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摘 要
开发数学“同源问题”可促进学生对数学的理解，更有利于学生自觉高效地“学数学，做数学，用数学”。对数学“同源问题”的开发常常从叙述方式、表征形式、解决途径、演化变式、呈现角度等途径入手。教师抓住数学问题的本质，适当地对数学问题进行开发与重组，使得数学“同源问题”的表征、解决呈现多元化的态势，就能加深学生对数学问题的认知理解。
关键词
开发 同源问题 策略 引导 理解
一、问题的提出
数学学习中，“理解”无疑是第一位的。章建跃教授提出并强调的“三个理解”之一便是理解数学，主要指理解所教内容、思想方法、科学价值等。但同时，在数学学习活动中，我们经常见到学生面对难度不大稍有变化的题目时不知如何入手，难以把握问题的主干结构，解题如同进入迷宫一样不知出口在哪里。这种现象表明学生缺乏对问题中已知条件的把握与理解，缺乏正确分析问题的基本策略和方法，进入一种“只在此山中，云深不知处”的处境。在平时的教学中，教师若能够多角度、多渠道引导学生拨开迷雾，识别问题的本质，将有助于学生较快找到解题的突破口，从而大大提高解题的效率。因此，从促进学生对数学的理解这一角度出发，教师对数学“同源问题”进行开发不仅应该做，更可说是值得做的。有些问题系列可由同一个数学问题衍生、拓展、推广得到，我们把问题系列中的这些问题称为“同源问题”。
二、数学“同源问题”的开发策略
1.“同源问题”叙述方式的开发
数学问题的叙述方式主要是指对问题的条件及所需求解（或求证）问题的表述方式。对叙述的方式开发主要是指在不改变问题本质属性的情况下，改变问题的叙述方式。适切地开发叙述方式有利于学生提高对数学问题的识别能力，促其深化对问题的条件和待求（证）量的认识。
案例1 当a为何值时，方程x2+x+a=0没有实数根？
这是一道十分典型的例题，具有普遍的适用性，为了让学生抓住问题的本质属性，可把问题的叙述方式开发如下：
（1）当a为何值时，二次函数y=x2+x+a的图象与x轴没有交点？
（2）当a为何值时，抛物线y=x2+x+a位于x轴的上方？
（3）当a为何值时，二次函数y=x2+x+a的值恒为正？
（4）当a为何值时，不等式x2+x+a≤0无解？
（5）当a为何值时，不等式x2+x+a>0的解集是全体实数？
（6）当a为何值时，二次三项式x2+x+a的值恒为正？
感悟：不同的叙述方式，其实都是同一指向。在这样的叙述方式的转换中，学生可从中体会到数学问题的多角度叙述，从不同的叙述方式中体悟问题的实质所在。
2.“同源问题”表征形式的开发
数学问题的表征形式通常指的是对数学问题中的信息以文字、图形、符号、模型等形式进行表达和阐释。数学问题的表征存在多种形式，学生若不能灵活转化数学语言，则容易造成解题的不完整或不完善现象。在数学学习活动中教师对所设问题进行多种表征，引导学生经历对数学表征的诸形式进行“自由切换”的过程，可促其深化对数学问题的理解。
案例2 完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2的数学表征（苏科版七年级下册9.4乘法公式第一课时）
（1）符号表征：利用多项式乘多项式法则计算（a+b）2。
（2）文字表征：完全平方公式的特征是：首平方，尾平方，首尾乘积两倍加中央。
（3）操作表征：请使用计算器，分别取几组值计算（a+b）2和a2+2ab+b2的值，探究这两个式子之间的关系。
（4）情境表征：有一位老奶奶很喜欢孩子，每次孩子到她家，她都会给他们一些糖，她立了一个规定：每次有多少孩子去，就会给每个孩子同样数目的糖（如有5个孩子就给每个孩子5颗糖）。现在有a个男孩子和b个女孩子准备去老奶奶家，这些孩子在商量是分开去还是一起去所得的糖会多一些？多多少？请你帮他们解决这个问题。
（5）图形表征：利用图1，用不同的方法表示大矩形的面积，你有什么发现？
