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我依然不明白他是如何想出它的。
—理查德·费曼
一八二六年秋天，二十四岁的挪威青年尼尔斯·亨利克·阿贝尔（Niels Henrik Abel）来到巴黎，此时的他已经取得非凡的数学成就，包括证明五次和五次以上方程没有一般根式解，正在等待法兰西科学院大咖们的赏识和肯定。在离阿贝尔住处几公里远的路易学校，十五岁的法国少年埃瓦里斯特·伽罗瓦（?variste Galois）却遇到麻烦，在进入该校的第四个年头，他的修辞课大大退步（可能没过及格线），他留级了。
伽罗瓦（1811-1832）素描像
在此期间，伽罗瓦的一位同学为他画了一幅素描，那是我们今天见到的伽罗瓦像。在任何一部数学史中，我们都会看见，十五岁的迷惘少年与那些睿智老成的数学家（如笛卡尔、牛顿、莱布尼茨、欧拉等）并列在一起。有趣的是，也是在巴黎，阿贝尔遇见一位同胞画家，他为阿贝尔画了唯一的肖像画。阿贝尔和伽罗瓦都有着微卷的头发、清澈而略带忧郁的眼睛，真是一对神奇的精灵。
因为留级，伽罗瓦遇到了见习数学老师维纳。维纳向同学们推荐了勒让德的《几何原理》，比起赫赫有名的欧几里得《几何原本》，这本一七九四年版的数学著作更容易读懂。据说如饥似渴的伽罗瓦只用两天就读完此书，而它原本是足足两年课程的教材。值得一提的是，德意志数学天才黎曼恰好在那年出生，他在中学期间也只用六天时间读完了勒让德的另一部巨著《数论》。
伽罗瓦就读的巴黎路易学校
伽罗瓦被数学迷住了，他贪婪地阅读原始著作和文献，就像如今的小朋友痴迷于哈利·波特系列故事，伽罗瓦完全沉浸于不久以前逝去的数学家拉格朗日的著作。面对此情此景，修辞老师无奈地说，“在伽罗瓦的作业里除了奇怪的幻想和粗心大意以外一无是处”，“他已经沉迷于数学的激动中……对其他事物视若无睹……如果他的父母只允许他研究数学，我认为那对他来说是最好的”。
阿贝尔（1802-1829）
两年以后，伽罗瓦参加了巴黎综合理工学校入学考试，结果名落孙山，自然是因为“在某个领域知识太多，而其他领域知识太少”。他只好在路易学校再读一年，幸运的是，他进了理查德的数学专门班。理查德发现这位学生的数学天赋远超其他同学，就给了他一等奖学金。老师保留了他所有课堂笔记本，正如母亲和姐姐保留了他少年时代所有画作，他们都认定伽罗瓦是天才。
无独有偶。当阿贝尔十三岁那年离开故乡，进入挪威首都奥斯陆（当时叫克里斯蒂安尼亚）一所教会学校时，也曾遭遇一些挫折。可是不久，他遇到一位叫霍尔姆伯的数学老师。霍尔姆伯非常欣赏阿贝尔，成了阿贝尔的启蒙老师和第一个伯乐。霍尔姆伯教如饥似渴的阿贝尔学习高等数学，鼓励他阅读瑞士数学家欧拉、德国数学家高斯、法国数学家拉格朗日和泊松的著作。
一八二一年，十九岁的阿贝尔幸运地进入新成立的挪威第一所大学—皇家弗雷德里克大学（后易名奥斯陆大学）。更幸运的是，有三位教授愿意为聪明好学、家境贫困的阿贝尔解囊相助，其中一位教授允许阿贝尔随意出入自己的家。另一位教授则资助他第一次离开挪威，去哥本哈根旅行。五年以后，阿贝尔又获得挪威政府的旅行奖学金，经过柏林来到了巴黎。
说到五次方程求解的意义，我们要从古希腊说起。在古希腊，几何学曾是数学的代名词。柏拉图学园的入口处写着，“不懂几何学的请勿入内”。而数学就像毕达哥拉斯定义的单词词根，指一切可以学到的知识，那更多的是一种哲学含义。究其原因，几何学可以通过图像，而不怎么需要文字和符号来推理表达，因此更容易自由发展，这也是欧几里得几何学得以率先诞生的原因。
对于一次和二次方程，因为比较简单，在没有方便的符号体系下，包括“四大文明”在内的古老文明都能自己找到解答，甚至知道利用根式给出的表达方法。只不过，有的民族只取正值解，有的民族（二次方程）只取一个解或实数解。而要说到一般的代数方程和它的求解，首先要提到丢番图，他是古希腊最后一位数学大家，生活在公元三世纪的亚历山大。
丢番图最重要的著作是《算术》，这是一部划时代的数学名著。共有十三卷，但很長时间人们只见到其中的六卷希腊文本。直到一九七三年，才在伊朗马什哈德发现四卷阿拉伯文译本。这十卷书中共有二百九十个数学问题，大多数是数论问题，其中希腊文本中的第二卷第八题是有关毕达哥拉斯数组。十七世纪《算术》拉丁文译本出版以后，引起了法国数学家费马的兴趣，演变成赫赫有名的费马大定理。除数论问题以外，《算术》还涉及一些代数问题和思想。但它不像之前的代数问题那样披着几何的外衣，而是还原代数本身的模样。对于一次方程，丢番图采用“移项”和“合并同类项”等技巧，这与我们现在的解题思路是一致的。对于二次方程，虽说丢番图已懂得负数的运算法则，但只满足于寻找正有理数解，且如果有两个正根时，他只取较大的那个。
更有价值的是，丢番图比较系统地提出了代数符号概念。例如，他用希腊字母的前几个α、β、γ表示数字1、2、3，而用其他字母表示未知数不同的幂次。他采用速记的形式来表达高次方程，这样的表达可以称之为速记代数。十六世纪以前的欧洲，用一套符号使得书写更为方便、简洁的只有丢番图一人。可以说，丢番图使得代数从几何形式中解脱出来，成为数学的一个重要分支。 值得一提的是，古代中国尤其是宋元时期的數学取得了辉煌的成就。南宋秦九韶发明了用迭代法求高次方程近似解（正根）的“正负开方术”，被现代人称为秦九韶算法。元代李冶发明“天元术”，用特定汉字表示未知数，打破了以《九章算术》为代表的“文辞代数”。稍后朱世杰发明“四元术”，将其推广到四个未知数的情形。他们的工作堪称“半符号代数”。
在印度，七世纪的数学家婆罗摩笈多首先得到了0的运算法则，他给出了二次方程的求根公式，允许系数可正可负，他还用数上方加点的方式来表示负数，用不同的颜色首字母表示不同的未知数，效果与字母表达的方程十分接近。到了十二世纪，婆什伽罗给出的二次方程求根公式与现代的如出一辙，他还讨论了个别的三次方程和双二次方程。
《数学传奇》蔡天新著商务印书馆2018 年版
