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【摘 要】元认知开发是元数学意识的自然启蒙，是提升小学生数学自我效能感的有效策略。从元数学、元认知与自我效能感优化策略的内在关系出发，优化学生数学学习自我效能感的手段、途径和方法，可以有效地促进学生数学学习质量的提升和数学学习素养的优化。
【关键词】元数学 元认知 自我效能感 学习策略
元数学是一种将数学作为人类意识和文化客体的科学思维或知识。更进一步来说，元数学是一种用来研究数学和数学哲学的数学，是“数学的数学”。元数学的提出是为了解决数学的矛盾性。事实上，新世纪计算机科学、互联网的迅猛发展一直不停地重复和验证着元数学的思想。在计算机的硬件设计、人工智能、程序设计等方面，都能看到元数学的“身影”。美国心理学家弗拉维尔指出，元认知的核心意义是“对认知的认知”。从这一角度分析，学生的数学学习活动不仅是对所学数学知识进行识别、加工和理解的认知过程，还是对该过程进行计划、监控、调节的元认知过程。元认知策略大致可分三种——计划策略、监控策略和调节策略，开发元认知是元数学思想启蒙的重要基础。从某种意义上来说，元认知是一种数学内的再认知，元数学是一种数学外的再认知。因此，可以说，元认知是元数学的认知基础，元数学是元认知的数学哲学。
美国著名心理学家班杜拉的“自我效能感理论”在认知方面认为，人类的行为不仅受行为结果的影响，而且受认知形成过程中对自我行为能力与行为结果期望的影响。影响自我效能感的信息来源主要有情绪唤醒、行为成就、替代经验、言语劝说等。这样的认知特点，其实就是一种对原有认知过程的再调节、再认知，也就是说元认知水平有高低之别，元数学思想就是在这种有极高的自我效能感的元认知水平中自然滋养而形成的。
我们有意识地借鉴元数学和元认知的理论，积极思考，尝试探索，结合近年来研究团队的教学实践和探索，来分析和说明教师应如何帮助学生开发数学元认知，启蒙元数学思想意识，优化提升学生数学学习自我效能感的有效策略，教会学生学会学习，最终会学。
一、开发元认知计划策略，优化情绪唤醒，提升数学学习自我认知感
数学学习元认知的计划策略包括设置学习目标、浏览阅读材料、产生待回答的问题以及分析如何完成学习任务。从学习信息加工论的视角看，要使学习得以发生，必须激发起学习者的学习动机，要促进学习者的学习就要使其具有一种达到某种目标的动力。情绪唤醒是一种学习动力源，小学生在充满紧张危险的情境中，情绪易于被唤起，而高度的情绪唤起和紧张的生理状态会妨碍其行为操作，降低其成就水平，从而导致个体的自我效能感降低。鉴于积极情绪与消极情绪的不同社会心理功能，在小学数学教学中，只有激发起学生的积极情绪，他们想要达成的目标才会与自己的学习行为联系起来，才会在一项认知活动之前计划各种活动、预计结果、选择策略、想象出各种解决问题的方法并预估其有效性。
1.将学生置于角色圈。
回顾我们的日常教学细节：查未交作业、准备教具、订正错误、反复补差……学生数学学习中的每件事情都理所当然地在教师的监督下完成，导致教师身心疲惫，学生兴趣索然，这是我们数学教与学活动中的“常态”，当然需要改变。例如：我们跨区域研究团队成员尝试成立了以“七斗星数学之星俱乐部”为载体的数学学习自主管理体系，俱乐部设收发部、方法部、资源部、新闻部、后勤部、安全部、基金部等“机构”，大家各有角色，各司其职，旨在让所有学生在参与数学学习的过程中进行自我管理，使他们得到“自主心理”需求的愉悦感和成就感，提高其数学学习的自我效能感。
2.将学生引入竞争圈。