感悟：上述五种表征方式分别从符号、文字、操作、情境、图形等方面进行解构，帮助学生从多角度认识完全平方公式，对提高其数学表征能力有很大的促进作用，更能理解数学表征形式之间的内在联系。
3.“同源问题”解决途径的开发
对数学问题进行解决途径的开发，主要指的是全面考虑解决途径，实施一题多解的方式对问题进行加工和处理。这样的处理方式有利于学生比较问题的解决方式，甄选总结出最佳解决途径，积累问题解决经验。
案例3 二次函数当x = 2时，y 有最小值为-3，且该二次函数的图像与x 轴的交点横坐标的乘积为3，求该二次函数的解析式。
思路1 通过审题可知二次函数图像的顶点坐标，因此可设二次函数的顶点式为y=a（x-2）2-3，只需建构出关于字母a的方程即可。
思路2 通过审题可知二次函数图像的顶点坐标，因此只需知道二次函数图像上另一点即可，由题意可尝试求二次函数图像与x轴的交点坐标，进而求得二次函数的解析式。
思路3 由二次函数的图像与x 轴的交点横坐标的乘积为3可设两个交点坐标分别为 再设法建构出关于字母m的方程即可求解。
思路4 可利用二次函数与对应的一元二次方程之间的关系，联系韦达定理来获得待定字母的值，进而求得二次函数的解析式。
感悟：上述问题分别从四个方面进行解决，体现了问题解决的多样性。在数学问题解决途径的开发中，帮助学生增强对相关知识点的关联度，深化对解题途径的认识，逐渐达到融会贯通的程度。
4.“同源问题”演化变式的开发 数学问题常具有的演化变式有横向变式、纵向变式、正向变式、负向变式等。横向变式就是指将问题的条件或结论作局部改变，使新问题与它呈并列关系;纵向变式是指将问题的条件或结论进行发展延伸，使新问题与它呈递进关系;正向变式是指此问题对彼问题的解题思想（方法）产生正迁移的作用，能够促进解决彼问题;负向变式是指此问题对彼问题的解题思想（方法）产生负迁移的作用，往往阻碍解决彼问题。通过对这些问题的衍变问题的解决，学生可洞察本质，厘清问题的真面目，从而深化对问题的认知理解。
案例4 问题1为源问题，问题2、问题3、问题4和问题5分别是问题1的横向变式、纵向变式、正向变式和负向变式。
问题1 如图2，已知直线l及其同侧的点A，点B，在直线上求作一点P，使PA+PB最小。
问题3 （2013年·湖北鄂州中考题）如图4，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB= ，试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（ ）。
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
问题4 （2013年·广东茂名中考题）如图5，抛物线y=ax2 x+2与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，已知点B的坐标为（3，0）。
（1）求a的值和抛物线的顶点坐标;
（2）分别连接AC、BC，在x轴下方的抛物线上求一点M，使△AMC与△ABC的面积相等;
（3）设N是抛物线对称轴上的一个动点，d=|AN-CM|，探究：是否存在一点N，使d的值最大？若存在，请直接写出点N的坐标和d的最大值;若不存在，请简单说明理由。
问题5 （2012年·湖北黄石中考题）如图6所示 动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是（ ）。
感悟：横向变式、纵向变式与正向变式等变式都往往与“源问题”属同质问题，即问题的本质常常没有改变，而负向变式往往与“源问题”属异质问题，解题方法或思路常显示出明显的区别，“源问题”的解决并不能促进负向变式问题的解决，识别和解决这些同源问题，有助于学生对数学问题的透彻理解。
5.“同源问题”呈现角度的开发
有些数学问题以不同的问题背景、不同的表达方式或者不同的结构形式来隐性呈现，但是其实质却是“形异质同问题”。开发此类问题对提高学生的数学辨析能力大有帮助，促其思维从单一角度的认识转向多元化认识。