阿拉伯数学家花拉子密生活在九世纪，他对二次方程做了全面系统的讨论。更重要的是，他的著作《代数学》在一一四○年被译成拉丁文出版后，在欧洲被用作标准的教科书长达数个世纪，代数学（Algebra）因此书而得名，他本人的名字则成为“算法”（Algorithm）。与丢番图一样，花拉子密也享有“代数学之父”的美名。
时光到了十六世纪，在亚平宁半岛，三次方程和四次方程的求解即将取得里程碑式的进展。在此之前，在哥伦布到达美洲两年之后的一四九四年，他的意大利同胞数学家帕乔利在一部百科全书式的数学巨著最后以悲观的语调写道，“对于三次和四次方程，直到现在还不可能形成一般规则”。他还认定，那无疑与古希腊遗留下来的化圆为方问题一样困难。
或许，正是为了挑战帕乔利的悲观论调，他的同胞数学家们接连取得了突破性的进展。先是欧洲最古老的博洛尼亚大学数学教授费罗解出了缺项的三次方程x3+mx=n（系数为正），接着，自学成才的塔尔塔利亚（意思是口吃者，起因于入侵法国士兵的砍刀）不仅也能解上述三次方程，同时他还会解方程x3+mx2=n（要求系数为正）。
一五三五年，在费罗去世九年后，他的徒弟菲尔奥与塔尔塔利亚有过一场公开的数学竞赛。这是那个时代数学家的传统，他们相互出同样数量的题目（方程），然后在规定的时间内交卷，结果当然塔尔塔利亚大获全胜。借这个东风，塔尔塔利亚后来完全解决了三次方程的求解问题，即与二次方程的求解一样，通过根式来表达。
这场竞赛引起了米兰医生卡尔达诺的注意，他本是医术高超的名医，却嗜赌成性，家庭也遭遇不幸，妻子早逝，长子杀妻被处绞刑，幼子偷窃进了牢房。数学是卡尔达诺最大的安慰，他写过一本研究概率的书，后来被解方程问题给迷住了。卡尔达诺邀请塔尔塔利亚去米兰，好酒好肉招待三天之后，在保证不外传情况下，后者以诗歌的形式向他透露解三次方程的秘籍。
古希腊的毕达哥拉斯定理也是以诗歌的语言叙述的。塔尔塔利亚告知的解法是费罗已掌握的那类三次方程。卡尔达诺经过钻研，把其他形式的三次方程也解了出来。协助卡尔达诺的是他的助理费拉里。费拉里十分聪明，紧接着他把四次方程的解也求出来了，即对一般的四次方程，他都可以通过转化变为三次方程，从而给出根式的一般解答。
一五四五年，卡尔达诺到博洛尼亚造访了费罗的学生兼女婿纳夫，看到费罗手稿上早就有塔尔塔利亚透露给他的解法之后，便在当年出版了《大术》一书，将三次方程和四次方程的解法公之于众，其中提到了费罗、塔尔塔利亚和费拉里等人的工作。这部书轰动了欧洲数学界，卡尔达诺也成为响当当的人物。虽然书中提及塔尔塔利亚的贡献，但后者对于卡尔达诺的背信弃义仍十分恼火。
塔尔塔利亚不仅公开指责卡尔达诺，而且要求与他直接竞赛较量，仿佛为名誉或爱情而战的一场决斗。对此正处于丧妻之痛的卡尔达诺保持了沉默，起身迎战的是年轻的费拉里。结果在米兰客场作战的塔尔塔利亚因不太会解四次方程，未等裁决结果出来便离开了，后来郁郁寡欢抱恨而终。名声大振并出任博洛尼亚大学教授的费拉里也乐极生悲，据说他最后是被贪财的姐姐用砒霜毒死的。
三次和四次方程求解问题解决以后，五次方程自然摆在所有数学家面前。而自从一五四五年卡尔达诺出版《大术》，到阿贝尔上大学，时光已流逝了近三个世纪，这个棘手的问题依然存在。这期间，法国人韦达早已在一五九一年研究出二次方程根与系数关系的韦达定理，这个定理后来被荷兰数学家吉拉德推广到一般n次方程的情形。
不仅如此，韦达还把代数问题符号化，他用辅音字母表示已知数，元音字母表示未知数。遗憾的是，这种方法不容易区分已知数和未知数。后来，韦达的同胞笛卡儿建议，用最前面的字母a、b、c等表示已知数，用最后面的字母x、y、z等表示未知数。这样的表示法一目了然，逐渐地被推广到全世界并沿用至今。
代数方程的理论问题则要等到十八世纪末，由德国数学王子高斯来完成。一七九九年，二十二岁的高斯在其博士论文中首次严格证明了：任何实系数的n次方程至少有一个复根。由此人们不难推出，n次方程有n个复根。一八四九年，在庆祝取得博士学位五十周年之际，高斯给出了上述定理的第四个证明，他证明了：任何复系数的n次方程都至少有一个复根。这个定理被称为代数基本定理。
现在，我们要说说阿贝尔的工作了。在中学最后一年，他雄心勃勃地试图解决一般五次方程的根式求解问题。不久他找到了求解公式，他的老师霍尔姆伯看不出证明的破绽。于是，这篇文章便寄给了一位丹麦数学家，那位数学家也没看出毛病，却谨慎地建议他再举例说明。斟酌之下，阿贝尔终于发现论证本身存在漏洞。
其实，拉格朗日在五次方程求解问题上也栽过跟头。他后来认识到，用类似三次和四次方程求解的方法去导出五次方程的解是不可能的。比拉格朗日晚一辈的意大利数学家鲁菲尼对这个问题也进行了一番努力，他写成了一篇五百多页的论文，证明一般五次方程不能通过一个公式求解。然而，他的证明既冗长又有漏洞，并未被人们接受，同时也鲜为人知。 上大学以后，阿贝尔也开始往相反方向使力。终于在一八二四年，他成功地证明了五次或五次以上的方程不存在一般根式解。可是，依然没有人可以验证他的证明。翌年，在教授们的帮助下，他获得挪威政府的旅行奖学金，准备去拜访西欧国家一些知名数学家。可是，阿贝尔只是在柏林遇到一位业余数学爱好者兼出版家克莱尔，他是继霍尔姆伯之后第二个对他的事业有较大帮助的人。
克莱尔与霍尔姆伯都相信，阿贝尔是了不起的数学家。克莱尔在一八二六年创办了一本叫《纯粹数学与应用数学杂志》的期刊，首卷即发表了阿贝尔的七篇论文，其中包括《四次以上方程的不可解证明》。在前三卷里，居然连续发表了阿贝尔的二十二篇论文，内容涉及面很广，包含方程论、无穷级数、椭圆函数论等。可是，这本如今德国最重要的数学杂志在当时并没有什么影响力。
在巴黎，那时和现在一样，每到夏天大多数人都到海滨避暑去了。阿贝尔潜心于数学问题，完成了一篇关于超越函数的论文，递交给法国数学界的元老勒让德和权威柯西审阅，却被忽视了。椭圆函数是复分析理论中非常重要的一种双周期亚纯函数，由阿贝尔首先定义，他把它看作椭圆积分的反函数。如今椭圆函数在数论和物理学中都有着广泛的应用，与椭圆曲线和模形式也有着深刻的联系。
后来，比阿贝尔小两岁的德国数学家雅可比称赞阿贝尔的这篇论文“也许是这个世纪最伟大的数学发现”。多年以后，年轻一代的法国数学家埃尔米特仍然赞叹，这篇论文里“留下来的东西足够让数学家们忙碌五百年”。一八三○年，为了弥补以往的过失，法国科学院同时授予阿贝尔和雅可比数学大奖。遗憾的是，前一年阿贝尔已经病逝。
