成的学生很少，很多学生还是忍不住要去拼图. 笔者就在想：教学环节中是否有需要改进的地方？学生能否做到不借助拼图工具，仅靠一支笔、一张纸就快速地对某些二次三项式进行因式分解呢？
经过对这节课的反复研究，笔者认为可以在第三个环节做文章. 因为课上呈现出的问题是学生不能应付第三环节，它相对于第二个环节来讲，思维难度陡然提升. 从动手拼图、能直观地看到长方形的长和宽，直接跳跃到了在脑海里进行构图，甚至脱离图形，从“感性”一下子上升到“理性”，学生还不能完全转过弯来. 再者，第三个环节本应承担着“承上启下”的义务，让学生通过本节课的学习为后续学习“十字相乘法”做铺垫，但学生在课堂上没有充分感悟到这一点. 所以，笔者在借鉴其他教师一些做法的基础上，对本节课的第三个环节进行了改进，希望能让这个实验教学的“最后一跃”更漂亮一些.
2. 改进建议
第三个环节再分两个教学步骤.
第一步：（1）当学生完成拼图后，教师向学生展示其中的两幅拼图（若没有学生拼出这样的图形，可由教师引导给出），图1中长方形的面积为a2 4ab 3b2，根据图形可写出因式分解的结果为a2 4ab 3b2=（a 3b）（a b）；图2中长方形的面积为3a2 4ab b2，因式分解的结果为3a2 4ab b2=（3a b）（a b）. 请学生仔细观察两张拼图，发现A，B，C三种纸片在位置分布上具有什么共同特征. （2）请学生仿照老师的拼图方法拼出面积为2a2 5ab 2b2的长方形.
设计意图：学生在拼图时往往是达到目的就算成功，忽略了在拼图过程中找到规律性的方法. 例如，拼一个面积为a2 4ab 3b2的长方形，学生可以拼出多个组合（仅举两例，如图3和图4），这些长方形的长和宽都是（a 3b）和（a b），大部分学生以能否拼出更多的组合而沾沾自喜，部分教师在课堂上也仅仅满足于学生成果的“多样化”，但能否找到一种快速有效的拼图方法却是顺利完成后续教学的关键.
笔者设计这一步就是想让学生掌握这种快速拼图的方法. 教师引导学生观察图1和图2中A，B，C三种纸片的位置的共同特征：A，B两种纸片大致分布在长方形的左上部分与右下部分，且各自构成一个长方形（如阴影所示）； A型正方形不与B型正方形有重合边，它只与同类型的正方形或C型长方形有重合边； B型正方形不与A型正方形有重合边，它只与同类型的正方形或C型长方形有重合边. 掌握了这种拼图技巧后，我们就可以迅速地根据各种类型纸片的张数拼出符合面积要求的长方形了. 例如拼面积为2a2 5ab 2b2的长方形，按照上述方法，可先拼好A，B型纸片，再拼C型纸片，可能会拼出图5的图形，但马上会发现C型纸片的数量不对，多出一张，再调整一下一张A的位置，拼出图6的长方形，完全符合要求，于是因式分解的式子很快就能写出来了.
第二步：请学生不借助拼图工具，仅凭一支笔、一张纸快速地对a2 5ab 6b2进行因式分解.
设计意图：学生在掌握了快速拼图法后，借助纸和笔就能很快地画出长方形，即使第一次没有画对，但只要再经过1～2次的尝试也能成功，进而可以对多项式进行因式分解了. 这种画图法比拼图法对思维的要求要高，但比直接在脑子里构图要求要低，是学生思维的中间地带，学生比较容易理解、模仿，并且可以通过一定量的练习逐渐内化为自己的知识. 不仅如此，这种方法其实和“十字相乘法”是相通的，如将正方形A，B分别拼在图形的左上角、右下角，而且同种类型的正方形拼在一起要构成一个长方形，不就相当于将平方项前的系数拆成两个整数相乘的形式吗？通过将空缺处补上长方形C，核对数量是否正好，不就相当于拆分后的因数交叉相乘再求和，检验是否与中间项的系数相等的步骤吗？有了这样的画图体验，学生在学习“十字相乘法”时，就会更容易理解每一个步骤的目的，而不是死记硬背了. 思考
笔者在本文中所说的“最后一跃”其实是打了个比方，确切地说是指数学实验教学过程的最后一个步骤应该对学生有一个提升，要引导他们将实验所得的结果或者方法进行数学化，从借助有关工具的直观思维回归到抽象思维. 数学实验毕竟与物理、化学等实验不同，后者更注重实验的操作，以及对实验现象的观察，而前者在关注实验表象的同时，更注重将活动对象及过程进行提炼、概括，使其上升为相应的数学概念或数学思想方法. 所以，教师在教学过程中，既不能忽视数学实验的价值，又不能过分夸大. 没有实验的数学教学会让学生缺乏直观感受，不仅枯燥乏味，而且对学生合情推理能力的提高、学习兴趣的培养都会有消极影响. 但只有实验的数学教学，又会阻碍学生演绎推理能力、抽象数学思维的发展，而且会形成看问题不会由表及里、不会抓本质的弊端. 数学实验这种新型的学习方式要与传统学习方式互做有益补充，这样才能达到相辅相成的效果.
