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摘 要：本文作者在高中数学教学实践中， 指出了学生数学解题反思的意义 ，并就解题反思要点进行了一些研究，以期能对提高数学教学质量起到一定的作用。
关键词：解题;反思;数学学习
数学学习的重要途径是解题。很多学生在数学学习中经常搞“题海战术”，认为做得多了，许多概念、定理、公式能理解也能应用了。但许多学生在平时的练习中能熟练解答的题目，过了长时间拿出来就不知如何下手了，到了考试时题目稍微变一下便不会做了。针对这种情况，可以从解题反思抓起。
波利亚“怎样解题”表中的四个步骤：理解题目——拟定方案——实现计划——回顾，其中“回顾”即解题后的反思，它是解题过程中的深化和提高，有利于在原有基础上建立更高层次的认知结构，是一个极其重要而又容易被忽视的环节。
一、高中学生数学解题反思的意义
1.解题反思培养学生思维能力的手段
教育家加里宁说过：“数学是训练思维的体操。”通过对数学问题的求解和反思，可以形成正确的思维方法，建立科学地解题观。从题目变式、解题结果、解题过程、解题方法以及错题的反思，对蕴含的数学思想方法不断思考，可以训练思维的敏捷性、深刻性、发散性、批判性、创造性等数学思维品质。
2.解题反思培养学生解题能力的需要
学生不仅需要通过做题来提升自己解题水平，更需要通过解题反思来提高自己的解题能力。通过解题反思可以拓宽学生的思路，深化对知识的理解，提高数学解题能力。
3.解题反思是适应现在教学实际
学生的数学学习是一种接受性学习，是把已有的经验转化为自己的经验的过程。学生必须把接收到的信息在头脑中重新构建，才能完成经验的接收。所以不管是学生还是老师，都应重视反思，尤其是解题反思，利用反思是学生学会学习，真正成为学习的主人。
二、高中学生解题反思的要点
1.对题目条件、结论反思
反思题目条件或结论，进行一题多变，举一反三。考试时很多题目都是对书上习题的改编，你不仅要熟练掌握书上的例题，习题，若将条件或结论改变一下，也能顺利完成。
例如，求y=x+ （x>0）的最小值。
变式：（1）当x≠0时，求y=x+ 的值域。
（2）求函数y=x- （2≤x≤4）的最值。
（3）函数f（x）=x+ ，是确定其定义域的一种可能情况，使得它的值域为[3，6]。
这是一道开放性题目，学生不仅要领会函数y=x+ （a>0）的图像与性质，而且还要有一定的逆向思维能力。
对题目的条件进行适当的变换，对设问内容进行延伸转化不仅能加强对基础知识的理解，而且能拓宽解题思路，培养创新能力，提高思维品质，增强应变能力。
2.对解题过程的反思
中学课程标准中要求学生通过对解题问题过程的反思，获得解决问题的经验，不断地经历反思与建构思维过程，由此可见解题反思的重要。解题过程是学生独立思考，使所学的知识、方法得以再现和提取的过程。在教学中引导学生养成解题后反思解题过程的习惯。
无锡市2012年春学期普通高中高一期末考试试卷填空题第13题：已知a∈R时，集合[a，a2+2]有且只有3个整数，则a的取值范围为多少？
无锡市2013年春學期普通高中高一期末考试试卷填空题第13题：若关于x的不等式组 恰有一个整数解，则实数k的取值范围为多少？
是填空题的最后第2题，虽然有点难度，但两题解题思路差不多。12年的填空题在考试前很详细的把解题思路，解题过程讲给学生听，学生也边听边把过程记在试卷上。我也提醒学生不怎么理解的课后要再去琢磨一下。但是考试考到13年的13题时，一个班上也只有几位同学答案正确。
所以在平时的数学解题过程中中，不是把答案订正对，过程记下来就行了，应对解题过程进行反思。解题过程是探索的过程，也是不断完善的过程。反思解题过程，也就是反思自己是否理解题意？是否弄清题干与设问之间的联系？是否找到解决问题的突破口？涉及哪些知识点及思想方法？
3.对解题结果的反思
解题后对解题结果的反思，不仅能确保答案准确无误，而且能考察学生解题过程是否严密规范，培养学生思维的严密性和批判性。
对题目的结果有两解，让学生进行讨论，引发学生解题后反思，通过反思来弥补解题中的不足和思维上的缺陷，培养学生思维的严谨性和批判性。
4.对解题方法的反思
在解题时从不同角度去研究问题，探索出不同的解题途径，寻求最佳解题方法。通过反思一题多解，引导学生总结解题规律，发挥学生自身潜能，培养学生创新意识和创新能力。