再来说说让阿贝尔获得信心和旅行奖学金的那篇有关高于四次的方程不可解性的论文，在他出发旅行之前，便在奥斯陆印刷了好多份。可是，为了节省费用，阿贝尔把论文压缩成只有六页的篇幅。这样一来，对大多数人来说，即便是数学同行，也几乎像密码一样晦涩难读了。其结果是，原先阿贝尔希望作为“名片”或敲门砖的论文没有起到任何效果。
高斯在哥廷根自然也收到一份，但他恐怕不会相信，这么一个世界性难题被一个名不见经传的来自偏远地区的年轻人用这么几页纸给解决了。高斯并没有把它扔进废纸篓，而是夹在一叠纸或某两本书之间。高斯去世以后，有人在整理他的遗物时发现，内置阿贝尔论文的信封并没有被裁开。在这一不幸事件中，蒙受损失的不仅是阿贝尔，也包括整个数学学科。
阿贝尔证明了高于四次的方程没有一般的根式解的关键在于，他修正了鲁菲尼证明中的一个缺陷，尽管他并不知晓后者的工作。阿贝尔证明的是如今被称为阿贝尔定理的命题：如果一个方程能用根式求解，那么出现在根的表达式中的每个根式，一定可以表示成该方程的根和某些单位根的有理函数。正是利用这个定理，阿贝尔证明了五次或五次以上的方程没有一般的根式解。
另一方面，阿贝尔并未否定对某些特殊的高次方程来说存在根式解的可能性。事实上，早在一八○一年出版的《算术研究》里，高斯已经证明，分圆方程xp-1=0（p为素数）可以根式求解。阿贝尔也考虑了一类能用根式求解的特殊方程，现在这类方程被称为阿贝尔方程。尤其是，他引进了两个十分重要的概念—“域”和“不可约多项式”。遗憾的是，因为早逝，他没有完全解决方程的求解问题，这项工作要留待伽罗瓦来完成。
一八二七年，阿贝尔万分无奈地返回祖国。之后他的生活变得更为艰难，没有固定的工作和收入，只能以私人授课维持生计。翌年，他在一所大学找到代课教师职位，可是不久，他的身体却垮了，他得了肺结核（一说他在巴黎时已患上），这在那个年代是不治之症（黎曼患的也是同一种疾病）。一八二九年四月六日，不满二十七周岁的阿贝尔走完了他短暂的一生。
令人欣慰的是，阿贝尔生前体验过爱的滋味。一八二三年，即阿贝尔证明高于四次的方程不可解的头一个夏天，他在一位教授的资助下，去哥本哈根过暑假，在那里见到了几位著名数学家。在哥本哈根，他遇见了同胞克里斯汀，那是在她叔叔家的舞会上。当乐队演奏起华尔兹时，两人尴尬地站在那里，他们对这一新舞曲不甚了解，于是一起悄悄地离开。
阿贝尔的未婚妻克里斯汀·坎普
第二年圣誕节过后，阿贝尔向他的同学和老师们宣布他订婚了。但阿贝尔尚且不能养活自己，更无力迎娶克里斯汀。一八二八年圣诞节，他乘雪橇回去看望未婚妻，途中病情加重;虽然暂时的好转让他们一起享受了假期，但他最终没有熬过那年春天。
就在阿贝尔去世后的第三天，克莱尔的一封信到达挪威。原来克莱尔一直在柏林为阿贝尔找工作，最终成功地让他获得柏林大学的教授职位。但是，这个好消息来得太晚了。此外，四位法国科学院院士也曾联袂给瑞典-挪威国王写信，希望他重视阿贝尔这位天才。除了证明高于四次的方程不存在根式解以外，阿贝尔还是椭圆函数论的奠基人之一，他为无穷级数理论奠定了严密的基础，同时求解出了第一个积分方程。
一八二七年春天，就在阿贝尔去世前五天，还是中学生的伽罗瓦发表了第一篇论文，那是一篇有关连分数的论文，但他并不满足于此。与阿贝尔一样，伽罗瓦起初也把目标对准五次和五次以上方程的可解性问题，他着力于寻找这类方程的一般根式解，以求一鸣惊人。可是后来，他也转移了目标。
为了研究方程的可解性问题，伽罗瓦发明了“群”的概念，进而他建立起一门新的数学分支，现在人们称这套方法为伽罗瓦理论。所谓群，是由一些元素组成的，记为G（group）。这些元素之间存在一种运算×，它满足四条性质：封闭性，a和b属于G，则a×b也属于G;结合律，a、b、c属于G，则（a×b）×c=a×（b×c）;存在单位元1属于G，即对任意a属于G，满足1×a=a×1=a;对任何a属于G，存在逆元素b，a×b=b×a=1。 如同高斯所证明的，每个n次复系数方程有n个复根。依照排列组合原理，n个根有n阶乘（n！）个置换，它们在乘法意义上构成置换群Sn。例如，三次方程的三个根x1、x2、x3组成的置换群S3共有6个元素，如果用下标表示的话便是（1），（12），（13），（23），（123）和（132），其中（1）表示恒等置换，（12）表示x1和x2互换，而（123）表示x1、x2、x3轮换。
按照拉格朗日定理，对有限群来说，子群的阶数（元素个数）必整除群的阶数，两者相除所得的整数叫指数。伽罗瓦定义了正规子群，它是一种性质较好的子群。例如，（1）（123）（132）组成的子群H是正规子群，階数最高的正规子群称为最大正规子群。对于方程的可解性判断来说，伽罗瓦理论的精妙之处在于：n次方程根式可解当且仅当它的置换群Sn的最大正规子群系列之间的指数均为素数。
例如，S3的最大正规子群系列为S3、H、单位元群，其指数6/3=2，3/1=3，均为素数，故根式可解。而对于S4来说，它有24个元素，其最大正规子群G4有12个元素，G4的最大正规子群G3有4个元素，G3的最大正规子群G2有2个元素，最大正规子群系列的指数分别为24/12=2，12/4=3，4/2=2，2/1=2，均为素数，故也根式可解。
当n>4时，Sn的最大正规子群An共有n！/2个元素，而An的正规子群只有单位元群，因此其最大正规子群系列的指数为2和n！/2，后者当n>4是必不为素数。依据伽罗瓦理论，方程没有一般根式解。多么美妙简洁的判断和证明！这是十八岁的伽罗瓦的独立发现。它先是由理查德带给柯西，尔后又以《一个方程可以通过开方解出的条件》为题，递交给法兰西科学院，参与那年的数学大奖赛。
遗憾的是，法国数学的执牛耳者柯西忽视了伽罗瓦的论文（此时勒让德已老态龙钟），科学院秘书傅里叶又突然逝去，遗失了伽罗瓦的论文。如前所说，最后大奖颁给了德国数学家雅可比和已经去世的阿贝尔。说到柯西，他是历史上最多产的数学家之一，以他名字命名的定理遍布高等数学教程，而傅里叶发明的三角级数理论是应用数学最强有力的工具之一。
