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【摘要】函数的凹凸性在一定条件下，对一些数项级数的敛散性的判别有一定的优化性.
【关键词】凹（或凸）函数；数项级数；敛散性
在高等数学课程中，对函数性态的分析着重应用于对函数的性质、图像的研究.作者在教学实践中发现，在一定条件下，具有凹凸性的函数的一些特性与某些数项级数的敛散性有着一定的联系，并且对于数项级数的敛散性的判别有着比较优化的方法，本文就［a,+∞)上具有凹凸性的函数在数项级数中某些应用进行一些探究.
在大多数高等数学教材中，函数f(x)的凹凸性是指：设函数f(x)在(a,b)内可导，若曲线y=f(x)位于每点处切线的上方或下方，则称曲线在(a,b)内是凹的（向下凸）或凸的（向上凸）.我们也称y=f(x)是凹（或凸）函数.一般情况下，当(a,b)换成无穷区间也可以类似定义：
如果将b改换成+∞，f(a)存在，有f(a)=limx→a+f(x)且仍满足上述条件，就说函数f(x)在［a,+∞)上是凹（或凸）函数.
如，f(x)=11+x在［1,+∞)上是凹的函数；f(x)=ln(x+1)在［1,+∞)上是凸函数.
由函数f(x)在［a,+∞)的凹凸性我们不难得出下面一些结论：
（1）凹（或凸）函数的导函数是单调函数.
（2）设f(x)在［a,+∞)内是凹减函数（凸增函数），则limx→+∞f′(x)=f′(+∞)存在.
（3）对于［a,+∞)内的凹（或凸）函数，存在自然数N≥a,使函数f(x)在［N,+∞)上是单调的.
（4）对于［a,+∞)内的凹（或凸）函数f(x)，任取两点x1，x2∈［a,+∞)，且x1 在讨论［a,+∞)上的凹（或凸）函数应用于数项级数敛散性的判别时，为了叙述上的简便，由上述结论（3），我们不妨假设在区间［1,+∞)上来研究函数的凸凹性与数项级数敛散性的一些关系.
关联一 设f(x)是［1,+∞)上的凹（或凸）函数，且f′(+∞)存在，则有级数∑∞k=1uk收敛，其中uk=f(k)+f(k+1)2-∫k+1kf(x)dx.
事实上，由于f′(x)是［1，+∞)上的单调函数，则有
uk=12f(k)+f(k+1)-2∫k+1kf(x)dx
=12f(k)+f(k+1)-2∫k+1k［f(k)+(x-k)f′(ξ1)］dx
=12|f(k+1)-f(k)-f′(ξ1)|
=12|f′(ξ2)-f′(ξ1)|
≤12|f′(k+1)-f′(k)|(ξ1,ξ2∈(k,k+1)).
若f(x)是凹函数，有f′(k+1)≥f′(k)，
∑nk=1uk≤12(f′(n+1)-f′(1))≤12(f′(+∞)-f′(1))；
若f(x)是凸函数，有f′(k+1)≤f′(k)，
∑nk=1uk≤12(f′(1)-f′(n+1))≤12(f′(1)-f′(+∞)).
所以级数∑∞k=1uk收敛.
由上述关系直接推论出下述两个结论：
（1）对于凹（或凸）函数f(x)，若f′(x)≥0(≤0)，f″(x)≤0(≥0)，x∈［1,+∞)，则级数∑∞k=1uk收敛.
（2）设f(x)是［1,+∞)上的凹（或凸）函数，且f′(+∞)存在，数列uk=f(k)+f(k+1)2-∫k+1kf(x)dx(k=1,2,3,…)收敛且limk→∞uk=0.
由于级数∑∞k=1uk的条件较严格，关联一及其推论不适宜直接应用于具体级数的敛散性的判别，但由其可以推出如下具有较强应用性的结论.