案例5 问题“已知 求a+16b的值”的呈现角度。
问题1 设x1、x2、x3…xn取-1，0，2中的任一个数，且x12+x22+x32+…+xn2=28，x13+x23+x33+…+xn3=44，求x14+x24+x34+…+xn4的值。
问题2 有a（a>0）张卡片，在它们的上面分别写上-1，0，2中的任一个数。小明将卡片上的数字平方后，求和为28;小丽将卡片上的数字立方后，求和为44。你能求出卡片上的数字四次方后是多少吗？若能，写出解答过程;若不能，说明理由。
问题3 甲、乙、丙、丁四人到文具店购买同一种笔记本和钢笔，购买的数量及总价如表1所示。若其中一人的总价算错了，则此人是（ ）。
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
问题4 学校组织了一次游戏，每位选手朝特制的靶子上各投3支飞镖，在同一圆环内得分相同。如图7所示，小宁、小君、小红的成绩分别是29分、43分和33分，则小华的成绩是（ ）。
A.31分 B.33分 C.36分 D.38分
简析：对于问题1，因为0对求和没有影响，故求和的结果只与-1、2的个数有关。因此，在x1、x2、x3…xn中，设有a个-1，b个2，则问题可转化为“已知 求a+16b的值”的等价问题。将符号表征的问题1赋以情境，则就变成了文字表征形式的问题2，同样将问题1以表格表征，就成了问题3，用图形表征即成问题4。
感悟：辨析“形异质同问题”和“形似质异问题”不能仅仅靠直觉，而要靠理性的逻辑思考和缜密的逻辑推理。要想实现这个目标，就需要教师有目的和有选择地对数学问题以不同的问题背景或者不同的结构形式来呈现。教师进行开发时，可选择题组来进行呈现，呈现的方式既可以是显性的，也可以是隐性的。开发此类问题有利于学生的辨析能力、创新思维的发展和提高。
三、思考与感悟
数学的研究对象是具有高度抽象性的数量关系和空间形式，是一种形式化的思想材料。数学“同源问题”的开发使得数学问题的表征、解决呈现多元化的态势，从而丰富了学生对数学问题的认识角度，降低了数学的抽象化与形式化程度，使他们加深了对数学问题的认知理解。
1.对“同源问题”的开发应适切于课程标准
教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程，有效的数学教学活动是学生学与教师教的统一，学生是数学学习的主体，教师是数学学习的组织者、引导者和合作者。数学“同源问题”的开发应以数学课程标准为基，以教材为本，真正做到“用教材”，而不是“教教材”。教师应围绕“具有思考梯度、广度、深度的问题”的目标来开发“同源问题”，使开发后的问题系列能够密切关联，有利于学生逐步走向数学本质。
2.对“同源问题”的开发应理解数学
理解数学是指清楚“同源问题”的产生背景、形成过程、形成方法，清楚它们的本质、结构及相互间的关系。其关键是把握“同源问题”内在的多元联系，善于区分“同源问题”蕴含的核心知识和非核心知识。只有这样，教师才能整合数学知识点为知识模块，选择合适的“同源问题”进行开发，确定恰当的开发策略。 数学中的知识点不是孤立存在的，而是有机联系的整体，只有把握好“同源问题”的开发策略，教师方能引导学生对数学知识的有效建构。
3.对“同源问题”的开发应关注学情
数学“同源问题”的开发应立足于促进学生理解数学和应用数学。“学生能否理解”以及“学生理解到什么程度”决定了教师对“同源问题”的开发程度和深度。唯如此，教师才能开发出与学生的已有经验、学习基础和思维特点相匹配的问题系列。学生是数学学习活动的主体。由于学生存在个体差异，因此教师要从学生的认知水平出发，使得开发后的“同源问题”立足于学生思维的“最近发展区”，使学生能够内化数学知识、深化数学内涵，真正做到“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”。