说到伽罗瓦理论，那是一种更一般的理论形式，这要依赖阿贝尔首先提出的“域”的概念。域是至少有两个元素的数集，它对应加减乘除（除数不为0）运算是封闭的，记为F（field）。正如群有子群，数域也有子域，若K是F的子域，则F是K的扩域。显而易见，有理数、实数和复数都是域。有理数域是最小的域，实数域和复数域都是它的扩域。此外，形如a+b（a和b是有理数）的全体也是域。
伽罗瓦定义了“方程的群”（伽罗瓦群），它是由一部分置换组成的子群，这些置换保持根的代数关系不变，即具有对称性。伽罗瓦证明了，对任意n，总能找到一些方程，其伽罗瓦群为整个Sn。而伽罗瓦扩域基本定理是说，方程的系数域与根域之间的所有域与伽罗瓦群的所有子群之间存在一一对应关系。这是伽罗瓦理论的核心，它帮助我们通过研究较为简单的置换群来解决复杂的域的问题。
报考综合理工学校失利和成果两次错失被承认的机会，远不是伽罗瓦最背运的遭遇。十八岁那年，他又一次报考综合理工学校，其结果是“一个较高智商的考生在一个较低智商的考官面前失败了”。从此，这所大学对他永远关闭了大门，因为只允许每个考生报考两次。据说，一道口试题他明明答对却被判错。离开考场前，愤怒的伽罗瓦把黑板擦掷到考官脸上。
最沉重的打击是父亲的惨死，那件事发生在他第二次报考综合理工学校前夕。作为镇长的老伽罗瓦支持市民反对神父，成为教士们恶意攻击的对象，一个诡计多端的年轻神父利用镇长喜欢写诗的癖好，模仿他的语气写了一首下流肮脏的诗，并签上镇长大名在市民中间散发。这让极其正派的镇长无地自容，他独自去了巴黎，在离儿子学校不远处某个地方打开煤气窒息而亡。
进不了综合理工学校，伽罗瓦只得去投考师范预科学校，即如今赫赫有名的巴黎高等师范学校，当时它的声望并不高。尽管遇到麻烦，偏科严重的伽罗瓦还是被录取了。一八三○年，伽罗瓦发表了两篇方程论文和一篇数论论文，后者首次提出了有限域的概念。然而，革命的枪声响起，义无反顾参与其中的伽罗瓦不久被学校开除。第二年，他又两次作为政治犯被捕，最后一次判了六个月徒刑，关押在巴黎的圣佩拉杰监狱。
一八三二年春天，巴黎霍乱流行，每天有上百人死亡。伽罗瓦得以被假释，从监狱转移到“康复之家”。在那里，他经历了一生唯一的恋爱。可是，这次恋爱既短暂又不幸。不满十七岁的少女斯蒂芬妮是“康复之家”主人的女儿，她在激起伽罗瓦对其产生兴趣后又冷淡了他。他随后写信给一位朋友，“我对一切的幻想已破灭，甚至对爱情和名声的幻想也已破灭”。
二○○二年八月五日是阿贝尔二百周年诞辰，这一天挪威政府宣布设立阿贝尔数学奖，以弥补邻国瑞典的诺贝尔所设奖项的缺陷。按照挪威国王的提议，阿贝尔奖的奖金接近诺贝尔奖，每届获奖人数最多两名，少于诺贝尔科学奖的获奖人数。第一届阿贝尔奖于二○○三年颁发，得主是伽罗瓦同胞塞尔。至今，此奖设立还不到二十年，却已取代历史悠久的沃尔夫奖，成为数学领域最重要的终身成就奖。
颁发阿贝尔数学奖的奥斯陆大学法学院
在阿贝尔之前，挪威从未产生过一位世界级的科学或文化巨人，但在阿贝尔之后，却在不同领域接连出现彪炳史册的人物：戏剧家易卜生、作曲家格里格、艺术家蒙克、探险家阿蒙森。这其中，写作了《玩偶之家》和《皮尔·金特》的易卜生是在阿贝尔去世前一年出生的，而蒙克频频在忧郁、惊恐的精神控制下，以扭曲的线条表现暗淡的人生，又常让人想起阿贝尔的悲惨命运。 在数学领域，挪威也是人才辈出。例如索菲斯·李（Sophus Lie，1842-1899），二十一世纪两个十分重要的数学分支—李群和李代数均得名于他。一八七二年，德国数学家克莱因发表了《埃尔兰根纲领》，试图用群论的观点统一几何学乃至整个数学，他所依赖的正是李的工作。二○○七年过世的美国数学家赛尔伯格也是挪威人，曾因给出素数定理的初等证明荣获菲尔茨奖。
在阿贝尔去世三年以后，伽罗瓦面临一场决斗，地点在巴黎郊区一个小湖附近。至于决斗的对手，在相隔近两个世纪后仍然扑朔迷离。政敌、学弟，抑或女孩的父亲？反正最后的结局是，伽罗瓦被对手射中了腹部，并不是他的枪法不准，而是两把手枪里只有一把有子弹。后来，他被一个农夫送到医院，于次日去世。只有弟弟被通知赶到医院，伽罗瓦安慰他说，“不要哭，我需要我的全部勇气在二十岁时死去”。
在决斗前夜，伽罗瓦预感到自己的结局不妙，他写下了三封绝笔信。两封是给他的政党同道，希望他们不要责怪杀死他的人，另一封是科學遗嘱，几乎完整地表述了深奥的伽罗瓦理论。伽罗瓦去世两天后，他的遗体被安葬在蒙巴纳斯公墓，具体地点无人知晓。而在他故乡小镇拉赖因堡的公墓里，在他的亲人们安葬的墓旁边，后来竖立起一座伽罗瓦纪念碑。
伽罗瓦纪念碑，在他的出生地小镇墓地
伽罗瓦的工作开启了近世代数的研究，不仅解决了方程可解性这一难题，更重要的是，群概念的引进导致代数学在对象、内容和方法上的深刻变革。实际上，环、域和向量空间等代数结构也可看作是具有附加运算和公理的群。群作为“数学抽象的最高艺术”，有着越来越广泛的应用，从晶体结构到基本粒子，从量子力学到材料科学，群论也是公钥密码术的核心。正是由于阿贝尔和伽罗瓦的工作，数学家们得以把更多精力投入到数学内部的发展和革新。
一九二九年，在阿贝尔逝世一百周年之际，挪威发行了一套四枚不同面值和颜色的纪念邮票。半个世纪以后，他的肖像印在挪威面值最高的五百克朗纸币上。在阿贝尔的故乡弗罗兰和首都奥斯陆，都立有他的塑像。相比之下，法国杰出的人才实在太多了，包括伟大的数学家。不过，巴黎第二十区有条街道以伽罗瓦的名字命名。
无论如何，阿贝尔和伽罗瓦这对数学精灵生活在同一个时代，世所罕见。尽管他们成长的环境截然不同，一个在贫穷落后的挪威荒岛，一个在科学发达的法国首都，命运却十分相似。虽说他们念中学时都遇到一位好老师，但他们的伟大成就生前都被忽视了。最后的结局是，一个死于疾病，一个死于决斗。而在他们身后，都被公认为是十九世纪乃至是人类历史上最伟大的数学家之一。
尽管生前阿贝尔写作和发表的论文比伽罗瓦要多许多，最终的成就却旗鼓相当。代数里有所谓的阿贝尔群和伽罗瓦域。群是伽罗瓦的发现，阿贝尔群指任意两个元素的运算交换秩序之后保持不变的群，即交换群;域是阿贝尔的创造，伽罗瓦域指域中的元素只有限多个，即有限域。可以说，群和域这对名词意味着阿贝尔与伽罗瓦这两位数学天才的珠联璧合。
