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摘要：一些教师在实际教学中，照搬教材中静态的平面图形，教学方法单一，使学生一开始就形成“量的均分等同于形的均分”的刻板印象，没有真正理解分数的本质。对此，重构“认识分数”第一课时的教学，重点借助天平让学生感受“量”的均分，再通过“形”与“量”的变化对比让学生理解分数的本质，并且由“量”到“数”升华学生对分数意义的理解，为后续单位“1”的教学埋下伏笔。
关键词：分数问题;分数概念;图形;数量
一、教师和学生对一道分数问题的错误认识
学校组织教师互查互评作业批改情况。我检查的是一位刚工作的年轻教师。一道六年级的复习题，学生解答和教师批改的情况如图1所示。
我指着中间打了“×”那幅图，问那位年轻教师：“学生错在哪儿？”她说：“他没有平均分。”我继续问：“图中，学生不是有等分点了吗？”她找来尺和笔作图，得到图2，说道：“你看，这是5份，而且大小不一。”我追问：“怎样才算平均分？”她擦掉之前学生和她画的，重新作图，得到图3。我心想下周的学科组培训内容有了——事实上，这里只要涂色面积是平行四边形的14就行了，和形状无关，画成长方形、三角形或平行四边形都不重要。
教师出现这样的错误，那学生呢？随后，我拿着上述学生解答在六年级学生中做了调查：“这样涂色算错吗？”528名学生中有186人与年轻教师观点一致，约占35.2%。这一比例着实不低。
二、对教学内容和现状的深思
分数是从三年级就开始学习的概念，为什么刚入职的教师和六年级的学生会犯这样的错误？问题出在哪儿？得从教学内容和现状入手分析。
（一）数学历史追溯
追溯分数的起源有三种视角。从比例关系看，《周礼·考工记》记载“六分其金而锡居一”，就是锡占六分之一的意思。这是对部分与整体或两个部分之间关系的数学表示，它们之间的不同占比或配比就产生了分数。从度量意义看，《商鞅量》记载“大良造鞅，爰积十六尊（寸）五分尊（寸）壹为升”，这里的“五分”表示五等分得到分数单位五分之一，“壹”表示取其中的一个分数单位。这里的分数是用计数单位（标准）度量被测对象的结果。从整数除法看，《九章算术》中的“合分术”云：“实如法而一，不满法者，以法命之。”这里的“命之”即“命分”。整句话意为：“……如不能除尽，则定义一个分数。”
（二）教材编排解析
研读人教版和苏教版小学数学教材发现，它们都是分两个阶段安排分数概念教学的。第一个阶段，从“比例关系”视角出发，通过平均分产生部分和整体的量的对比，让学生初步感知和体会分数。第二个阶段，延续“比例关系”视角，引出单位“1”，定义分数和分数单位概念;并且从“整数除法”视角出发，使得分数与除法建立联系，拓展分数的内涵。这样的编排既遵循知识的逻辑体系，又尊重学生的认知规律。
在素材选取上，两个版本的教材也有相似之处。如第一个阶段的第一课时，人教版例题选取的是“分月饼”情境，苏教版例题选取的是“分蛋糕”情境;习题也大致相同，多以长方形、圆等几何图形为背景。可见在第一个阶段，教材都是通过“形”的均分来刻画“量”的均分的。究其原因，教材是静态的、平面的，引导学生通过视觉感受量的均分更为方便。
（三）教学现状扫描
第一个阶段的分数概念教学至关重要，尤其是第一课时，它是学生已有数概念的一次扩展，同时为后续进一步学习分数奠定基础。无论追溯数学的历史，还是解析教材的编写，第一个阶段第一课时的教学都应该从“比例关系”出发，引入“量的均分”。