日常教学中，我们经常将班级学生按差、中、好分成三组，并惯以A、B、C组命名，以有效地实施分层教学。但如果借鉴“情绪唤醒状态”信息源理论，只要将A、B、C组名称改成“海军”“陆军”“空军”，并让学生参与释义：在数学学习中，A组学生以学好基础知识为主，就像在海上作战的“海军”；B组学生的主要任务是在学习基础知识的基础上学习适当拓展的知识，是承上启下的一组，就像在陆地上作战的“陆军”；C组是已经扎实掌握了基础知识还有能力掌握拓展题的学生，就像已经突破云层到天上去作战的“空军”。而在这三军中按照综合评定分为元帅、将、校、尉、士、兵六级，一个小小的创意令学生立刻感到好玩起来，再创设系列与其名称相对应的“战斗”情境，学生定会进入妙趣横生、斗志昂扬的境界。
3.让学生卷入共生圈。
七斗星是数学俱乐部的标志物，七星的寓意分别为健康、善良、诚实、自信、创新、正直和好学，代表着培养全面和谐发展的人的数学教育理想。研究团队的韦老师将本班48个学生分成了8个学习团队，团员和队长通过双向选择组成，8个团队的共同愿景是：争摘七斗星。操作中采用团队捆绑的形式来对整组学生实施评价和奖励。将学生卷入团队竞争的“共生圈”，用团队的力量激励、鼓舞人气，引发学生高涨的团队竞争情绪体验。
二、开发元认知监控策略，优化行为成就，提升数学学习自我成功感
数学学习元认知的监控策略是指在认知过程中，根据认知目标及时检查、评价认知活动。如检查学习内容是否被领会、知识的预备度或熟练度是否不足、策略的选择是否有效、目标设定是否过高或过低等，把偏差找出来，有监控然后才有调节。从某种意义上来说，这种数学方法与思想凝练就是元认知与元数学的内外链接点、融通点，因此，这方面的自我效能感的策略优化极有价值。
学生在数学学习的认知活动中，成功的行为成就感能促使主体修正原有目标，重新调整学习策略。即使遇到思考不清楚的问题时也能有勇气、有自信心地想方设法去克服困难。常常处于消极体验的学生，其表现则相反。因而，教师要尽可能地让不同的学生获得成功的体验，锻炼他们克服困难的意志，使他们建立自信心。亲身获得的行为成就是以真实的经验为基础的，是最有影响力的自我效能感。
1.棋逢对手增自信。 数学教师要不断创设有利于学生获得成功的机会，建立在同一层次的竞争最能激发学生的自信心，从而不断地创造“最近发展区”，并把“最近发展区”转化为新的现有发展区，这是有效教学的心理学机制。“海陆空”军团中，规定每位学生只与“本营”的学生比，每月本营内获得相同军衔称号的学生则结成更小范围的竞争对手，这样全班分成的竞赛组成员都是棋逢对手，更有机会体验成功的快乐。对于反应慢、理解力差而得低分的学生，教师允许他申请第二次或第三次考试，几次考试的平均分作为他的测试成绩，让其在享受努力后取得成功的快乐体验中提升数学学习效能感。
2.提供策略下准药。
数学本身就是一门以理解、思维、方法为学习策略的学科，扫清学生数学学习上的障碍，是让学生体验成功的前提。近年来，笔者着力建构了以“以问导学，先学后教，以学定教，问题解决”为理念的课堂教学策略，也可以说是在现有的班级授课制模式下，一种让差异成为资源、提高学生的数学学习自我效能感的尝试。建立了“问学·自成”四六环节教学模块：启问导标，自学调控，内化反馈，总结反思，问题解决，限时作业。
以上学习流程就是抓“两头”促“中间”。“两头”的一头指“以问导学”，另一头指“达标自成”，“中间”指教师要关注调控和反思学生的学习状态和结论生成的全过程。让学生以此为“导航仪”自学新知、自主解决问题，教师利用学生“自问”的信息，找准学生真实的学习起点。新知学完后，再跟踪落实学生预习中前置的问题，对预设的目标进行回归性的检测。其间，教师可以在每个学习团队内进行“团内对对助”，充分发挥“兵教兵”的作用，追根溯源，为学困生提供学习援助，让学生“知其然”又“知其所以然”，提高学生的数学学习质量和效能感。