作者单位：江苏常熟外国语初级中学
开发数学“同源问题”可促进学生对数学的理解，更有利于学生自觉高效地“学数学，做数学，用数学”。对数学“同源问题”的开发常常从叙述方式、表征形式、解决途径、演化变式、呈现角度等途径入手。教师抓住数学问题的本质，适当地对数学问题进行开发与重组，使得数学“同源问题”的表征、解决呈现多元化的态势，就能加深学生对数学问题的认知理解。
关键词
开发 同源问题 策略 引导 理解
一、问题的提出
数学学习中，“理解”无疑是第一位的。章建跃教授提出并强调的“三个理解”之一便是理解数学，主要指理解所教内容、思想方法、科学价值等。但同时，在数学学习活动中，我们经常见到学生面对难度不大稍有变化的题目时不知如何入手，难以把握问题的主干结构，解题如同进入迷宫一样不知出口在哪里。这种现象表明学生缺乏对问题中已知条件的把握与理解，缺乏正确分析问题的基本策略和方法，进入一种“只在此山中，云深不知处”的处境。在平时的教学中，教师若能够多角度、多渠道引导学生拨开迷雾，识别问题的本质，将有助于学生较快找到解题的突破口，从而大大提高解题的效率。因此，从促进学生对数学的理解这一角度出发，教师对数学“同源问题”进行开发不仅应该做，更可说是值得做的。有些问题系列可由同一个数学问题衍生、拓展、推广得到，我们把问题系列中的这些问题称为“同源问题”。
二、数学“同源问题”的开发策略
1.“同源问题”叙述方式的开发
数学问题的叙述方式主要是指对问题的条件及所需求解（或求证）问题的表述方式。对叙述的方式开发主要是指在不改变问题本质属性的情况下，改变问题的叙述方式。适切地开发叙述方式有利于学生提高对数学问题的识别能力，促其深化对问题的条件和待求（证）量的认识。
案例1 当a为何值时，方程x2+x+a=0没有实数根？
这是一道十分典型的例题，具有普遍的适用性，为了让学生抓住问题的本质属性，可把问题的叙述方式开发如下：
（1）当a为何值时，二次函数y=x2+x+a的图象与x轴没有交点？
（2）当a为何值时，抛物线y=x2+x+a位于x轴的上方？
（3）当a为何值时，二次函数y=x2+x+a的值恒为正？
（4）当a为何值时，不等式x2+x+a≤0无解？
（5）当a为何值时，不等式x2+x+a>0的解集是全体实数？
（6）当a为何值时，二次三项式x2+x+a的值恒为正？
感悟：不同的叙述方式，其实都是同一指向。在这样的叙述方式的转换中，学生可从中体会到数学问题的多角度叙述，从不同的叙述方式中体悟问题的实质所在。
2.“同源问题”表征形式的开发
数学问题的表征形式通常指的是对数学问题中的信息以文字、图形、符号、模型等形式进行表达和阐释。数学问题的表征存在多种形式，学生若不能灵活转化数学语言，则容易造成解题的不完整或不完善现象。在数学学习活动中教师对所设问题进行多种表征，引导学生经历对数学表征的诸形式进行“自由切换”的过程，可促其深化对数学问题的理解。
案例2 完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2的数学表征（苏科版七年级下册9.4乘法公式第一课时）
（1）符号表征：利用多项式乘多项式法则计算（a+b）2。
（2）文字表征：完全平方公式的特征是：首平方，尾平方，首尾乘积两倍加中央。
（3）操作表征：请使用计算器，分别取几组值计算（a+b）2和a2+2ab+b2的值，探究这两个式子之间的关系。
（4）情境表征：有一位老奶奶很喜欢孩子，每次孩子到她家，她都会给他们一些糖，她立了一个规定：每次有多少孩子去，就会给每个孩子同样数目的糖（如有5个孩子就给每个孩子5颗糖）。现在有a个男孩子和b个女孩子准备去老奶奶家，这些孩子在商量是分开去还是一起去所得的糖会多一些？多多少？请你帮他们解决这个问题。
（5）图形表征：利用图1，用不同的方法表示大矩形的面积，你有什么发现？