但是，一些刚入职的年轻教师对知识理解不深刻，对学情把握不准确，对分数的意义和分数的教学缺乏正确认识。同时，由于长期存在“教教材”的错误倾向，一些教师在实际教学中，照搬教材中静态的平面图形，教学方法单一，使学生一开始就形成“量的均分等同于形的均分”的刻板印象，没有真正理解分数的本质。后期的教学又没能将分数由比例关系提升到除法意义，使部分学生到了六年级还停留在“形”的水平。
三、对教学过程的重构
基于以上分析，我对《认识分数》第一课时的教学进行了重构。
（一）借助天平感受“量”的均分，激发创造分数的动机
1.感受“量”的均分。
师（课件出示动画情境）大雄和小叮当分年糕，怎么分才公平？还剩下一块，该怎么分呢？
（教师给出实验材料，用橡皮泥代替年糕。学生小组合作操作天平，将剩下的“年糕”分成相等的两部分，然后展示交流。）
师如果把其中一个压扁了，数量有无变化？
（学生小组合作，借助天平验证“年糕”的“形”变了，但“量”不变。）
师每人分到的数量一样多，在数学上叫作平均分。
2.激发创造分数的动机。
师现在每人分到了多少个？
生半个。
师数学是研究数量的学科，既然一个可以用“1”来表示，那么半个可以创造什么数来表示呢？
（学生在纸上画画写写，尝试创造“新数”。）
[设计意图：借助天平称重，将橡皮泥变形，让学生初步感受平均分的实质：分的是“量”，而不是“形”。半个用什么数表示？当整数不适用时，便引发学生的认知冲突，产生创造分数的动机。]
（二）优化形式，赋予意义，经历分数产生的过程
1.优化分数形式。
师（展示学生创造的分数：、、，0.5，12）这些形式好在哪里，缺点又是什么？
生几位同学把“1”“一”“个”写一半，我觉得挺有意思的，但是不容易把握，一不小心就写错了，而且有时候看不懂，容易让人误解。
生我在超市见过0.5元，它是1元的一半。
生（指着12）这个数读作二分之一，也表示一半，是我爸告訴我的。 生我觉得12最好，即使你没学过数学，也能一眼看出它表示半个，因为上面的1是下面的2的一半。
师同学们写的这些数都有一定的价值，讲得也非常好。尤其是最后一个，正是我们今天要研究的数——分数。
2.赋予分数意义。
师这个数与以往学过的数有什么不同？
生以前的数都是左右写的，这个是上下写的，而且中间还有一条线。
生中间的线叫分数线，上面的数叫分子，下面的叫分母。
师猜一猜：数学家为什么用2和1组成这个数？
生因为把一个年糕分成2份，表示其中的1份。
生应该说全了，是平均分。
生把一个年糕平均分成2份，其中的1份就是它的12。
师这一份是整个年糕的12，那么另一份呢？
生也是整个年糕的12。
师如果我把这一份搓成其他形状，它还是整个年糕的12吗？
生是的。
师形状变了，为什么还是12呢？
生尽管形状变了，但是它的数量没有变，所以它仍然是整个年糕的12。
师（课件演示）现在把这个年糕平均分成3份，那么1份是它的几分之一？
生13。
……
师把一个年糕平均分成几份，其中的一份就是它的几分之一。
[设计意图：尽管部分学生通过各种途径已经知道分数，但是分数为什么这样写、它的本质意义是什么，学生并不清楚。任何符号都是形式和意义的统一体，分数的形式反映了其意义。通过分数形式的再创造，不仅能激发学生的创新意识，培养创造能力，而且自然地過渡到分数意义的理解。通过年糕的变形，让学生初步感知分数反映的是“量”之间的关系，“形”是非本质属性。]
（三）“形”与“量”变化对比，理解分数的本质
1.“做”分数。
师任选两张白纸，折一折，涂一涂，说一说你创造了几分之一。
……
2.“比”分数。
师（出示图4）这是两个相同的长方形，但是涂色部分形状不同，为什么都能表示14呢？
生因为它们都是把长方形平均分成4份，涂了其中的1份。