3.正确归因越自我。
成功的经验对效能期望的影响还受个体归因方式的左右。研究发现，如果把成功归因为内在的或者可控的原因，例如努力或者能力，自我效能感将得到增强，但是如果把成功归因为运气或者其他不可控原因，自我效能感将得不到增强。教学反馈中，教师要有意识地引导学生正确归因，切忌学生把数学成绩的退步归因为运气不好或脑子笨等不可控的因素。在“海陆空”军衔评定中，总积分均由学生的数学作业、游戏竞赛、单元考试、上课发言、数学日记等过程性的项目综合而成，就是为了把成功的关注点放在整个数学学习过程中都非常努力、不断超越自我的学生身上。
三、开发元认知调节策略，优化替代载体，提升数学学习自我反思感
数学学习活动的元认知调节策略是在学习过程中，根据监控的结果找出认知偏差，及时调整策略或修正目标；在学习活动结束时，评价认知结果，采取相应的补救措施，修正错误，总结经验教训。数学反思是伴随整个数学学习过程的定向、监控、分析和解决问题的活动。研究表明，缺乏事实基础的言语劝告对形成自我效能感效果不大，在直接经验或替代经验的基础上进行劝说、鼓励效果最大。数学日记、团队互助、经验分享等都是某种数学的替代言语载体，是提升学生自我反思感的有效载体活动。
1.让数学日记成为共享的纽带。
心理学家罗杰斯说过：“成功的教学依赖于一种真诚的尊重和信任的师生关系。”师生间的数学日记交流，是建立这种和谐的师生关系、强化“言语劝说信息源”的有效途径。在交流中，教师可以走进学生的心灵，了解学生的心理困惑、个性差异、情感意愿等。还可以根据学生反映出来的问题，及时调整自己的教学内容、改进教学方法，使课堂教学更贴近学生的认知，提高学生数学学习的自我效能感。数学日记对学生来说是用“自我规劝”的方式来强化“言语劝说信息源”的过程。写数学日记可以帮助学生形成对所学知识、学习行为、学习态度的反思，发现自我的优劣，重新认识自我、定位自我。
2.让团队互助成为共享的平台。
榜样只有贴近学生本人实际，才能可学可追，提高其战胜目标的努力度与持久性。树立多角度、多层次的仿效榜样是强化“替代经验信息源”、激励全体学生创先争优的热情的有效措施，如荣誉类的有“三军名将”“进步之星”“助学之星”等，技能类的有“图形之星”“口算大王”“一题多解擂主”。我们应充分发挥活动载体产生的“共生效应”，帮助学生建立互帮互助、荣辱与共的学习“共生圈”，每个共生圈内都有被全体团员认同的名称、团规、愿景、口号和解决问题的机制。组内成员通过在数学学习上相互间的支持、评价、劝说、勉励促进自己数学学习自我效能感的提高。
3.让经验分享成为反思的借鉴。
心理学家皮亚杰认为：学习者获取知识，主要不是通过教师传授得到的，而是学习者在一定的社会文化背景和情境下，利用必要的学习资源，通过与他人（教师和学习伙伴）的协商、交流、合作和本人的意义建构方式获得。数学俱乐部方法部的学生，定期汇集大家数学学习过程中的巧思妙解、典型错题，在数学网站和数学小报中推出，为大家提供成败的经验。
综上所述，在数学教学中引导学生认知、监控和调节自己的数学学习，使他们善于调整、优化数学学习策略，提升自我效能感，努力启蒙学生的元数学意识，开发他们的元认知水平，更加顺乎学生的天性和数学教育之道。
【参考文献】
[1]施良方，崔允漷.教学理论：课堂教学的原理、策略与研究[M].上海：华东师范大学出版社，2009.
[2]郑毓信，梁贯成.认知科学建构主义与数学教育：数学学习心理学的现代研究[M].上海：上海教育出版社，2002.
[3]]董奇.元认知与思维品质关系性质的相关实验研究[J]北京师范大学学报，1990（5）：51-58.