—理查德·费曼
一对数学精灵
一八二六年秋天，二十四岁的挪威青年尼尔斯·亨利克·阿贝尔（Niels Henrik Abel）来到巴黎，此时的他已经取得非凡的数学成就，包括证明五次和五次以上方程没有一般根式解，正在等待法兰西科学院大咖们的赏识和肯定。在离阿贝尔住处几公里远的路易学校，十五岁的法国少年埃瓦里斯特·伽罗瓦（?variste Galois）却遇到麻烦，在进入该校的第四个年头，他的修辞课大大退步（可能没过及格线），他留级了。
在此期间，伽罗瓦的一位同学为他画了一幅素描，那是我们今天见到的伽罗瓦像。在任何一部数学史中，我们都会看见，十五岁的迷惘少年与那些睿智老成的数学家（如笛卡尔、牛顿、莱布尼茨、欧拉等）并列在一起。有趣的是，也是在巴黎，阿贝尔遇见一位同胞画家，他为阿贝尔画了唯一的肖像画。阿贝尔和伽罗瓦都有着微卷的头发、清澈而略带忧郁的眼睛，真是一对神奇的精灵。
因为留级，伽罗瓦遇到了见习数学老师维纳。维纳向同学们推荐了勒让德的《几何原理》，比起赫赫有名的欧几里得《几何原本》，这本一七九四年版的数学著作更容易读懂。据说如饥似渴的伽罗瓦只用两天就读完此书，而它原本是足足两年课程的教材。值得一提的是，德意志数学天才黎曼恰好在那年出生，他在中学期间也只用六天时间读完了勒让德的另一部巨著《数论》。
伽罗瓦被数学迷住了，他贪婪地阅读原始著作和文献，就像如今的小朋友痴迷于哈利·波特系列故事，伽罗瓦完全沉浸于不久以前逝去的数学家拉格朗日的著作。面对此情此景，修辞老师无奈地说，“在伽罗瓦的作业里除了奇怪的幻想和粗心大意以外一无是处”，“他已经沉迷于数学的激动中……对其他事物视若无睹……如果他的父母只允许他研究数学，我认为那对他来说是最好的”。
两年以后，伽罗瓦参加了巴黎综合理工学校入学考试，结果名落孙山，自然是因为“在某个领域知识太多，而其他领域知识太少”。他只好在路易学校再读一年，幸运的是，他进了理查德的数学专门班。理查德发现这位学生的数学天赋远超其他同学，就给了他一等奖学金。老师保留了他所有课堂笔记本，正如母亲和姐姐保留了他少年时代所有画作，他们都认定伽罗瓦是天才。
无独有偶。当阿贝尔十三岁那年离开故乡，进入挪威首都奥斯陆（当时叫克里斯蒂安尼亚）一所教会学校时，也曾遭遇一些挫折。可是不久，他遇到一位叫霍尔姆伯的数学老师。霍尔姆伯非常欣赏阿贝尔，成了阿贝尔的启蒙老师和第一个伯乐。霍尔姆伯教如饥似渴的阿贝尔学习高等数学，鼓励他阅读瑞士数学家欧拉、德国数学家高斯、法国数学家拉格朗日和泊松的著作。
一八二一年，十九岁的阿贝尔幸运地进入新成立的挪威第一所大学—皇家弗雷德里克大学（后易名奥斯陆大学）。更幸运的是，有三位教授愿意为聪明好学、家境贫困的阿贝尔解囊相助，其中一位教授允许阿贝尔随意出入自己的家。另一位教授则资助他第一次离开挪威，去哥本哈根旅行。五年以后，阿贝尔又获得挪威政府的旅行奖学金，经过柏林来到了巴黎。
三次和四次方程
说到五次方程求解的意义，我们要从古希腊说起。在古希腊，几何学曾是数学的代名词。柏拉图学园的入口处写着，“不懂几何学的请勿入内”。而数学就像毕达哥拉斯定义的单词词根，指一切可以学到的知识，那更多的是一种哲学含义。究其原因，几何学可以通过图像，而不怎么需要文字和符号来推理表达，因此更容易自由发展，这也是欧几里得几何学得以率先诞生的原因。
对于一次和二次方程，因为比较简单，在没有方便的符号体系下，包括“四大文明”在内的古老文明都能自己找到解答，甚至知道利用根式给出的表达方法。只不过，有的民族只取正值解，有的民族（二次方程）只取一个解或实数解。而要说到一般的代数方程和它的求解，首先要提到丢番图，他是古希腊最后一位数学大家，生活在公元三世纪的亚历山大。
丢番图最重要的著作是《算术》，这是一部划时代的数学名著。共有十三卷，但很長时间人们只见到其中的六卷希腊文本。直到一九七三年，才在伊朗马什哈德发现四卷阿拉伯文译本。这十卷书中共有二百九十个数学问题，大多数是数论问题，其中希腊文本中的第二卷第八题是有关毕达哥拉斯数组。十七世纪《算术》拉丁文译本出版以后，引起了法国数学家费马的兴趣，演变成赫赫有名的费马大定理。除数论问题以外，《算术》还涉及一些代数问题和思想。但它不像之前的代数问题那样披着几何的外衣，而是还原代数本身的模样。对于一次方程，丢番图采用“移项”和“合并同类项”等技巧，这与我们现在的解题思路是一致的。对于二次方程，虽说丢番图已懂得负数的运算法则，但只满足于寻找正有理数解，且如果有两个正根时，他只取较大的那个。
更有价值的是，丢番图比较系统地提出了代数符号概念。例如，他用希腊字母的前几个α、β、γ表示数字1、2、3，而用其他字母表示未知数不同的幂次。他采用速记的形式来表达高次方程，这样的表达可以称之为速记代数。十六世纪以前的欧洲，用一套符号使得书写更为方便、简洁的只有丢番图一人。可以说，丢番图使得代数从几何形式中解脱出来，成为数学的一个重要分支。 值得一提的是，古代中国尤其是宋元时期的數学取得了辉煌的成就。南宋秦九韶发明了用迭代法求高次方程近似解（正根）的“正负开方术”，被现代人称为秦九韶算法。元代李冶发明“天元术”，用特定汉字表示未知数，打破了以《九章算术》为代表的“文辞代数”。稍后朱世杰发明“四元术”，将其推广到四个未知数的情形。他们的工作堪称“半符号代数”。
在印度，七世纪的数学家婆罗摩笈多首先得到了0的运算法则，他给出了二次方程的求根公式，允许系数可正可负，他还用数上方加点的方式来表示负数，用不同的颜色首字母表示不同的未知数，效果与字母表达的方程十分接近。到了十二世纪，婆什伽罗给出的二次方程求根公式与现代的如出一辙，他还讨论了个别的三次方程和双二次方程。
阿拉伯数学家花拉子密生活在九世纪，他对二次方程做了全面系统的讨论。更重要的是，他的著作《代数学》在一一四○年被译成拉丁文出版后，在欧洲被用作标准的教科书长达数个世纪，代数学（Algebra）因此书而得名，他本人的名字则成为“算法”（Algorithm）。与丢番图一样，花拉子密也享有“代数学之父”的美名。