那么，如何跳出漂亮的“最后一跃”呢？笔者认为可以从两方面着手.
1. 把握好数学实验目的
数学实验是动手动脑“做”数学的一种数学学习活动，目的是通过“做”揭示现象背后的本质，为达成课时目标提供有效的抓手. 如果这个根本目的没有把握住，就会造成离本趋末的问题，或者是出现“捡了芝麻而丢了西瓜”的失误. 比如“拼图”这节课，如果仅让学生学会用所给纸片拼长方形，那就完全没有把握住实验目的. 对于绝大多数的七年级学生来说，这是已有经验，不需要花一课时专门研究. 而如果通过拼图仅实现了学生由“长方形面积”向“因式分解”的转换，那这个目标还只能算是低层次目标，让经验只停留在感性阶段，没有及时将感性思维理性化，缺乏思维的深刻性. 高层次的目标是让学生形成以“形”为手段、以“数”为目的的认识，也就是要学生通过“拼图”的方法进一步衍生出通过对数的拆分来进行因式分解的方法，即“十字相乘法”，这就是实验的升华. 因为实现高层次的目标有一定的难度，对学生的要求也比较高，所以这个升华往往放在课的后半节，就似画龙过后的点睛之笔. 当然，这里需要教师作适当的引导. 教师在进行数学实验教学前，一定要认真研究课标、分析课本和数学实验手册，设计实验内容、步骤，确保实验吻合课标，贴合教材.
2. 抓住学生的“最近发展区”
“最后一跃”是从感性到理性的攀登，具有一定的难度，有的学生不一定能成功，这时候就需要教师搭好脚手架，帮助其登高. 依据维果斯基的“最近发展区理论”，学生的现有水平与可能发展水平之间的差异就是最近发展区，脚手架就搭建在最近发展区. 为学生提供带有难度的内容，调动学生的积极性，让他们能超越最近发展区而到达下一发展阶段. 比如，在本文的实验教学中，学生能通过拼图对二次三项式进行因式分解，这是“现有水平”，因式分解中的“十字相乘法”是“可能发展水平”，两者之间的“最近发展区”就是用快速画图法画出符合要求的长方形，再对多项式因式分解. 通过教师在最近发展区的引导，学生就能从拼图中受到启发，观察多项式系数的特征，拆分系数，完成多项式的因式分解. 教师是学生学习的组织者、引导者与合作者，在学生遇到困难时，教师要指点迷津，而且要指导得法，帮助学生脱离困境.
对于数学实验，广大教师都还在路上，我们应且行且思，不断尝试、反思、修正，关注数学实验的价值，充分发挥其对学生发展的促进作用.
[关键词] 数学实验；教学；问题；思考
因为数学实验具有激发学生学习兴趣、唤起学生对数学学习的信心等功能，所以受到越来越多数学教师的重视. 近两年，使用苏科版教材的地区，数学教师与学生有了董林伟先生主编的《数学实验手册》的相伴，大家对数学实验教与学的热情更是激增. 期间，笔者也听了多位教师开设的“数学实验专题课”，感觉到大家在用这本教材时可谓“百花齐放，各具风骚”. 但是在听课过程中，时常有一种“最后一跃”不够酣畅淋漓的感觉，就好像跳水运动员，起跳与空中姿态都很好，但入水时水花偏大，留下了较多遗憾. 笔者选取了一节以《数学实验手册（七年级下册）》第9个实验——“拼图”为课题的教学案例，从对具体案例的分析中，谈一点自己的拙见.
课堂流程概述
这节课分三个环节.
第一个环节，教师要求学生用三种纸片——A型纸片（边长为a的正方形）、B型纸片（边长为b的正方形）、C型纸片（长为a、宽为b的长方形）中的若干张拼长方形. 然后用不同的代数式分别表示所拼长方形的面积，再根据面积恒等的原理，得到一些等式，进而感受“形”与“数”的关系，以及拼图与整式乘法、因式分解之间的联系.