注：本文获2013年江苏省“教海探航”征文一等奖
（作者单位：南京大学附属丁家桥小学）
【关键词】元数学 元认知 自我效能感 学习策略
元数学是一种将数学作为人类意识和文化客体的科学思维或知识。更进一步来说，元数学是一种用来研究数学和数学哲学的数学，是“数学的数学”。元数学的提出是为了解决数学的矛盾性。事实上，新世纪计算机科学、互联网的迅猛发展一直不停地重复和验证着元数学的思想。在计算机的硬件设计、人工智能、程序设计等方面，都能看到元数学的“身影”。美国心理学家弗拉维尔指出，元认知的核心意义是“对认知的认知”。从这一角度分析，学生的数学学习活动不仅是对所学数学知识进行识别、加工和理解的认知过程，还是对该过程进行计划、监控、调节的元认知过程。元认知策略大致可分三种——计划策略、监控策略和调节策略，开发元认知是元数学思想启蒙的重要基础。从某种意义上来说，元认知是一种数学内的再认知，元数学是一种数学外的再认知。因此，可以说，元认知是元数学的认知基础，元数学是元认知的数学哲学。
美国著名心理学家班杜拉的“自我效能感理论”在认知方面认为，人类的行为不仅受行为结果的影响，而且受认知形成过程中对自我行为能力与行为结果期望的影响。影响自我效能感的信息来源主要有情绪唤醒、行为成就、替代经验、言语劝说等。这样的认知特点，其实就是一种对原有认知过程的再调节、再认知，也就是说元认知水平有高低之别，元数学思想就是在这种有极高的自我效能感的元认知水平中自然滋养而形成的。
我们有意识地借鉴元数学和元认知的理论，积极思考，尝试探索，结合近年来研究团队的教学实践和探索，来分析和说明教师应如何帮助学生开发数学元认知，启蒙元数学思想意识，优化提升学生数学学习自我效能感的有效策略，教会学生学会学习，最终会学。
一、开发元认知计划策略，优化情绪唤醒，提升数学学习自我认知感
数学学习元认知的计划策略包括设置学习目标、浏览阅读材料、产生待回答的问题以及分析如何完成学习任务。从学习信息加工论的视角看，要使学习得以发生，必须激发起学习者的学习动机，要促进学习者的学习就要使其具有一种达到某种目标的动力。情绪唤醒是一种学习动力源，小学生在充满紧张危险的情境中，情绪易于被唤起，而高度的情绪唤起和紧张的生理状态会妨碍其行为操作，降低其成就水平，从而导致个体的自我效能感降低。鉴于积极情绪与消极情绪的不同社会心理功能，在小学数学教学中，只有激发起学生的积极情绪，他们想要达成的目标才会与自己的学习行为联系起来，才会在一项认知活动之前计划各种活动、预计结果、选择策略、想象出各种解决问题的方法并预估其有效性。
1.将学生置于角色圈。
回顾我们的日常教学细节：查未交作业、准备教具、订正错误、反复补差……学生数学学习中的每件事情都理所当然地在教师的监督下完成，导致教师身心疲惫，学生兴趣索然，这是我们数学教与学活动中的“常态”，当然需要改变。例如：我们跨区域研究团队成员尝试成立了以“七斗星数学之星俱乐部”为载体的数学学习自主管理体系，俱乐部设收发部、方法部、资源部、新闻部、后勤部、安全部、基金部等“机构”，大家各有角色，各司其职，旨在让所有学生在参与数学学习的过程中进行自我管理，使他们得到“自主心理”需求的愉悦感和成就感，提高其数学学习的自我效能感。
2.将学生引入竞争圈。