师这两个形状不同的涂色部分大小一样吗？
生一样大，因为它们都是长方形的14。
师（课件演示，如图5）现在把图形放大，这1份能还表示14吗？
生能。
师这1份不是变大了吗？
生虽然这1份变大了，但整个图形也一起放大了，仍然是平均分成4份，涂了其中的1份。
师（出示图6）这几个图形形状、大小都不一样，为什么涂色部分都能表示14呢？
生因为它们都是把图形平均分成4份，涂了其中的1份。
师（出示图7）这两个涂色部分一样大，为什么一个表示14，另一个表示16呢？
生因为两张长方形纸大小不同，平均分的份数也不同。
师如果两张纸大小相同呢？分数表示变吗？
生不变。
师所以，分数表示是由什么决定的？
生平均分的份数。
[设计意图：分数反映的是比例关系，这是学生认识上的一次飞跃。这一环节在“形”和“量”的不断变化中，引导学生聚焦“量”与“量”之间的比例关系，避开“形”的误导，初步感知分数的本质意义。]
（四）由“量”到“数”，升华意义的理解
师（出示一个被平均分成8份的长方形）看到这个图形，你能想到几分之一？
生18。长方形被平均分成了8份，1份就是18。
师（课件演示，如图8）现在这8个小长方形变成了8个玩具，你还能想到18吗？
生能。
师可是，这8个玩具大小、形状都不同呀？
生可以把它们看作一样的。
生它们都是同一个系列的玩具。
生可以只看数量，因为是8个，所以是18。
师咱班有多少位同学？你又能想到几分之一？
生45，145。
[设计意图：避开了“形”的误导，学生还会对“量”产生思维定式。进一步变式，将“形”和“量”抽象成物体个数，确认本质属性，摒弃非本质属性，以升华学生对分数意义的理解，同时让学生体会到“数学是人们对客观世界的定性把握和定量刻画”。此外，从一个图形的平均分变为一些玩具的平均分，已经自然地过渡到第二个阶段的内容，为学生理解单位“1”埋下了伏笔。]
参考文献：
[1] 滕艳辉.以“无名”命“微数”——论中国十进制小数的起源与发展[J].辽宁师范大学学报（自然科学版），2010（3）.
关键词：分数问题;分数概念;图形;数量
一、教师和学生对一道分数问题的错误认识
学校组织教师互查互评作业批改情况。我检查的是一位刚工作的年轻教师。一道六年级的复习题，学生解答和教师批改的情况如图1所示。
我指着中间打了“×”那幅图，问那位年轻教师：“学生错在哪儿？”她说：“他没有平均分。”我继续问：“图中，学生不是有等分点了吗？”她找来尺和笔作图，得到图2，说道：“你看，这是5份，而且大小不一。”我追问：“怎样才算平均分？”她擦掉之前学生和她画的，重新作图，得到图3。我心想下周的学科组培训内容有了——事实上，这里只要涂色面积是平行四边形的14就行了，和形状无关，画成长方形、三角形或平行四边形都不重要。
教师出现这样的错误，那学生呢？随后，我拿着上述学生解答在六年级学生中做了调查：“这样涂色算错吗？”528名学生中有186人与年轻教师观点一致，约占35.2%。这一比例着实不低。
二、对教学内容和现状的深思
分数是从三年级就开始学习的概念，为什么刚入职的教师和六年级的学生会犯这样的错误？问题出在哪儿？得从教学内容和现状入手分析。
（一）数学历史追溯
追溯分数的起源有三种视角。从比例关系看，《周礼·考工记》记载“六分其金而锡居一”，就是锡占六分之一的意思。这是对部分与整体或两个部分之间关系的数学表示，它们之间的不同占比或配比就产生了分数。从度量意义看，《商鞅量》记载“大良造鞅，爰积十六尊（寸）五分尊（寸）壹为升”，这里的“五分”表示五等分得到分数单位五分之一，“壹”表示取其中的一个分数单位。这里的分数是用计数单位（标准）度量被测对象的结果。从整数除法看，《九章算术》中的“合分术”云：“实如法而一，不满法者，以法命之。”这里的“命之”即“命分”。整句话意为：“……如不能除尽，则定义一个分数。”
