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小学学习正比例时，通过测量的方式获得“在同一时刻，同一地点，物长与影长成正比”.我们把这一事实整理为图1.图1中的物长A1C1和物长A2C2所在的直线垂直于地平线l，线段C1B1和C2B2分别为物长A1C1和物长A2C2的影长，A1B1和A2B2为物长顶端与影长末端的连线段.
1.探究图1中的Rt△A1B1C1与Rt△A2B2C2是否相似
如图1，当物长A1C1和物长A2C2所在的直线垂直于地平线l，用一组平行光线照射物长A1C1和物长A2C2时，物长与影长成正比.这时由物长、影长和物长顶端与影子末端的连线段组成两个直角三角形，它们分别是Rt△A1B1C1和Rt△A2B2C2.由A1B1∥A2B2和公共直角相等可知Rt△A1B1C1的三个角与Rt△A2B2C2的三个角对应相等.设Rt△A1B1C1的顶点A1、B1、C1在Rt△A1B1C1中所对的边分别为a1、b1、c1，Rt△A2B2C2的顶点A2、B2、C2在Rt△A2B2C2中所对的边分别为a2、b2、c2，由物长与影长成正比可得 = =k>0，知b2= k b1，a2= k a1.
由勾股定理得c1= ，c2= = =
= =k .
∴ = =k
∴ = = .
2.当物长所在的直线不垂直于地平线l时所得的三角形的与原三角形是否相似.
我们把图1绕点B2旋转到使A2B2与地平线重合再向右平移得到图2.在图2中，把Rt△A1B1C1平移到使点B1和点B2重合时得到图3，在图3中用一组平行于A2C2的光线照射物长B1C1和物长B2C2，此时，Rt△A1B1C1和Rt△A2B2C2的对应角是否相等？物长与影长是否成正比？由平移和旋转是全等变换可知Rt△A1B1C1和Rt△A2B2C2的对应角相等，物长与影长成正比.同样，在图2中，如果把Rt△A1B1C1平移到使点A1和点A2重合时得到图4，在图4中用一组平行于B2C2的光线照射物长A1C1和物长A2C2时，由平移和旋转是全等变换可知这两个三角形的对应角相等，物长与影长成正比.
如图5中，当物长A1B1和物长A2B2所在的直线不垂直于地平线l，用一平行光线照射物长A1B1和物长A2B2，由物长、影长和物长顶端与影子末端的连线段组成两个锐角三角形，它们分别是△A1B1C1和△A2B2C2.由A1C1∥A2C2和公共角相等可得这两个锐角三角形的角对应相等.过点B2作B2D2⊥A2C2，垂足为D2，交A1C1于点D1，这条垂线把图5中的△A1B1C1和△A2B2C2都分成图两部份，一部份由Rt△B1C1D1和Rt△B2C2 D2所组成，一部份由Rt△B1A1D1和Rt△B2A2D2所组成，可以看出图5被这条垂线分割开的每一部份都是图3和图4中的基本图形，从而得到 = = = = =m，C2D2=mC1D1，D2A2=mD1A1.
= = = =m= = ，即： = = ，这两个三角形的三边对应成比例. 所以Rt△A1B1C1∽Rt△A2B2C2.
如图6和图7，当物长A1B1和物长A2B2所在的直线不垂直于地平线l，用一组平行于A2C2光线照射物长A1B1和物长A2B2，由物长、影长和物长顶端与影子末端的连线段组成两个钝角三角形，它们分别是△A1B1C1和△A2B2C2.由A1C1∥A2C2和公共角相等可得这两个钝角三角形的角对应相等.过点B2作B2D2⊥A2C2，在直线A2C2上的垂足为D2，交直线C1A1于点D1，这条垂线把图6和图7分成两部份，一部份是Rt△B1C1D1和Rt△B2C2D2所组成，一部份是Rt△B1A1D1和Rt△B2A2 D2所组成，每一部份都是图3和图4中的基本图形，从而得到图7中的对应边的比为 = = = = =n，D2C2=nD1C1，D2A2=n D1A1， = = = =n= = ，即： = = ，这两个三角形的三边对应成比例。所以Rt△A1B1C1∽Rt△A2B2C2.
总结：平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线，所截得的三角形的三个角与原三角形的三个角对应相等，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例（即所截得的三角形与原三角形相似）.