关联二 设f(x)是［1,+∞)上的凹（或凸）函数，且f′(+∞)存在，则级数∑∞k=1f(k)与∫+∞1f(x)dx敛散性相同.
事实上，记∑∞k=1uk=∑∞k=1f(k)+f(k+1)2-∫k+1kf(x)dx.
由关联一可知，级数∑∞k=1uk收敛.
当f(x)为凹函数时，f′(x)递增且有
f(k)+f(k+1)2≥∫k+1kf(x)dx，
即∑∞k=1uk=∑∞k=1f(k)+f(k+1)2-∫+∞1f(x)dx.
当f(x)为凸函数时，f′(x)递减且有
f(k)+f(k+1)2≤∫k+1kf(x)dx，
即∑∞k=1uk=∫+∞1f(x)dx-∑∞k=1f(k)+f(k+1)2.
故∑∞k=1f(k)+f(k+1)2与∫+∞1f(x)dx敛散性相同.
又因为当x充分大时，f(x)为可不变号的单调函数，f(k)+f(k+1)2介于f(k)与f(k+1)之间，所以∑∞k=1f(k)+f(k+1)2与∑∞k=1f(k)的敛散性是一致的，故∑∞k=1f(k)与∫+∞1f(x)dx敛散性相同.
由上述关联直接推论出下述两个结论：
（1）设f(x)是［1,+∞) 上的凸增负函数（凹减正函数），则∑∞k=1f(k)与∫+∞1f(x)dx敛散性相同.
此时，如果limk→∞f(k)≠0，∑∞k=1f(k)是发散的；limk→∞f(k)=0，∑∞k=1f(k)才有可能收敛.
（2）设f(x)是［1,+∞)上的凹增正函数（凸减负函数），则∑∞k=1f(k)与∫+∞1f(x)dx均发散.
由下例可以看出此关系对于判定级数敛散性的简便性：
例1 讨论级数∑∞n=21n(lnn)(ln lnn)p的敛散性.
由于级数所对应的积分式为∫+∞21x(lnx)(ln lnx)pdx，
而∫+∞21x(lnx)(ln lnx)pdx=11-p(ln lnx)1-p+∞2，
当p>1时，收敛；当0≤p≤1时，发散.
故可知：级数∑∞n=21n(lnn)(ln lnn)p，
当p>1时，收敛；当0≤p≤1时，发散.
关联三 设f(x)是［1,+∞)上的凹（或凸）函数，且f′(+∞)存在，则数列un=∑nk=1f′(k)-f(n)(n=1,2,3,…)是收敛的.
事实上：由于un=f′(n)+∑n-1k=1［f′(k)-f(k+1)+f(k)］-f(1).
所以数列{un}与数列：∑n-1k=1uk=∑n-1k=1［f′(k)-f(k+1)+f(k)］有相同的敛散性.
由于|f′(k)-f(k+1)+f(k)|≤|f′(k)-f′(k+1)|，由关联一可知，数列∑n-1k=1uk是收敛的，故数列{un}是收敛的.
从下例可以看出此关系应用于级数敛散性判定的优化性：
例2 f(x)=ln(x+1)在［1,+∞)是凸函数，有(ln(x+1))′=1x+1，且limx→+∞1x+1=0.
故由关联三可知数列：
un=12+13+…+1n+1-ln(n+1)(n=1,2,3,…)是收敛的.
例3 f(x)=1x+1在［1,+∞)上是凹函数，有1x+1′=-1(x+1)2，且limx→+∞-1(x+1)2=0.
故由关联三可知数列：
un=-122-132-…-1(n+1)2-1n+1(n=1,2,3,…)是收敛的.
例4 我们可以利用关联三来判断数列122+123+…+12n+1(n=1,2,3,…)是发散的.
∵f(x)=x+1在［1,+∞)是凸函数，有(x+1)′=12x+1，
且limx→+∞12x+1=0，由关联三可知数列
un=122+123+…+12n+1-n+1(n=1,2,3,…)是收敛的.