（二）教材编排解析
研读人教版和苏教版小学数学教材发现，它们都是分两个阶段安排分数概念教学的。第一个阶段，从“比例关系”视角出发，通过平均分产生部分和整体的量的对比，让学生初步感知和体会分数。第二个阶段，延续“比例关系”视角，引出单位“1”，定义分数和分数单位概念;并且从“整数除法”视角出发，使得分数与除法建立联系，拓展分数的内涵。这样的编排既遵循知识的逻辑体系，又尊重学生的认知规律。
在素材选取上，两个版本的教材也有相似之处。如第一个阶段的第一课时，人教版例题选取的是“分月饼”情境，苏教版例题选取的是“分蛋糕”情境;习题也大致相同，多以长方形、圆等几何图形为背景。可见在第一个阶段，教材都是通过“形”的均分来刻画“量”的均分的。究其原因，教材是静态的、平面的，引导学生通过视觉感受量的均分更为方便。
（三）教学现状扫描
第一个阶段的分数概念教学至关重要，尤其是第一课时，它是学生已有数概念的一次扩展，同时为后续进一步学习分数奠定基础。无论追溯数学的历史，还是解析教材的编写，第一个阶段第一课时的教学都应该从“比例关系”出发，引入“量的均分”。
但是，一些刚入职的年轻教师对知识理解不深刻，对学情把握不准确，对分数的意义和分数的教学缺乏正确认识。同时，由于长期存在“教教材”的错误倾向，一些教师在实际教学中，照搬教材中静态的平面图形，教学方法单一，使学生一开始就形成“量的均分等同于形的均分”的刻板印象，没有真正理解分数的本质。后期的教学又没能将分数由比例关系提升到除法意义，使部分学生到了六年级还停留在“形”的水平。
三、对教学过程的重构
基于以上分析，我对《认识分数》第一课时的教学进行了重构。
（一）借助天平感受“量”的均分，激发创造分数的动机
1.感受“量”的均分。
师（课件出示动画情境）大雄和小叮当分年糕，怎么分才公平？还剩下一块，该怎么分呢？
（教师给出实验材料，用橡皮泥代替年糕。学生小组合作操作天平，将剩下的“年糕”分成相等的两部分，然后展示交流。）
师如果把其中一个压扁了，数量有无变化？
（学生小组合作，借助天平验证“年糕”的“形”变了，但“量”不变。）
师每人分到的数量一样多，在数学上叫作平均分。
2.激发创造分数的动机。
师现在每人分到了多少个？
生半个。
师数学是研究数量的学科，既然一个可以用“1”来表示，那么半个可以创造什么数来表示呢？
（学生在纸上画画写写，尝试创造“新数”。）
[设计意图：借助天平称重，将橡皮泥变形，让学生初步感受平均分的实质：分的是“量”，而不是“形”。半个用什么数表示？当整数不适用时，便引发学生的认知冲突，产生创造分数的动机。]
（二）优化形式，赋予意义，经历分数产生的过程
1.优化分数形式。
师（展示学生创造的分数：、、，0.5，12）这些形式好在哪里，缺点又是什么？
生几位同学把“1”“一”“个”写一半，我觉得挺有意思的，但是不容易把握，一不小心就写错了，而且有时候看不懂，容易让人误解。
生我在超市见过0.5元，它是1元的一半。
生（指着12）这个数读作二分之一，也表示一半，是我爸告訴我的。 生我觉得12最好，即使你没学过数学，也能一眼看出它表示半个，因为上面的1是下面的2的一半。
师同学们写的这些数都有一定的价值，讲得也非常好。尤其是最后一个，正是我们今天要研究的数——分数。
2.赋予分数意义。