第二个环节，学生用拼图方法完成对a2 4ab 3b2的因式分解，从中体会、归纳不同纸片的选择数量与系数之间的关系. 再利用小结出来的拼图方法完成对2a2 5ab 2b2的因式分解. 之后，学生之间互相出题，一个学生写一个二次三项式，另一个学生用拼图法进行因式分解. 这一步，让学生在不断熟悉方法的同时，自主发现能因式分解的二次三项式的系数有一定的局限性.
第三个环节，教师让学生不动手拼图，而是直接对a2 5ab 6b2进行因式分解.
问题解析及改进建议
1. 问题解析
从流程看，教师教学环节的编排很清晰，层次也很鲜明. 先是从任意拼长方形的过程中发现可以根据拼图写出多项式因式分解后的形式，然后用拼图的方法对一些二次三项式进行因式分解，最后不拼图，直接对二次三项式进行因式分解. 环环相扣，似乎没有问题. 但笔者在课堂接近尾声时发现，最后一个环节能完成的学生很少，很多学生还是忍不住要去拼图. 笔者就在想：教学环节中是否有需要改进的地方？学生能否做到不借助拼图工具，仅靠一支笔、一张纸就快速地对某些二次三项式进行因式分解呢？
经过对这节课的反复研究，笔者认为可以在第三个环节做文章. 因为课上呈现出的问题是学生不能应付第三环节，它相对于第二个环节来讲，思维难度陡然提升. 从动手拼图、能直观地看到长方形的长和宽，直接跳跃到了在脑海里进行构图，甚至脱离图形，从“感性”一下子上升到“理性”，学生还不能完全转过弯来. 再者，第三个环节本应承担着“承上启下”的义务，让学生通过本节课的学习为后续学习“十字相乘法”做铺垫，但学生在课堂上没有充分感悟到这一点. 所以，笔者在借鉴其他教师一些做法的基础上，对本节课的第三个环节进行了改进，希望能让这个实验教学的“最后一跃”更漂亮一些.
2. 改进建议
第三个环节再分两个教学步骤.
第一步：（1）当学生完成拼图后，教师向学生展示其中的两幅拼图（若没有学生拼出这样的图形，可由教师引导给出），图1中长方形的面积为a2 4ab 3b2，根据图形可写出因式分解的结果为a2 4ab 3b2=（a 3b）（a b）；图2中长方形的面积为3a2 4ab b2，因式分解的结果为3a2 4ab b2=（3a b）（a b）. 请学生仔细观察两张拼图，发现A，B，C三种纸片在位置分布上具有什么共同特征. （2）请学生仿照老师的拼图方法拼出面积为2a2 5ab 2b2的长方形.
设计意图：学生在拼图时往往是达到目的就算成功，忽略了在拼图过程中找到规律性的方法. 例如，拼一个面积为a2 4ab 3b2的长方形，学生可以拼出多个组合（仅举两例，如图3和图4），这些长方形的长和宽都是（a 3b）和（a b），大部分学生以能否拼出更多的组合而沾沾自喜，部分教师在课堂上也仅仅满足于学生成果的“多样化”，但能否找到一种快速有效的拼图方法却是顺利完成后续教学的关键.
笔者设计这一步就是想让学生掌握这种快速拼图的方法. 教师引导学生观察图1和图2中A，B，C三种纸片的位置的共同特征：A，B两种纸片大致分布在长方形的左上部分与右下部分，且各自构成一个长方形（如阴影所示）； A型正方形不与B型正方形有重合边，它只与同类型的正方形或C型长方形有重合边； B型正方形不与A型正方形有重合边，它只与同类型的正方形或C型长方形有重合边. 掌握了这种拼图技巧后，我们就可以迅速地根据各种类型纸片的张数拼出符合面积要求的长方形了. 例如拼面积为2a2 5ab 2b2的长方形，按照上述方法，可先拼好A，B型纸片，再拼C型纸片，可能会拼出图5的图形，但马上会发现C型纸片的数量不对，多出一张，再调整一下一张A的位置，拼出图6的长方形，完全符合要求，于是因式分解的式子很快就能写出来了.
第二步：请学生不借助拼图工具，仅凭一支笔、一张纸快速地对a2 5ab 6b2进行因式分解.