又 ∵limn→+∞n+1不存在，
可知数列122+123+…+12n+1(n=1,2,3,…)发散.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】凹（或凸）函数；数项级数；敛散性
在高等数学课程中，对函数性态的分析着重应用于对函数的性质、图像的研究.作者在教学实践中发现，在一定条件下，具有凹凸性的函数的一些特性与某些数项级数的敛散性有着一定的联系，并且对于数项级数的敛散性的判别有着比较优化的方法，本文就［a,+∞)上具有凹凸性的函数在数项级数中某些应用进行一些探究.
在大多数高等数学教材中，函数f(x)的凹凸性是指：设函数f(x)在(a,b)内可导，若曲线y=f(x)位于每点处切线的上方或下方，则称曲线在(a,b)内是凹的（向下凸）或凸的（向上凸）.我们也称y=f(x)是凹（或凸）函数.一般情况下，当(a,b)换成无穷区间也可以类似定义：
如果将b改换成+∞，f(a)存在，有f(a)=limx→a+f(x)且仍满足上述条件，就说函数f(x)在［a,+∞)上是凹（或凸）函数.
如，f(x)=11+x在［1,+∞)上是凹的函数；f(x)=ln(x+1)在［1,+∞)上是凸函数.
由函数f(x)在［a,+∞)的凹凸性我们不难得出下面一些结论：
（1）凹（或凸）函数的导函数是单调函数.
（2）设f(x)在［a,+∞)内是凹减函数（凸增函数），则limx→+∞f′(x)=f′(+∞)存在.
（3）对于［a,+∞)内的凹（或凸）函数，存在自然数N≥a,使函数f(x)在［N,+∞)上是单调的.
（4）对于［a,+∞)内的凹（或凸）函数f(x)，任取两点x1，x2∈［a,+∞)，且x1
关联一 设f(x)是［1,+∞)上的凹（或凸）函数，且f′(+∞)存在，则有级数∑∞k=1uk收敛，其中uk=f(k)+f(k+1)2-∫k+1kf(x)dx.
事实上，由于f′(x)是［1，+∞)上的单调函数，则有
uk=12f(k)+f(k+1)-2∫k+1kf(x)dx
=12f(k)+f(k+1)-2∫k+1k［f(k)+(x-k)f′(ξ1)］dx
=12|f(k+1)-f(k)-f′(ξ1)|
=12|f′(ξ2)-f′(ξ1)|
≤12|f′(k+1)-f′(k)|(ξ1,ξ2∈(k,k+1)).
若f(x)是凹函数，有f′(k+1)≥f′(k)，
∑nk=1uk≤12(f′(n+1)-f′(1))≤12(f′(+∞)-f′(1))；
若f(x)是凸函数，有f′(k+1)≤f′(k)，
∑nk=1uk≤12(f′(1)-f′(n+1))≤12(f′(1)-f′(+∞)).
所以级数∑∞k=1uk收敛.
由上述关系直接推论出下述两个结论：
（1）对于凹（或凸）函数f(x)，若f′(x)≥0(≤0)，f″(x)≤0(≥0)，x∈［1,+∞)，则级数∑∞k=1uk收敛.
（2）设f(x)是［1,+∞)上的凹（或凸）函数，且f′(+∞)存在，数列uk=f(k)+f(k+1)2-∫k+1kf(x)dx(k=1,2,3,…)收敛且limk→∞uk=0.
由于级数∑∞k=1uk的条件较严格，关联一及其推论不适宜直接应用于具体级数的敛散性的判别，但由其可以推出如下具有较强应用性的结论.
关联二 设f(x)是［1,+∞)上的凹（或凸）函数，且f′(+∞)存在，则级数∑∞k=1f(k)与∫+∞1f(x)dx敛散性相同.