师这个数与以往学过的数有什么不同？
生以前的数都是左右写的，这个是上下写的，而且中间还有一条线。
生中间的线叫分数线，上面的数叫分子，下面的叫分母。
师猜一猜：数学家为什么用2和1组成这个数？
生因为把一个年糕分成2份，表示其中的1份。
生应该说全了，是平均分。
生把一个年糕平均分成2份，其中的1份就是它的12。
师这一份是整个年糕的12，那么另一份呢？
生也是整个年糕的12。
师如果我把这一份搓成其他形状，它还是整个年糕的12吗？
生是的。
师形状变了，为什么还是12呢？
生尽管形状变了，但是它的数量没有变，所以它仍然是整个年糕的12。
师（课件演示）现在把这个年糕平均分成3份，那么1份是它的几分之一？
生13。
……
师把一个年糕平均分成几份，其中的一份就是它的几分之一。
[设计意图：尽管部分学生通过各种途径已经知道分数，但是分数为什么这样写、它的本质意义是什么，学生并不清楚。任何符号都是形式和意义的统一体，分数的形式反映了其意义。通过分数形式的再创造，不仅能激发学生的创新意识，培养创造能力，而且自然地過渡到分数意义的理解。通过年糕的变形，让学生初步感知分数反映的是“量”之间的关系，“形”是非本质属性。]
（三）“形”与“量”变化对比，理解分数的本质
1.“做”分数。
师任选两张白纸，折一折，涂一涂，说一说你创造了几分之一。
……
2.“比”分数。
师（出示图4）这是两个相同的长方形，但是涂色部分形状不同，为什么都能表示14呢？
生因为它们都是把长方形平均分成4份，涂了其中的1份。
师这两个形状不同的涂色部分大小一样吗？
生一样大，因为它们都是长方形的14。
师（课件演示，如图5）现在把图形放大，这1份能还表示14吗？
生能。
师这1份不是变大了吗？
生虽然这1份变大了，但整个图形也一起放大了，仍然是平均分成4份，涂了其中的1份。
师（出示图6）这几个图形形状、大小都不一样，为什么涂色部分都能表示14呢？
生因为它们都是把图形平均分成4份，涂了其中的1份。
师（出示图7）这两个涂色部分一样大，为什么一个表示14，另一个表示16呢？
生因为两张长方形纸大小不同，平均分的份数也不同。
师如果两张纸大小相同呢？分数表示变吗？
生不变。
师所以，分数表示是由什么决定的？
生平均分的份数。
[设计意图：分数反映的是比例关系，这是学生认识上的一次飞跃。这一环节在“形”和“量”的不断变化中，引导学生聚焦“量”与“量”之间的比例关系，避开“形”的误导，初步感知分数的本质意义。]
（四）由“量”到“数”，升华意义的理解
师（出示一个被平均分成8份的长方形）看到这个图形，你能想到几分之一？
生18。长方形被平均分成了8份，1份就是18。
师（课件演示，如图8）现在这8个小长方形变成了8个玩具，你还能想到18吗？
生能。
师可是，这8个玩具大小、形状都不同呀？
生可以把它们看作一样的。
生它们都是同一个系列的玩具。
生可以只看数量，因为是8个，所以是18。
师咱班有多少位同学？你又能想到几分之一？
生45，145。
[设计意图：避开了“形”的误导，学生还会对“量”产生思维定式。进一步变式，将“形”和“量”抽象成物体个数，确认本质属性，摒弃非本质属性，以升华学生对分数意义的理解，同时让学生体会到“数学是人们对客观世界的定性把握和定量刻画”。此外，从一个图形的平均分变为一些玩具的平均分，已经自然地过渡到第二个阶段的内容，为学生理解单位“1”埋下了伏笔。]
参考文献：
[1] 滕艳辉.以“无名”命“微数”——论中国十进制小数的起源与发展[J].辽宁师范大学学报（自然科学版），2010（3）.