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在解题过程中,对于点的存在性可以经过作图直观地获得,对于图形的相关性,通过知识的联想,可知它们的数学模型存在某种关系,而对于具体数据,则通过计算来解决。以下例题,就是从这几个方面着手解决的。
例:已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-2,0),且与直线y=-x+8交于B、C两点,点B在x轴上,点C在y轴上。
(1)求此二次函数的解析式,并画出大致图象。
(2)在这条曲线上是否存在一点P(或Q),使得以P(或Q)为圆心的圆恰好与直线BC相切于C(或B)。
(3)如果(2)中的点P(或Q)存在 ,请求出各自的坐标,并判断⊙P与⊙Q的位置关系,同时求出公切线的长度。
解:(1)由一次函数y=-x+8可得在x轴上的坐标点B(8,0),在y轴上的坐标点C(0,8),又A(-2,0)在曲线上,将A、B、C三点坐标代入y=ax2+bx+c中,得解析式为 :
y= x2+3x+b ,图象如下:
(2)过C作CP⊥CB交曲线于P,过B作BQ⊥BC交曲线于Q,可见P(或Q)存在,(因为以P为圆心,则PC为半径,⊙P切于C,即PC⊥CB于C,C为垂点;QB也同理)。
(3)A:求P、Q坐标,点P的坐标由直线PC与曲线联立解之确定,故先求出PC的解析式,因C在PC上,故只需知道斜率即可。又因PC⊥BC,所以它们斜率的积等于-1。由于BC的斜率为-1,则PC的斜率为1,代入直线的点斜式,得yPC=x-8 .
同理可求得yQB=x-8
联立和
分别解得点P的坐标为P(4,12),点Q的坐标为Q(-4,-12)
B:判断两圆位置关系:
由P、C坐标得rP=,由Q、B坐标得,又由P、Q坐标得圆心距
所以即圆心距大于两圆半径之和,从而可知⊙P与⊙Q相外离。
C:两圆有两内公切线和两外公切线,而内公切线长就是线段BC的长度,即BC= ,设外公切线切两圆于M、N,则
(作者联通:445704湖北省来凤县高洞中学)
例:已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-2,0),且与直线y=-x+8交于B、C两点,点B在x轴上,点C在y轴上。
(1)求此二次函数的解析式,并画出大致图象。
(2)在这条曲线上是否存在一点P(或Q),使得以P(或Q)为圆心的圆恰好与直线BC相切于C(或B)。
(3)如果(2)中的点P(或Q)存在 ,请求出各自的坐标,并判断⊙P与⊙Q的位置关系,同时求出公切线的长度。
解:(1)由一次函数y=-x+8可得在x轴上的坐标点B(8,0),在y轴上的坐标点C(0,8),又A(-2,0)在曲线上,将A、B、C三点坐标代入y=ax2+bx+c中,得解析式为 :
y= x2+3x+b ,图象如下:
(2)过C作CP⊥CB交曲线于P,过B作BQ⊥BC交曲线于Q,可见P(或Q)存在,(因为以P为圆心,则PC为半径,⊙P切于C,即PC⊥CB于C,C为垂点;QB也同理)。
(3)A:求P、Q坐标,点P的坐标由直线PC与曲线联立解之确定,故先求出PC的解析式,因C在PC上,故只需知道斜率即可。又因PC⊥BC,所以它们斜率的积等于-1。由于BC的斜率为-1,则PC的斜率为1,代入直线的点斜式,得yPC=x-8 .
同理可求得yQB=x-8
联立和
分别解得点P的坐标为P(4,12),点Q的坐标为Q(-4,-12)
B:判断两圆位置关系:
由P、C坐标得rP=,由Q、B坐标得,又由P、Q坐标得圆心距
所以即圆心距大于两圆半径之和,从而可知⊙P与⊙Q相外离。
C:两圆有两内公切线和两外公切线,而内公切线长就是线段BC的长度,即BC= ,设外公切线切两圆于M、N,则
(作者联通:445704湖北省来凤县高洞中学)