事实上，记∑∞k=1uk=∑∞k=1f(k)+f(k+1)2-∫k+1kf(x)dx.
由关联一可知，级数∑∞k=1uk收敛.
当f(x)为凹函数时，f′(x)递增且有
f(k)+f(k+1)2≥∫k+1kf(x)dx，
即∑∞k=1uk=∑∞k=1f(k)+f(k+1)2-∫+∞1f(x)dx.
当f(x)为凸函数时，f′(x)递减且有
f(k)+f(k+1)2≤∫k+1kf(x)dx，
即∑∞k=1uk=∫+∞1f(x)dx-∑∞k=1f(k)+f(k+1)2.
故∑∞k=1f(k)+f(k+1)2与∫+∞1f(x)dx敛散性相同.
又因为当x充分大时，f(x)为可不变号的单调函数，f(k)+f(k+1)2介于f(k)与f(k+1)之间，所以∑∞k=1f(k)+f(k+1)2与∑∞k=1f(k)的敛散性是一致的，故∑∞k=1f(k)与∫+∞1f(x)dx敛散性相同.
由上述关联直接推论出下述两个结论：
（1）设f(x)是［1,+∞) 上的凸增负函数（凹减正函数），则∑∞k=1f(k)与∫+∞1f(x)dx敛散性相同.
此时，如果limk→∞f(k)≠0，∑∞k=1f(k)是发散的；limk→∞f(k)=0，∑∞k=1f(k)才有可能收敛.
（2）设f(x)是［1,+∞)上的凹增正函数（凸减负函数），则∑∞k=1f(k)与∫+∞1f(x)dx均发散.
由下例可以看出此关系对于判定级数敛散性的简便性：
例1 讨论级数∑∞n=21n(lnn)(ln lnn)p的敛散性.
由于级数所对应的积分式为∫+∞21x(lnx)(ln lnx)pdx，
而∫+∞21x(lnx)(ln lnx)pdx=11-p(ln lnx)1-p+∞2，
当p>1时，收敛；当0≤p≤1时，发散.
故可知：级数∑∞n=21n(lnn)(ln lnn)p，
当p>1时，收敛；当0≤p≤1时，发散.
关联三 设f(x)是［1,+∞)上的凹（或凸）函数，且f′(+∞)存在，则数列un=∑nk=1f′(k)-f(n)(n=1,2,3,…)是收敛的.
事实上：由于un=f′(n)+∑n-1k=1［f′(k)-f(k+1)+f(k)］-f(1).
所以数列{un}与数列：∑n-1k=1uk=∑n-1k=1［f′(k)-f(k+1)+f(k)］有相同的敛散性.
由于|f′(k)-f(k+1)+f(k)|≤|f′(k)-f′(k+1)|，由关联一可知，数列∑n-1k=1uk是收敛的，故数列{un}是收敛的.
从下例可以看出此关系应用于级数敛散性判定的优化性：
例2 f(x)=ln(x+1)在［1,+∞)是凸函数，有(ln(x+1))′=1x+1，且limx→+∞1x+1=0.
故由关联三可知数列：
un=12+13+…+1n+1-ln(n+1)(n=1,2,3,…)是收敛的.
例3 f(x)=1x+1在［1,+∞)上是凹函数，有1x+1′=-1(x+1)2，且limx→+∞-1(x+1)2=0.
故由关联三可知数列：
un=-122-132-…-1(n+1)2-1n+1(n=1,2,3,…)是收敛的.
例4 我们可以利用关联三来判断数列122+123+…+12n+1(n=1,2,3,…)是发散的.
∵f(x)=x+1在［1,+∞)是凸函数，有(x+1)′=12x+1，
且limx→+∞12x+1=0，由关联三可知数列
un=122+123+…+12n+1-n+1(n=1,2,3,…)是收敛的.
又 ∵limn→+∞n+1不存在，
可知数列122+123+…+12n+1(n=1,2,3,…)发散.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文