感悟：上述五种表征方式分别从符号、文字、操作、情境、图形等方面进行解构，帮助学生从多角度认识完全平方公式，对提高其数学表征能力有很大的促进作用，更能理解数学表征形式之间的内在联系。
3.“同源问题”解决途径的开发
对数学问题进行解决途径的开发，主要指的是全面考虑解决途径，实施一题多解的方式对问题进行加工和处理。这样的处理方式有利于学生比较问题的解决方式，甄选总结出最佳解决途径，积累问题解决经验。
案例3 二次函数当x = 2时，y 有最小值为-3，且该二次函数的图像与x 轴的交点横坐标的乘积为3，求该二次函数的解析式。
思路1 通过审题可知二次函数图像的顶点坐标，因此可设二次函数的顶点式为y=a（x-2）2-3，只需建构出关于字母a的方程即可。
思路2 通过审题可知二次函数图像的顶点坐标，因此只需知道二次函数图像上另一点即可，由题意可尝试求二次函数图像与x轴的交点坐标，进而求得二次函数的解析式。
思路3 由二次函数的图像与x 轴的交点横坐标的乘积为3可设两个交点坐标分别为 再设法建构出关于字母m的方程即可求解。
思路4 可利用二次函数与对应的一元二次方程之间的关系，联系韦达定理来获得待定字母的值，进而求得二次函数的解析式。
感悟：上述问题分别从四个方面进行解决，体现了问题解决的多样性。在数学问题解决途径的开发中，帮助学生增强对相关知识点的关联度，深化对解题途径的认识，逐渐达到融会贯通的程度。
4.“同源问题”演化变式的开发 数学问题常具有的演化变式有横向变式、纵向变式、正向变式、负向变式等。横向变式就是指将问题的条件或结论作局部改变，使新问题与它呈并列关系;纵向变式是指将问题的条件或结论进行发展延伸，使新问题与它呈递进关系;正向变式是指此问题对彼问题的解题思想（方法）产生正迁移的作用，能够促进解决彼问题;负向变式是指此问题对彼问题的解题思想（方法）产生负迁移的作用，往往阻碍解决彼问题。通过对这些问题的衍变问题的解决，学生可洞察本质，厘清问题的真面目，从而深化对问题的认知理解。
案例4 问题1为源问题，问题2、问题3、问题4和问题5分别是问题1的横向变式、纵向变式、正向变式和负向变式。
问题1 如图2，已知直线l及其同侧的点A，点B，在直线上求作一点P，使PA+PB最小。
问题3 （2013年·湖北鄂州中考题）如图4，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB= ，试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（ ）。
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
问题4 （2013年·广东茂名中考题）如图5，抛物线y=ax2 x+2与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，已知点B的坐标为（3，0）。
（1）求a的值和抛物线的顶点坐标;
（2）分别连接AC、BC，在x轴下方的抛物线上求一点M，使△AMC与△ABC的面积相等;
（3）设N是抛物线对称轴上的一个动点，d=|AN-CM|，探究：是否存在一点N，使d的值最大？若存在，请直接写出点N的坐标和d的最大值;若不存在，请简单说明理由。
问题5 （2012年·湖北黄石中考题）如图6所示 动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是（ ）。
感悟：横向变式、纵向变式与正向变式等变式都往往与“源问题”属同质问题，即问题的本质常常没有改变，而负向变式往往与“源问题”属异质问题，解题方法或思路常显示出明显的区别，“源问题”的解决并不能促进负向变式问题的解决，识别和解决这些同源问题，有助于学生对数学问题的透彻理解。
5.“同源问题”呈现角度的开发
有些数学问题以不同的问题背景、不同的表达方式或者不同的结构形式来隐性呈现，但是其实质却是“形异质同问题”。开发此类问题对提高学生的数学辨析能力大有帮助，促其思维从单一角度的认识转向多元化认识。