时光到了十六世纪，在亚平宁半岛，三次方程和四次方程的求解即将取得里程碑式的进展。在此之前，在哥伦布到达美洲两年之后的一四九四年，他的意大利同胞数学家帕乔利在一部百科全书式的数学巨著最后以悲观的语调写道，“对于三次和四次方程，直到现在还不可能形成一般规则”。他还认定，那无疑与古希腊遗留下来的化圆为方问题一样困难。
或许，正是为了挑战帕乔利的悲观论调，他的同胞数学家们接连取得了突破性的进展。先是欧洲最古老的博洛尼亚大学数学教授费罗解出了缺项的三次方程x3+mx=n（系数为正），接着，自学成才的塔尔塔利亚（意思是口吃者，起因于入侵法国士兵的砍刀）不仅也能解上述三次方程，同时他还会解方程x3+mx2=n（要求系数为正）。
一五三五年，在费罗去世九年后，他的徒弟菲尔奥与塔尔塔利亚有过一场公开的数学竞赛。这是那个时代数学家的传统，他们相互出同样数量的题目（方程），然后在规定的时间内交卷，结果当然塔尔塔利亚大获全胜。借这个东风，塔尔塔利亚后来完全解决了三次方程的求解问题，即与二次方程的求解一样，通过根式来表达。
这场竞赛引起了米兰医生卡尔达诺的注意，他本是医术高超的名医，却嗜赌成性，家庭也遭遇不幸，妻子早逝，长子杀妻被处绞刑，幼子偷窃进了牢房。数学是卡尔达诺最大的安慰，他写过一本研究概率的书，后来被解方程问题给迷住了。卡尔达诺邀请塔尔塔利亚去米兰，好酒好肉招待三天之后，在保证不外传情况下，后者以诗歌的形式向他透露解三次方程的秘籍。
古希腊的毕达哥拉斯定理也是以诗歌的语言叙述的。塔尔塔利亚告知的解法是费罗已掌握的那类三次方程。卡尔达诺经过钻研，把其他形式的三次方程也解了出来。协助卡尔达诺的是他的助理费拉里。费拉里十分聪明，紧接着他把四次方程的解也求出来了，即对一般的四次方程，他都可以通过转化变为三次方程，从而给出根式的一般解答。
一五四五年，卡尔达诺到博洛尼亚造访了费罗的学生兼女婿纳夫，看到费罗手稿上早就有塔尔塔利亚透露给他的解法之后，便在当年出版了《大术》一书，将三次方程和四次方程的解法公之于众，其中提到了费罗、塔尔塔利亚和费拉里等人的工作。这部书轰动了欧洲数学界，卡尔达诺也成为响当当的人物。虽然书中提及塔尔塔利亚的贡献，但后者对于卡尔达诺的背信弃义仍十分恼火。
塔尔塔利亚不仅公开指责卡尔达诺，而且要求与他直接竞赛较量，仿佛为名誉或爱情而战的一场决斗。对此正处于丧妻之痛的卡尔达诺保持了沉默，起身迎战的是年轻的费拉里。结果在米兰客场作战的塔尔塔利亚因不太会解四次方程，未等裁决结果出来便离开了，后来郁郁寡欢抱恨而终。名声大振并出任博洛尼亚大学教授的费拉里也乐极生悲，据说他最后是被贪财的姐姐用砒霜毒死的。
阿贝尔定理
三次和四次方程求解问题解决以后，五次方程自然摆在所有数学家面前。而自从一五四五年卡尔达诺出版《大术》，到阿贝尔上大学，时光已流逝了近三个世纪，这个棘手的问题依然存在。这期间，法国人韦达早已在一五九一年研究出二次方程根与系数关系的韦达定理，这个定理后来被荷兰数学家吉拉德推广到一般n次方程的情形。
不仅如此，韦达还把代数问题符号化，他用辅音字母表示已知数，元音字母表示未知数。遗憾的是，这种方法不容易区分已知数和未知数。后来，韦达的同胞笛卡儿建议，用最前面的字母a、b、c等表示已知数，用最后面的字母x、y、z等表示未知数。这样的表示法一目了然，逐渐地被推广到全世界并沿用至今。
代数方程的理论问题则要等到十八世纪末，由德国数学王子高斯来完成。一七九九年，二十二岁的高斯在其博士论文中首次严格证明了：任何实系数的n次方程至少有一个复根。由此人们不难推出，n次方程有n个复根。一八四九年，在庆祝取得博士学位五十周年之际，高斯给出了上述定理的第四个证明，他证明了：任何复系数的n次方程都至少有一个复根。这个定理被称为代数基本定理。
现在，我们要说说阿贝尔的工作了。在中学最后一年，他雄心勃勃地试图解决一般五次方程的根式求解问题。不久他找到了求解公式，他的老师霍尔姆伯看不出证明的破绽。于是，这篇文章便寄给了一位丹麦数学家，那位数学家也没看出毛病，却谨慎地建议他再举例说明。斟酌之下，阿贝尔终于发现论证本身存在漏洞。
其实，拉格朗日在五次方程求解问题上也栽过跟头。他后来认识到，用类似三次和四次方程求解的方法去导出五次方程的解是不可能的。比拉格朗日晚一辈的意大利数学家鲁菲尼对这个问题也进行了一番努力，他写成了一篇五百多页的论文，证明一般五次方程不能通过一个公式求解。然而，他的证明既冗长又有漏洞，并未被人们接受，同时也鲜为人知。 上大学以后，阿贝尔也开始往相反方向使力。终于在一八二四年，他成功地证明了五次或五次以上的方程不存在一般根式解。可是，依然没有人可以验证他的证明。翌年，在教授们的帮助下，他获得挪威政府的旅行奖学金，准备去拜访西欧国家一些知名数学家。可是，阿贝尔只是在柏林遇到一位业余数学爱好者兼出版家克莱尔，他是继霍尔姆伯之后第二个对他的事业有较大帮助的人。
克莱尔与霍尔姆伯都相信，阿贝尔是了不起的数学家。克莱尔在一八二六年创办了一本叫《纯粹数学与应用数学杂志》的期刊，首卷即发表了阿贝尔的七篇论文，其中包括《四次以上方程的不可解证明》。在前三卷里，居然连续发表了阿贝尔的二十二篇论文，内容涉及面很广，包含方程论、无穷级数、椭圆函数论等。可是，这本如今德国最重要的数学杂志在当时并没有什么影响力。
在巴黎，那时和现在一样，每到夏天大多数人都到海滨避暑去了。阿贝尔潜心于数学问题，完成了一篇关于超越函数的论文，递交给法国数学界的元老勒让德和权威柯西审阅，却被忽视了。椭圆函数是复分析理论中非常重要的一种双周期亚纯函数，由阿贝尔首先定义，他把它看作椭圆积分的反函数。如今椭圆函数在数论和物理学中都有着广泛的应用，与椭圆曲线和模形式也有着深刻的联系。
后来，比阿贝尔小两岁的德国数学家雅可比称赞阿贝尔的这篇论文“也许是这个世纪最伟大的数学发现”。多年以后，年轻一代的法国数学家埃尔米特仍然赞叹，这篇论文里“留下来的东西足够让数学家们忙碌五百年”。一八三○年，为了弥补以往的过失，法国科学院同时授予阿贝尔和雅可比数学大奖。遗憾的是，前一年阿贝尔已经病逝。
