平面几何中，勾股定理有很多证明方法，只要不触犯“禁止逻辑循环论证”规则，即为有效证明方法。这里是一种利用数的乘法功能与独立变量的组合数学建模思想，将“数”“形”结合起来，证明勾股定理的方法。
　　一、利用数的乘法功能
　　做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。
　　特别的，当m1=m2=m3=…=mn时。我们用字母t代替，即m1=m2=m3=…=mn=t，则N=m1+m2+m3+…+mn=t×n。
　　为了快速统计，逆用该公式，我们按一组t个进行分组，组数为n，整体统计结果N，我们可以用t×n代替评价。
　　我们如果按一组n个进行分组，组数为t，整体统计结果认为N，我们可以用n×t代替评价。
　　不难发现：t×n=n×t=N，n，t位置可以交换（我们称之谓服从交换律，地位平等）。乘法口诀本质上是建立“分组标准n，组数t”与加法结果N之间的因果关系。因此，乘法具有任意拆分后的整体量评价功能。
　　推而广之，我们忽略n，t的单位，抽象出无量纲的数的独立变量。n，t可以作为两个无量纲的数的独立变量，t×n可以评价任何事物特征的工具之一。
　　二、利用独立变量的组合数学建模思想提出合理假设
　　假设任何线段AB在垂直于某平面M（点A在平面内）的光的照射下，在其平面的M内影长|AB1|只与线段AB的长度|AB|、线段AB与平面M夹角n两个独立变量有关。设F（n）为夹角n造影能力。
　　线段AB的长度|AB|、夹角n造影能力F（n）是影响“影长|AB1|的两个独立变量”。
　　于是，可以假设影长|AB1|=|AB|×F（n）+X（X为常数）。
　　根据生活经验，AB平行于光，在其平面M内的影长|AB1|=0，F（n）=0；
　　AB垂直于光，在其平面M内的影长|AB1|=AB，F（n）=1；
　　于是有，0=|AB|×0+X，则X=0。
　　|AB1|=|AB|×F（n）。
　　三、勾股定理证明
　　直角三角形ABC中，∠C=90°，CD为斜边AB上的高。求证勾股定理：|AB|2=|BC|2+|AC|2。
　　当垂直光平行于BC边时，则有：
　　|AC|=|AB|×F（A）；①
　　当垂直光平行于AC边时，则有：
　　|BC|=|AB|×F（B）；②
　　当垂直光平行于AB边上的高CD（D为垂足）时，|AB|=|AD|+|DB|；|AB|=|AC|×F（A）+|BC|×F（B）。③
　　将①式、②式代入③式，消去F（A），F（B），则得|AB|2=|BC|2+|AC|2。
　　勾股定理证毕。