案例5 问题“已知 求a+16b的值”的呈现角度。
问题1 设x1、x2、x3…xn取-1，0，2中的任一个数，且x12+x22+x32+…+xn2=28，x13+x23+x33+…+xn3=44，求x14+x24+x34+…+xn4的值。
问题2 有a（a>0）张卡片，在它们的上面分别写上-1，0，2中的任一个数。小明将卡片上的数字平方后，求和为28;小丽将卡片上的数字立方后，求和为44。你能求出卡片上的数字四次方后是多少吗？若能，写出解答过程;若不能，说明理由。
问题3 甲、乙、丙、丁四人到文具店购买同一种笔记本和钢笔，购买的数量及总价如表1所示。若其中一人的总价算错了，则此人是（ ）。
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
问题4 学校组织了一次游戏，每位选手朝特制的靶子上各投3支飞镖，在同一圆环内得分相同。如图7所示，小宁、小君、小红的成绩分别是29分、43分和33分，则小华的成绩是（ ）。
A.31分 B.33分 C.36分 D.38分
简析：对于问题1，因为0对求和没有影响，故求和的结果只与-1、2的个数有关。因此，在x1、x2、x3…xn中，设有a个-1，b个2，则问题可转化为“已知 求a+16b的值”的等价问题。将符号表征的问题1赋以情境，则就变成了文字表征形式的问题2，同样将问题1以表格表征，就成了问题3，用图形表征即成问题4。
感悟：辨析“形异质同问题”和“形似质异问题”不能仅仅靠直觉，而要靠理性的逻辑思考和缜密的逻辑推理。要想实现这个目标，就需要教师有目的和有选择地对数学问题以不同的问题背景或者不同的结构形式来呈现。教师进行开发时，可选择题组来进行呈现，呈现的方式既可以是显性的，也可以是隐性的。开发此类问题有利于学生的辨析能力、创新思维的发展和提高。
三、思考与感悟
数学的研究对象是具有高度抽象性的数量关系和空间形式，是一种形式化的思想材料。数学“同源问题”的开发使得数学问题的表征、解决呈现多元化的态势，从而丰富了学生对数学问题的认识角度，降低了数学的抽象化与形式化程度，使他们加深了对数学问题的认知理解。
1.对“同源问题”的开发应适切于课程标准
教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程，有效的数学教学活动是学生学与教师教的统一，学生是数学学习的主体，教师是数学学习的组织者、引导者和合作者。数学“同源问题”的开发应以数学课程标准为基，以教材为本，真正做到“用教材”，而不是“教教材”。教师应围绕“具有思考梯度、广度、深度的问题”的目标来开发“同源问题”，使开发后的问题系列能够密切关联，有利于学生逐步走向数学本质。
2.对“同源问题”的开发应理解数学
理解数学是指清楚“同源问题”的产生背景、形成过程、形成方法，清楚它们的本质、结构及相互间的关系。其关键是把握“同源问题”内在的多元联系，善于区分“同源问题”蕴含的核心知识和非核心知识。只有这样，教师才能整合数学知识点为知识模块，选择合适的“同源问题”进行开发，确定恰当的开发策略。 数学中的知识点不是孤立存在的，而是有机联系的整体，只有把握好“同源问题”的开发策略，教师方能引导学生对数学知识的有效建构。
3.对“同源问题”的开发应关注学情
数学“同源问题”的开发应立足于促进学生理解数学和应用数学。“学生能否理解”以及“学生理解到什么程度”决定了教师对“同源问题”的开发程度和深度。唯如此，教师才能开发出与学生的已有经验、学习基础和思维特点相匹配的问题系列。学生是数学学习活动的主体。由于学生存在个体差异，因此教师要从学生的认知水平出发，使得开发后的“同源问题”立足于学生思维的“最近发展区”，使学生能够内化数学知识、深化数学内涵，真正做到“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”。
作者单位：江苏常熟外国语初级中学