3.利用平移和旋转运动可以由图8得到图9
4.整合：可以由平行进行以下两个方面的推导
第一方面：平行于三角形一边的直线截其它两边或兩边的延长线，所截得的对应线段成比例.此类比例式中的线段与平行线上的线段无关。
第二方面：平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线，所截得的三角形与原三角形相似。
1.探究图1中的Rt△A1B1C1与Rt△A2B2C2是否相似
如图1，当物长A1C1和物长A2C2所在的直线垂直于地平线l，用一组平行光线照射物长A1C1和物长A2C2时，物长与影长成正比.这时由物长、影长和物长顶端与影子末端的连线段组成两个直角三角形，它们分别是Rt△A1B1C1和Rt△A2B2C2.由A1B1∥A2B2和公共直角相等可知Rt△A1B1C1的三个角与Rt△A2B2C2的三个角对应相等.设Rt△A1B1C1的顶点A1、B1、C1在Rt△A1B1C1中所对的边分别为a1、b1、c1，Rt△A2B2C2的顶点A2、B2、C2在Rt△A2B2C2中所对的边分别为a2、b2、c2，由物长与影长成正比可得 = =k>0，知b2= k b1，a2= k a1.
由勾股定理得c1= ，c2= = =
= =k .
∴ = =k
∴ = = .
2.当物长所在的直线不垂直于地平线l时所得的三角形的与原三角形是否相似.
我们把图1绕点B2旋转到使A2B2与地平线重合再向右平移得到图2.在图2中，把Rt△A1B1C1平移到使点B1和点B2重合时得到图3，在图3中用一组平行于A2C2的光线照射物长B1C1和物长B2C2，此时，Rt△A1B1C1和Rt△A2B2C2的对应角是否相等？物长与影长是否成正比？由平移和旋转是全等变换可知Rt△A1B1C1和Rt△A2B2C2的对应角相等，物长与影长成正比.同样，在图2中，如果把Rt△A1B1C1平移到使点A1和点A2重合时得到图4，在图4中用一组平行于B2C2的光线照射物长A1C1和物长A2C2时，由平移和旋转是全等变换可知这两个三角形的对应角相等，物长与影长成正比.
如图5中，当物长A1B1和物长A2B2所在的直线不垂直于地平线l，用一平行光线照射物长A1B1和物长A2B2，由物长、影长和物长顶端与影子末端的连线段组成两个锐角三角形，它们分别是△A1B1C1和△A2B2C2.由A1C1∥A2C2和公共角相等可得这两个锐角三角形的角对应相等.过点B2作B2D2⊥A2C2，垂足为D2，交A1C1于点D1，这条垂线把图5中的△A1B1C1和△A2B2C2都分成图两部份，一部份由Rt△B1C1D1和Rt△B2C2 D2所组成，一部份由Rt△B1A1D1和Rt△B2A2D2所组成，可以看出图5被这条垂线分割开的每一部份都是图3和图4中的基本图形，从而得到 = = = = =m，C2D2=mC1D1，D2A2=mD1A1.
= = = =m= = ，即： = = ，这两个三角形的三边对应成比例. 所以Rt△A1B1C1∽Rt△A2B2C2.
如图6和图7，当物长A1B1和物长A2B2所在的直线不垂直于地平线l，用一组平行于A2C2光线照射物长A1B1和物长A2B2，由物长、影长和物长顶端与影子末端的连线段组成两个钝角三角形，它们分别是△A1B1C1和△A2B2C2.由A1C1∥A2C2和公共角相等可得这两个钝角三角形的角对应相等.过点B2作B2D2⊥A2C2，在直线A2C2上的垂足为D2，交直线C1A1于点D1，这条垂线把图6和图7分成两部份，一部份是Rt△B1C1D1和Rt△B2C2D2所组成，一部份是Rt△B1A1D1和Rt△B2A2 D2所组成，每一部份都是图3和图4中的基本图形，从而得到图7中的对应边的比为 = = = = =n，D2C2=nD1C1，D2A2=n D1A1， = = = =n= = ，即： = = ，这两个三角形的三边对应成比例。所以Rt△A1B1C1∽Rt△A2B2C2.
总结：平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线，所截得的三角形的三个角与原三角形的三个角对应相等，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例（即所截得的三角形与原三角形相似）.
3.利用平移和旋转运动可以由图8得到图9
4.整合：可以由平行进行以下两个方面的推导
第一方面：平行于三角形一边的直线截其它两边或兩边的延长线，所截得的对应线段成比例.此类比例式中的线段与平行线上的线段无关。
第二方面：平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线，所截得的三角形与原三角形相似。