日常教学中，我们经常将班级学生按差、中、好分成三组，并惯以A、B、C组命名，以有效地实施分层教学。但如果借鉴“情绪唤醒状态”信息源理论，只要将A、B、C组名称改成“海军”“陆军”“空军”，并让学生参与释义：在数学学习中，A组学生以学好基础知识为主，就像在海上作战的“海军”；B组学生的主要任务是在学习基础知识的基础上学习适当拓展的知识，是承上启下的一组，就像在陆地上作战的“陆军”；C组是已经扎实掌握了基础知识还有能力掌握拓展题的学生，就像已经突破云层到天上去作战的“空军”。而在这三军中按照综合评定分为元帅、将、校、尉、士、兵六级，一个小小的创意令学生立刻感到好玩起来，再创设系列与其名称相对应的“战斗”情境，学生定会进入妙趣横生、斗志昂扬的境界。
3.让学生卷入共生圈。
七斗星是数学俱乐部的标志物，七星的寓意分别为健康、善良、诚实、自信、创新、正直和好学，代表着培养全面和谐发展的人的数学教育理想。研究团队的韦老师将本班48个学生分成了8个学习团队，团员和队长通过双向选择组成，8个团队的共同愿景是：争摘七斗星。操作中采用团队捆绑的形式来对整组学生实施评价和奖励。将学生卷入团队竞争的“共生圈”，用团队的力量激励、鼓舞人气，引发学生高涨的团队竞争情绪体验。
二、开发元认知监控策略，优化行为成就，提升数学学习自我成功感
数学学习元认知的监控策略是指在认知过程中，根据认知目标及时检查、评价认知活动。如检查学习内容是否被领会、知识的预备度或熟练度是否不足、策略的选择是否有效、目标设定是否过高或过低等，把偏差找出来，有监控然后才有调节。从某种意义上来说，这种数学方法与思想凝练就是元认知与元数学的内外链接点、融通点，因此，这方面的自我效能感的策略优化极有价值。
学生在数学学习的认知活动中，成功的行为成就感能促使主体修正原有目标，重新调整学习策略。即使遇到思考不清楚的问题时也能有勇气、有自信心地想方设法去克服困难。常常处于消极体验的学生，其表现则相反。因而，教师要尽可能地让不同的学生获得成功的体验，锻炼他们克服困难的意志，使他们建立自信心。亲身获得的行为成就是以真实的经验为基础的，是最有影响力的自我效能感。
1.棋逢对手增自信。 数学教师要不断创设有利于学生获得成功的机会，建立在同一层次的竞争最能激发学生的自信心，从而不断地创造“最近发展区”，并把“最近发展区”转化为新的现有发展区，这是有效教学的心理学机制。“海陆空”军团中，规定每位学生只与“本营”的学生比，每月本营内获得相同军衔称号的学生则结成更小范围的竞争对手，这样全班分成的竞赛组成员都是棋逢对手，更有机会体验成功的快乐。对于反应慢、理解力差而得低分的学生，教师允许他申请第二次或第三次考试，几次考试的平均分作为他的测试成绩，让其在享受努力后取得成功的快乐体验中提升数学学习效能感。
2.提供策略下准药。
数学本身就是一门以理解、思维、方法为学习策略的学科，扫清学生数学学习上的障碍，是让学生体验成功的前提。近年来，笔者着力建构了以“以问导学，先学后教，以学定教，问题解决”为理念的课堂教学策略，也可以说是在现有的班级授课制模式下，一种让差异成为资源、提高学生的数学学习自我效能感的尝试。建立了“问学·自成”四六环节教学模块：启问导标，自学调控，内化反馈，总结反思，问题解决，限时作业。
以上学习流程就是抓“两头”促“中间”。“两头”的一头指“以问导学”，另一头指“达标自成”，“中间”指教师要关注调控和反思学生的学习状态和结论生成的全过程。让学生以此为“导航仪”自学新知、自主解决问题，教师利用学生“自问”的信息，找准学生真实的学习起点。新知学完后，再跟踪落实学生预习中前置的问题，对预设的目标进行回归性的检测。其间，教师可以在每个学习团队内进行“团内对对助”，充分发挥“兵教兵”的作用，追根溯源，为学困生提供学习援助，让学生“知其然”又“知其所以然”，提高学生的数学学习质量和效能感。
3.正确归因越自我。
