论文部分内容阅读
著名数学家和教育家G．波利亚有一句脍炙人口的名言：“掌握数学就是意味着善于解题”，其实这句话的背后是学好数学必须大量的做题，并在这一漫长的过程中获取知识，积累解题经验，获得解题方法。这一过程离不开时间的保证和经验（量）的积累，更离不开科学的方法和“质”的转变。以下从三个方面谈解题能力的形成。
1 解题基本功由什么构成
解题的成功取决于多种因素，其中最基本的有：知识经验因素，能力因素，非智力因素，我们把这些因素统称为解题基本功。
1.1 知识、经验因素 人的思维依赖于必要的知识和经验，数学知识正是数学解题思维活动的出发点和凭借。丰富的知识并加以优化的结构能为题意的本质理解与思路的迅速寻找创造成功的条件。解题研究的一代宗师G．波利亚说：“货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本。”每一个希望提高解题效率的人都必须下决心，花大力气做好以下三点：(1) 熟练掌握数学知识的体系，对于中学生来说，都应能如数家珍地说出课本中的所有概念、定理、符号及课本中的重要（典型）例题、习题；(2) 深刻理解有关概念、准确掌握数学定理（含公理．推论和一些重要结论）、公式和运算法则；(3) 熟悉基本的逻辑规则和常用的解题方法，积累数学技巧（没有一个个技巧的积累便没有形成方法的素材）。比如要求解与函数单调性有关的题，你就必须知道什么是函数的单调性（概念）、研究了那些函数的单调性（经验）、证明函数在某个区间（概念）的单调递增（减）的方法和过程是什么（作差、分解因式、判定正负）、有什么技巧（根式型用分子有理化等）。若没有上述“基本功”，你如何去解题?
1.2 能力因素 解题能力表现于发现问题、分析问题、解决问题的敏锐、洞察能力与整体把握。高考说明将其分解为：运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力、分析问题和解决问题的能力。其核心是掌握正确的思维方法。具体包括：(1) 掌握解题的科学程序。比如如何审题、如何寻找思路、如何表述过程、从哪个角度反思、反思什么等等；(2) 逐步掌握数学中各种常用思维方法，如观察、试验、归纳、抽象、概括、演绎、类比、分析、综合等；(3)掌握基本的策略，如由因导果、执果索因、假设反证、特值特例、估算验算、先猜后证等等。
1.3 非智力因素 有一个聪明的大脑有助于学好数学，但也不要忽视动机、兴趣、抱负、态度、品德、意志等非智力因素。华罗庚教授曾说过“聪明在于学习、天才在于积累。”1995年5月，在中国数学会60周年年会上，国际级数学大师陈省身教授谈学习数学的体会时胸有成竹地说：首先是用功，不用功什么也谈不上。
2 如何形成解题解题基本功
形成解数学题基本功的过程也就是学习数学的过程。除了做好老生常谈的课前预习，课上认真听讲、认真记笔记，课后及时完成作业，更重要的是用心去学。做题是为了掌握有关概念、定义、定理、公式，是为了掌握方法、技巧、规律，是为了积累经验、提高能力，也就是要更好地去解题。比如“求函数y=2cos2x + sin x 的值域”，找出思路并准确表述后，你是不是再想想：(1)该题涉及到的知识点（倍角公式、三角函数值域、同解关系式、二次函数值域、函数单调性等）；(2)该题涉及到的方法（配方法、换元法）；(3)用到的数学思想（转体思想：倍角向单角转化、异名函数向同名函数转化、复杂向间单转化、不熟向熟悉转化）；(4)该题本来面目也许是：y = 2＋x－x2 、y = 2＋sin x －sin2x 、y = 2＋sin x－sin2x或是y = 1＋sin x＋cos2x；还可能以y = 2＋2x－22x、y = 2+x-x或是y = 2＋arcsin x－(arcsinx)2的形式出现；也可能以方程（“若方程1－a＋sin x＋cos2x=0的解，求实数a的取值范围。”），不等式的形式（“若对任意的实数x，不等式1－a＋sin x＋cos2x＞0恒成立，求实数a的取值范围。”）等方式考查同一内容、方法;(5)求函数值域的常见题型有哪些，常用方法有哪些，解题技巧和规律有哪些，容易出现的错误有哪些等等。这些方面可以在审题时就开始考虑，也可以边解边考虑，但都是解题所必不可少的程序。不要把解题看成是独立的解题或解独立的一个题，而是要放在已有的知识、方法、经验的体系中去探讨问题，让大脑中所有的知识、方法、经验、规律都活跃起来，让死题活起来，让思维活起来，在联想中实现转化，在转化中寻求解答，在思考中升华，在探索中顿悟！这才是主动学习数学，这才是用心学习数学。解题基本功就是在苦思中一点点地领悟，多思中一滴滴积累而成。
3 如何提高解题基本功
“熟能生巧”，“学习数学没有会与不会之分，只有熟与不熟之别”这些至理名言道出了学习数学的真谛，但也掩盖了许多科学好的做法，如要及时复习，经常归纳总结，一题多解、一题多变等等。解题基本功的形成离不开长期的积累，但也不仅仅是量的积累，更需要在量的积累基础上的质的飞跃！实现这个飞跃的最好的催化剂就是一题多解和一题多变。一题多解，以题目为载体主动地进行方法和思维训练；一题多变，以题目为素材充分利用联想和想像打开思维发展的广阔空间。经过长期努力必然能迅速提高解题基本功。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
1 解题基本功由什么构成
解题的成功取决于多种因素，其中最基本的有：知识经验因素，能力因素，非智力因素，我们把这些因素统称为解题基本功。
1.1 知识、经验因素 人的思维依赖于必要的知识和经验，数学知识正是数学解题思维活动的出发点和凭借。丰富的知识并加以优化的结构能为题意的本质理解与思路的迅速寻找创造成功的条件。解题研究的一代宗师G．波利亚说：“货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本。”每一个希望提高解题效率的人都必须下决心，花大力气做好以下三点：(1) 熟练掌握数学知识的体系，对于中学生来说，都应能如数家珍地说出课本中的所有概念、定理、符号及课本中的重要（典型）例题、习题；(2) 深刻理解有关概念、准确掌握数学定理（含公理．推论和一些重要结论）、公式和运算法则；(3) 熟悉基本的逻辑规则和常用的解题方法，积累数学技巧（没有一个个技巧的积累便没有形成方法的素材）。比如要求解与函数单调性有关的题，你就必须知道什么是函数的单调性（概念）、研究了那些函数的单调性（经验）、证明函数在某个区间（概念）的单调递增（减）的方法和过程是什么（作差、分解因式、判定正负）、有什么技巧（根式型用分子有理化等）。若没有上述“基本功”，你如何去解题?