设计意图：学生在掌握了快速拼图法后，借助纸和笔就能很快地画出长方形，即使第一次没有画对，但只要再经过1～2次的尝试也能成功，进而可以对多项式进行因式分解了. 这种画图法比拼图法对思维的要求要高，但比直接在脑子里构图要求要低，是学生思维的中间地带，学生比较容易理解、模仿，并且可以通过一定量的练习逐渐内化为自己的知识. 不仅如此，这种方法其实和“十字相乘法”是相通的，如将正方形A，B分别拼在图形的左上角、右下角，而且同种类型的正方形拼在一起要构成一个长方形，不就相当于将平方项前的系数拆成两个整数相乘的形式吗？通过将空缺处补上长方形C，核对数量是否正好，不就相当于拆分后的因数交叉相乘再求和，检验是否与中间项的系数相等的步骤吗？有了这样的画图体验，学生在学习“十字相乘法”时，就会更容易理解每一个步骤的目的，而不是死记硬背了. 思考
笔者在本文中所说的“最后一跃”其实是打了个比方，确切地说是指数学实验教学过程的最后一个步骤应该对学生有一个提升，要引导他们将实验所得的结果或者方法进行数学化，从借助有关工具的直观思维回归到抽象思维. 数学实验毕竟与物理、化学等实验不同，后者更注重实验的操作，以及对实验现象的观察，而前者在关注实验表象的同时，更注重将活动对象及过程进行提炼、概括，使其上升为相应的数学概念或数学思想方法. 所以，教师在教学过程中，既不能忽视数学实验的价值，又不能过分夸大. 没有实验的数学教学会让学生缺乏直观感受，不仅枯燥乏味，而且对学生合情推理能力的提高、学习兴趣的培养都会有消极影响. 但只有实验的数学教学，又会阻碍学生演绎推理能力、抽象数学思维的发展，而且会形成看问题不会由表及里、不会抓本质的弊端. 数学实验这种新型的学习方式要与传统学习方式互做有益补充，这样才能达到相辅相成的效果.
那么，如何跳出漂亮的“最后一跃”呢？笔者认为可以从两方面着手.
1. 把握好数学实验目的
数学实验是动手动脑“做”数学的一种数学学习活动，目的是通过“做”揭示现象背后的本质，为达成课时目标提供有效的抓手. 如果这个根本目的没有把握住，就会造成离本趋末的问题，或者是出现“捡了芝麻而丢了西瓜”的失误. 比如“拼图”这节课，如果仅让学生学会用所给纸片拼长方形，那就完全没有把握住实验目的. 对于绝大多数的七年级学生来说，这是已有经验，不需要花一课时专门研究. 而如果通过拼图仅实现了学生由“长方形面积”向“因式分解”的转换，那这个目标还只能算是低层次目标，让经验只停留在感性阶段，没有及时将感性思维理性化，缺乏思维的深刻性. 高层次的目标是让学生形成以“形”为手段、以“数”为目的的认识，也就是要学生通过“拼图”的方法进一步衍生出通过对数的拆分来进行因式分解的方法，即“十字相乘法”，这就是实验的升华. 因为实现高层次的目标有一定的难度，对学生的要求也比较高，所以这个升华往往放在课的后半节，就似画龙过后的点睛之笔. 当然，这里需要教师作适当的引导. 教师在进行数学实验教学前，一定要认真研究课标、分析课本和数学实验手册，设计实验内容、步骤，确保实验吻合课标，贴合教材.
2. 抓住学生的“最近发展区”
“最后一跃”是从感性到理性的攀登，具有一定的难度，有的学生不一定能成功，这时候就需要教师搭好脚手架，帮助其登高. 依据维果斯基的“最近发展区理论”，学生的现有水平与可能发展水平之间的差异就是最近发展区，脚手架就搭建在最近发展区. 为学生提供带有难度的内容，调动学生的积极性，让他们能超越最近发展区而到达下一发展阶段. 比如，在本文的实验教学中，学生能通过拼图对二次三项式进行因式分解，这是“现有水平”，因式分解中的“十字相乘法”是“可能发展水平”，两者之间的“最近发展区”就是用快速画图法画出符合要求的长方形，再对多项式因式分解. 通过教师在最近发展区的引导，学生就能从拼图中受到启发，观察多项式系数的特征，拆分系数，完成多项式的因式分解. 教师是学生学习的组织者、引导者与合作者，在学生遇到困难时，教师要指点迷津，而且要指导得法，帮助学生脱离困境.
对于数学实验，广大教师都还在路上，我们应且行且思，不断尝试、反思、修正，关注数学实验的价值，充分发挥其对学生发展的促进作用.