成功的经验对效能期望的影响还受个体归因方式的左右。研究发现，如果把成功归因为内在的或者可控的原因，例如努力或者能力，自我效能感将得到增强，但是如果把成功归因为运气或者其他不可控原因，自我效能感将得不到增强。教学反馈中，教师要有意识地引导学生正确归因，切忌学生把数学成绩的退步归因为运气不好或脑子笨等不可控的因素。在“海陆空”军衔评定中，总积分均由学生的数学作业、游戏竞赛、单元考试、上课发言、数学日记等过程性的项目综合而成，就是为了把成功的关注点放在整个数学学习过程中都非常努力、不断超越自我的学生身上。
三、开发元认知调节策略，优化替代载体，提升数学学习自我反思感
数学学习活动的元认知调节策略是在学习过程中，根据监控的结果找出认知偏差，及时调整策略或修正目标；在学习活动结束时，评价认知结果，采取相应的补救措施，修正错误，总结经验教训。数学反思是伴随整个数学学习过程的定向、监控、分析和解决问题的活动。研究表明，缺乏事实基础的言语劝告对形成自我效能感效果不大，在直接经验或替代经验的基础上进行劝说、鼓励效果最大。数学日记、团队互助、经验分享等都是某种数学的替代言语载体，是提升学生自我反思感的有效载体活动。
1.让数学日记成为共享的纽带。
心理学家罗杰斯说过：“成功的教学依赖于一种真诚的尊重和信任的师生关系。”师生间的数学日记交流，是建立这种和谐的师生关系、强化“言语劝说信息源”的有效途径。在交流中，教师可以走进学生的心灵，了解学生的心理困惑、个性差异、情感意愿等。还可以根据学生反映出来的问题，及时调整自己的教学内容、改进教学方法，使课堂教学更贴近学生的认知，提高学生数学学习的自我效能感。数学日记对学生来说是用“自我规劝”的方式来强化“言语劝说信息源”的过程。写数学日记可以帮助学生形成对所学知识、学习行为、学习态度的反思，发现自我的优劣，重新认识自我、定位自我。
2.让团队互助成为共享的平台。
榜样只有贴近学生本人实际，才能可学可追，提高其战胜目标的努力度与持久性。树立多角度、多层次的仿效榜样是强化“替代经验信息源”、激励全体学生创先争优的热情的有效措施，如荣誉类的有“三军名将”“进步之星”“助学之星”等，技能类的有“图形之星”“口算大王”“一题多解擂主”。我们应充分发挥活动载体产生的“共生效应”，帮助学生建立互帮互助、荣辱与共的学习“共生圈”，每个共生圈内都有被全体团员认同的名称、团规、愿景、口号和解决问题的机制。组内成员通过在数学学习上相互间的支持、评价、劝说、勉励促进自己数学学习自我效能感的提高。
3.让经验分享成为反思的借鉴。
心理学家皮亚杰认为：学习者获取知识，主要不是通过教师传授得到的，而是学习者在一定的社会文化背景和情境下，利用必要的学习资源，通过与他人（教师和学习伙伴）的协商、交流、合作和本人的意义建构方式获得。数学俱乐部方法部的学生，定期汇集大家数学学习过程中的巧思妙解、典型错题，在数学网站和数学小报中推出，为大家提供成败的经验。
综上所述，在数学教学中引导学生认知、监控和调节自己的数学学习，使他们善于调整、优化数学学习策略，提升自我效能感，努力启蒙学生的元数学意识，开发他们的元认知水平，更加顺乎学生的天性和数学教育之道。
【参考文献】
[1]施良方，崔允漷.教学理论：课堂教学的原理、策略与研究[M].上海：华东师范大学出版社，2009.
[2]郑毓信，梁贯成.认知科学建构主义与数学教育：数学学习心理学的现代研究[M].上海：上海教育出版社，2002.
[3]]董奇.元认知与思维品质关系性质的相关实验研究[J]北京师范大学学报，1990（5）：51-58.
注：本文获2013年江苏省“教海探航”征文一等奖
（作者单位：南京大学附属丁家桥小学）