1.2 能力因素 解题能力表现于发现问题、分析问题、解决问题的敏锐、洞察能力与整体把握。高考说明将其分解为：运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力、分析问题和解决问题的能力。其核心是掌握正确的思维方法。具体包括：(1) 掌握解题的科学程序。比如如何审题、如何寻找思路、如何表述过程、从哪个角度反思、反思什么等等；(2) 逐步掌握数学中各种常用思维方法，如观察、试验、归纳、抽象、概括、演绎、类比、分析、综合等；(3)掌握基本的策略，如由因导果、执果索因、假设反证、特值特例、估算验算、先猜后证等等。
1.3 非智力因素 有一个聪明的大脑有助于学好数学，但也不要忽视动机、兴趣、抱负、态度、品德、意志等非智力因素。华罗庚教授曾说过“聪明在于学习、天才在于积累。”1995年5月，在中国数学会60周年年会上，国际级数学大师陈省身教授谈学习数学的体会时胸有成竹地说：首先是用功，不用功什么也谈不上。
2 如何形成解题解题基本功
形成解数学题基本功的过程也就是学习数学的过程。除了做好老生常谈的课前预习，课上认真听讲、认真记笔记，课后及时完成作业，更重要的是用心去学。做题是为了掌握有关概念、定义、定理、公式，是为了掌握方法、技巧、规律，是为了积累经验、提高能力，也就是要更好地去解题。比如“求函数y=2cos2x + sin x 的值域”，找出思路并准确表述后，你是不是再想想：(1)该题涉及到的知识点（倍角公式、三角函数值域、同解关系式、二次函数值域、函数单调性等）；(2)该题涉及到的方法（配方法、换元法）；(3)用到的数学思想（转体思想：倍角向单角转化、异名函数向同名函数转化、复杂向间单转化、不熟向熟悉转化）；(4)该题本来面目也许是：y = 2＋x－x2 、y = 2＋sin x －sin2x 、y = 2＋sin x－sin2x或是y = 1＋sin x＋cos2x；还可能以y = 2＋2x－22x、y = 2+x-x或是y = 2＋arcsin x－(arcsinx)2的形式出现；也可能以方程（“若方程1－a＋sin x＋cos2x=0的解，求实数a的取值范围。”），不等式的形式（“若对任意的实数x，不等式1－a＋sin x＋cos2x＞0恒成立，求实数a的取值范围。”）等方式考查同一内容、方法;(5)求函数值域的常见题型有哪些，常用方法有哪些，解题技巧和规律有哪些，容易出现的错误有哪些等等。这些方面可以在审题时就开始考虑，也可以边解边考虑，但都是解题所必不可少的程序。不要把解题看成是独立的解题或解独立的一个题，而是要放在已有的知识、方法、经验的体系中去探讨问题，让大脑中所有的知识、方法、经验、规律都活跃起来，让死题活起来，让思维活起来，在联想中实现转化，在转化中寻求解答，在思考中升华，在探索中顿悟！这才是主动学习数学，这才是用心学习数学。解题基本功就是在苦思中一点点地领悟，多思中一滴滴积累而成。
3 如何提高解题基本功
“熟能生巧”，“学习数学没有会与不会之分，只有熟与不熟之别”这些至理名言道出了学习数学的真谛，但也掩盖了许多科学好的做法，如要及时复习，经常归纳总结，一题多解、一题多变等等。解题基本功的形成离不开长期的积累，但也不仅仅是量的积累，更需要在量的积累基础上的质的飞跃！实现这个飞跃的最好的催化剂就是一题多解和一题多变。一题多解，以题目为载体主动地进行方法和思维训练；一题多变，以题目为素材充分利用联想和想像打开思维发展的广阔空间。经过长期努力必然能迅速提高解题基本功。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”