再来说说让阿贝尔获得信心和旅行奖学金的那篇有关高于四次的方程不可解性的论文，在他出发旅行之前，便在奥斯陆印刷了好多份。可是，为了节省费用，阿贝尔把论文压缩成只有六页的篇幅。这样一来，对大多数人来说，即便是数学同行，也几乎像密码一样晦涩难读了。其结果是，原先阿贝尔希望作为“名片”或敲门砖的论文没有起到任何效果。
高斯在哥廷根自然也收到一份，但他恐怕不会相信，这么一个世界性难题被一个名不见经传的来自偏远地区的年轻人用这么几页纸给解决了。高斯并没有把它扔进废纸篓，而是夹在一叠纸或某两本书之间。高斯去世以后，有人在整理他的遗物时发现，内置阿贝尔论文的信封并没有被裁开。在这一不幸事件中，蒙受损失的不仅是阿贝尔，也包括整个数学学科。
阿贝尔证明了高于四次的方程没有一般的根式解的关键在于，他修正了鲁菲尼证明中的一个缺陷，尽管他并不知晓后者的工作。阿贝尔证明的是如今被称为阿贝尔定理的命题：如果一个方程能用根式求解，那么出现在根的表达式中的每个根式，一定可以表示成该方程的根和某些单位根的有理函数。正是利用这个定理，阿贝尔证明了五次或五次以上的方程没有一般的根式解。
另一方面，阿贝尔并未否定对某些特殊的高次方程来说存在根式解的可能性。事实上，早在一八○一年出版的《算术研究》里，高斯已经证明，分圆方程xp-1=0（p为素数）可以根式求解。阿贝尔也考虑了一类能用根式求解的特殊方程，现在这类方程被称为阿贝尔方程。尤其是，他引进了两个十分重要的概念—“域”和“不可约多项式”。遗憾的是，因为早逝，他没有完全解决方程的求解问题，这项工作要留待伽罗瓦来完成。
一八二七年，阿贝尔万分无奈地返回祖国。之后他的生活变得更为艰难，没有固定的工作和收入，只能以私人授课维持生计。翌年，他在一所大学找到代课教师职位，可是不久，他的身体却垮了，他得了肺结核（一说他在巴黎时已患上），这在那个年代是不治之症（黎曼患的也是同一种疾病）。一八二九年四月六日，不满二十七周岁的阿贝尔走完了他短暂的一生。
令人欣慰的是，阿贝尔生前体验过爱的滋味。一八二三年，即阿贝尔证明高于四次的方程不可解的头一个夏天，他在一位教授的资助下，去哥本哈根过暑假，在那里见到了几位著名数学家。在哥本哈根，他遇见了同胞克里斯汀，那是在她叔叔家的舞会上。当乐队演奏起华尔兹时，两人尴尬地站在那里，他们对这一新舞曲不甚了解，于是一起悄悄地离开。
第二年圣誕节过后，阿贝尔向他的同学和老师们宣布他订婚了。但阿贝尔尚且不能养活自己，更无力迎娶克里斯汀。一八二八年圣诞节，他乘雪橇回去看望未婚妻，途中病情加重;虽然暂时的好转让他们一起享受了假期，但他最终没有熬过那年春天。
就在阿贝尔去世后的第三天，克莱尔的一封信到达挪威。原来克莱尔一直在柏林为阿贝尔找工作，最终成功地让他获得柏林大学的教授职位。但是，这个好消息来得太晚了。此外，四位法国科学院院士也曾联袂给瑞典-挪威国王写信，希望他重视阿贝尔这位天才。除了证明高于四次的方程不存在根式解以外，阿贝尔还是椭圆函数论的奠基人之一，他为无穷级数理论奠定了严密的基础，同时求解出了第一个积分方程。
伽罗瓦理论
一八二七年春天，就在阿贝尔去世前五天，还是中学生的伽罗瓦发表了第一篇论文，那是一篇有关连分数的论文，但他并不满足于此。与阿贝尔一样，伽罗瓦起初也把目标对准五次和五次以上方程的可解性问题，他着力于寻找这类方程的一般根式解，以求一鸣惊人。可是后来，他也转移了目标。
为了研究方程的可解性问题，伽罗瓦发明了“群”的概念，进而他建立起一门新的数学分支，现在人们称这套方法为伽罗瓦理论。所谓群，是由一些元素组成的，记为G（group）。这些元素之间存在一种运算×，它满足四条性质：封闭性，a和b属于G，则a×b也属于G;结合律，a、b、c属于G，则（a×b）×c=a×（b×c）;存在单位元1属于G，即对任意a属于G，满足1×a=a×1=a;对任何a属于G，存在逆元素b，a×b=b×a=1。 如同高斯所证明的，每个n次复系数方程有n个复根。依照排列组合原理，n个根有n阶乘（n！）个置换，它们在乘法意义上构成置换群Sn。例如，三次方程的三个根x1、x2、x3组成的置换群S3共有6个元素，如果用下标表示的话便是（1），（12），（13），（23），（123）和（132），其中（1）表示恒等置换，（12）表示x1和x2互换，而（123）表示x1、x2、x3轮换。
按照拉格朗日定理，对有限群来说，子群的阶数（元素个数）必整除群的阶数，两者相除所得的整数叫指数。伽罗瓦定义了正规子群，它是一种性质较好的子群。例如，（1）（123）（132）组成的子群H是正规子群，階数最高的正规子群称为最大正规子群。对于方程的可解性判断来说，伽罗瓦理论的精妙之处在于：n次方程根式可解当且仅当它的置换群Sn的最大正规子群系列之间的指数均为素数。
例如，S3的最大正规子群系列为S3、H、单位元群，其指数6/3=2，3/1=3，均为素数，故根式可解。而对于S4来说，它有24个元素，其最大正规子群G4有12个元素，G4的最大正规子群G3有4个元素，G3的最大正规子群G2有2个元素，最大正规子群系列的指数分别为24/12=2，12/4=3，4/2=2，2/1=2，均为素数，故也根式可解。
当n>4时，Sn的最大正规子群An共有n！/2个元素，而An的正规子群只有单位元群，因此其最大正规子群系列的指数为2和n！/2，后者当n>4是必不为素数。依据伽罗瓦理论，方程没有一般根式解。多么美妙简洁的判断和证明！这是十八岁的伽罗瓦的独立发现。它先是由理查德带给柯西，尔后又以《一个方程可以通过开方解出的条件》为题，递交给法兰西科学院，参与那年的数学大奖赛。
遗憾的是，法国数学的执牛耳者柯西忽视了伽罗瓦的论文（此时勒让德已老态龙钟），科学院秘书傅里叶又突然逝去，遗失了伽罗瓦的论文。如前所说，最后大奖颁给了德国数学家雅可比和已经去世的阿贝尔。说到柯西，他是历史上最多产的数学家之一，以他名字命名的定理遍布高等数学教程，而傅里叶发明的三角级数理论是应用数学最强有力的工具之一。
说到伽罗瓦理论，那是一种更一般的理论形式，这要依赖阿贝尔首先提出的“域”的概念。域是至少有两个元素的数集，它对应加减乘除（除数不为0）运算是封闭的，记为F（field）。正如群有子群，数域也有子域，若K是F的子域，则F是K的扩域。显而易见，有理数、实数和复数都是域。有理数域是最小的域，实数域和复数域都是它的扩域。此外，形如a+b（a和b是有理数）的全体也是域。
伽罗瓦定义了“方程的群”（伽罗瓦群），它是由一部分置换组成的子群，这些置换保持根的代数关系不变，即具有对称性。伽罗瓦证明了，对任意n，总能找到一些方程，其伽罗瓦群为整个Sn。而伽罗瓦扩域基本定理是说，方程的系数域与根域之间的所有域与伽罗瓦群的所有子群之间存在一一对应关系。这是伽罗瓦理论的核心，它帮助我们通过研究较为简单的置换群来解决复杂的域的问题。
报考综合理工学校失利和成果两次错失被承认的机会，远不是伽罗瓦最背运的遭遇。十八岁那年，他又一次报考综合理工学校，其结果是“一个较高智商的考生在一个较低智商的考官面前失败了”。从此，这所大学对他永远关闭了大门，因为只允许每个考生报考两次。据说，一道口试题他明明答对却被判错。离开考场前，愤怒的伽罗瓦把黑板擦掷到考官脸上。
最沉重的打击是父亲的惨死，那件事发生在他第二次报考综合理工学校前夕。作为镇长的老伽罗瓦支持市民反对神父，成为教士们恶意攻击的对象，一个诡计多端的年轻神父利用镇长喜欢写诗的癖好，模仿他的语气写了一首下流肮脏的诗，并签上镇长大名在市民中间散发。这让极其正派的镇长无地自容，他独自去了巴黎，在离儿子学校不远处某个地方打开煤气窒息而亡。
进不了综合理工学校，伽罗瓦只得去投考师范预科学校，即如今赫赫有名的巴黎高等师范学校，当时它的声望并不高。尽管遇到麻烦，偏科严重的伽罗瓦还是被录取了。一八三○年，伽罗瓦发表了两篇方程论文和一篇数论论文，后者首次提出了有限域的概念。然而，革命的枪声响起，义无反顾参与其中的伽罗瓦不久被学校开除。第二年，他又两次作为政治犯被捕，最后一次判了六个月徒刑，关押在巴黎的圣佩拉杰监狱。
一八三二年春天，巴黎霍乱流行，每天有上百人死亡。伽罗瓦得以被假释，从监狱转移到“康复之家”。在那里，他经历了一生唯一的恋爱。可是，这次恋爱既短暂又不幸。不满十七岁的少女斯蒂芬妮是“康复之家”主人的女儿，她在激起伽罗瓦对其产生兴趣后又冷淡了他。他随后写信给一位朋友，“我对一切的幻想已破灭，甚至对爱情和名声的幻想也已破灭”。
迟来的荣誉
二○○二年八月五日是阿贝尔二百周年诞辰，这一天挪威政府宣布设立阿贝尔数学奖，以弥补邻国瑞典的诺贝尔所设奖项的缺陷。按照挪威国王的提议，阿贝尔奖的奖金接近诺贝尔奖，每届获奖人数最多两名，少于诺贝尔科学奖的获奖人数。第一届阿贝尔奖于二○○三年颁发，得主是伽罗瓦同胞塞尔。至今，此奖设立还不到二十年，却已取代历史悠久的沃尔夫奖，成为数学领域最重要的终身成就奖。
在阿贝尔之前，挪威从未产生过一位世界级的科学或文化巨人，但在阿贝尔之后，却在不同领域接连出现彪炳史册的人物：戏剧家易卜生、作曲家格里格、艺术家蒙克、探险家阿蒙森。这其中，写作了《玩偶之家》和《皮尔·金特》的易卜生是在阿贝尔去世前一年出生的，而蒙克频频在忧郁、惊恐的精神控制下，以扭曲的线条表现暗淡的人生，又常让人想起阿贝尔的悲惨命运。 在数学领域，挪威也是人才辈出。例如索菲斯·李（Sophus Lie，1842-1899），二十一世纪两个十分重要的数学分支—李群和李代数均得名于他。一八七二年，德国数学家克莱因发表了《埃尔兰根纲领》，试图用群论的观点统一几何学乃至整个数学，他所依赖的正是李的工作。二○○七年过世的美国数学家赛尔伯格也是挪威人，曾因给出素数定理的初等证明荣获菲尔茨奖。
在阿贝尔去世三年以后，伽罗瓦面临一场决斗，地点在巴黎郊区一个小湖附近。至于决斗的对手，在相隔近两个世纪后仍然扑朔迷离。政敌、学弟，抑或女孩的父亲？反正最后的结局是，伽罗瓦被对手射中了腹部，并不是他的枪法不准，而是两把手枪里只有一把有子弹。后来，他被一个农夫送到医院，于次日去世。只有弟弟被通知赶到医院，伽罗瓦安慰他说，“不要哭，我需要我的全部勇气在二十岁时死去”。
在决斗前夜，伽罗瓦预感到自己的结局不妙，他写下了三封绝笔信。两封是给他的政党同道，希望他们不要责怪杀死他的人，另一封是科學遗嘱，几乎完整地表述了深奥的伽罗瓦理论。伽罗瓦去世两天后，他的遗体被安葬在蒙巴纳斯公墓，具体地点无人知晓。而在他故乡小镇拉赖因堡的公墓里，在他的亲人们安葬的墓旁边，后来竖立起一座伽罗瓦纪念碑。
伽罗瓦的工作开启了近世代数的研究，不仅解决了方程可解性这一难题，更重要的是，群概念的引进导致代数学在对象、内容和方法上的深刻变革。实际上，环、域和向量空间等代数结构也可看作是具有附加运算和公理的群。群作为“数学抽象的最高艺术”，有着越来越广泛的应用，从晶体结构到基本粒子，从量子力学到材料科学，群论也是公钥密码术的核心。正是由于阿贝尔和伽罗瓦的工作，数学家们得以把更多精力投入到数学内部的发展和革新。
一九二九年，在阿贝尔逝世一百周年之际，挪威发行了一套四枚不同面值和颜色的纪念邮票。半个世纪以后，他的肖像印在挪威面值最高的五百克朗纸币上。在阿贝尔的故乡弗罗兰和首都奥斯陆，都立有他的塑像。相比之下，法国杰出的人才实在太多了，包括伟大的数学家。不过，巴黎第二十区有条街道以伽罗瓦的名字命名。
无论如何，阿贝尔和伽罗瓦这对数学精灵生活在同一个时代，世所罕见。尽管他们成长的环境截然不同，一个在贫穷落后的挪威荒岛，一个在科学发达的法国首都，命运却十分相似。虽说他们念中学时都遇到一位好老师，但他们的伟大成就生前都被忽视了。最后的结局是，一个死于疾病，一个死于决斗。而在他们身后，都被公认为是十九世纪乃至是人类历史上最伟大的数学家之一。
尽管生前阿贝尔写作和发表的论文比伽罗瓦要多许多，最终的成就却旗鼓相当。代数里有所谓的阿贝尔群和伽罗瓦域。群是伽罗瓦的发现，阿贝尔群指任意两个元素的运算交换秩序之后保持不变的群，即交换群;域是阿贝尔的创造，伽罗瓦域指域中的元素只有限多个，即有限域。可以说，群和域这对名词意味着阿贝尔与伽罗瓦这两位数学天才的珠联璧合。