例如，若不等式x2+ax+x≥0对一切x∈（0， ]成立，求a的最小值。
解法2（方程思想）f（x）=x2+ax+1≥0对一切x∈（0， ]恒成立 方程f（x）=0的根有且仅有下列三种情况：
（1）无实根Δ<0→-2<a<2;
（2）两个小于或等于0的实根
5.对错题的反思
对于“深陷题海”的学生学会反思，勤于反思是切实减轻数学学习负担的主要方法，更为重要的是反思能力的提升促进数学解题能力。当代科学家、哲学家波谱尔说：“错误中往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素。”学生在学习了一些新知识后，在运用的过程中，出现一些错误是在所难免的。作为一名教师，当学生的错误暴露出来时，千万别急着教训学生，要学会善待学生的错误，让学生在错误中反思，从错误中受到启迪，实现从错到不错，从惑到知。学生在解题出现的个体性，恰是提升学生个体思维能力的着力点，抓住契机因人而异，这胜过课堂上的一堂言。
著名数学教育家波利亚说过：“一位好的数学教师使学生应努力保持解题的好胃口。”因为解题是深刻理解和熟练掌握数学理论和方法的必要手段。总之，解题反思是教学中的一个重要环节，教师在教学中要通过引导使学生学会反思，使学生逐步养成反思的良好习惯。学生在反思中能优化数学认知结构，提高学习效率，优化思维品质。
参考文献：
[1]何蕾 章建锋 例说解题后的反思 中学数学月刊 2012.1
[2]数学课程标准 北京师范大学出版社 2002.3
[3]波利亚 怎样解题 上海科技教育出版社
（作者单位：江苏省锡东高级中学，江苏 无锡 214000）
关键词：解题;反思;数学学习
数学学习的重要途径是解题。很多学生在数学学习中经常搞“题海战术”，认为做得多了，许多概念、定理、公式能理解也能应用了。但许多学生在平时的练习中能熟练解答的题目，过了长时间拿出来就不知如何下手了，到了考试时题目稍微变一下便不会做了。针对这种情况，可以从解题反思抓起。
波利亚“怎样解题”表中的四个步骤：理解题目——拟定方案——实现计划——回顾，其中“回顾”即解题后的反思，它是解题过程中的深化和提高，有利于在原有基础上建立更高层次的认知结构，是一个极其重要而又容易被忽视的环节。
一、高中学生数学解题反思的意义
1.解题反思培养学生思维能力的手段
教育家加里宁说过：“数学是训练思维的体操。”通过对数学问题的求解和反思，可以形成正确的思维方法，建立科学地解题观。从题目变式、解题结果、解题过程、解题方法以及错题的反思，对蕴含的数学思想方法不断思考，可以训练思维的敏捷性、深刻性、发散性、批判性、创造性等数学思维品质。
2.解题反思培养学生解题能力的需要
学生不仅需要通过做题来提升自己解题水平，更需要通过解题反思来提高自己的解题能力。通过解题反思可以拓宽学生的思路，深化对知识的理解，提高数学解题能力。
3.解题反思是适应现在教学实际
学生的数学学习是一种接受性学习，是把已有的经验转化为自己的经验的过程。学生必须把接收到的信息在头脑中重新构建，才能完成经验的接收。所以不管是学生还是老师，都应重视反思，尤其是解题反思，利用反思是学生学会学习，真正成为学习的主人。
二、高中学生解题反思的要点
1.对题目条件、结论反思
反思题目条件或结论，进行一题多变，举一反三。考试时很多题目都是对书上习题的改编，你不仅要熟练掌握书上的例题，习题，若将条件或结论改变一下，也能顺利完成。
例如，求y=x+ （x>0）的最小值。
变式：（1）当x≠0时，求y=x+ 的值域。
（2）求函数y=x- （2≤x≤4）的最值。
（3）函数f（x）=x+ ，是确定其定义域的一种可能情况，使得它的值域为[3，6]。
这是一道开放性题目，学生不仅要领会函数y=x+ （a>0）的图像与性质，而且还要有一定的逆向思维能力。
对题目的条件进行适当的变换，对设问内容进行延伸转化不仅能加强对基础知识的理解，而且能拓宽解题思路，培养创新能力，提高思维品质，增强应变能力。
2.对解题过程的反思
中学课程标准中要求学生通过对解题问题过程的反思，获得解决问题的经验，不断地经历反思与建构思维过程，由此可见解题反思的重要。解题过程是学生独立思考，使所学的知识、方法得以再现和提取的过程。在教学中引导学生养成解题后反思解题过程的习惯。
无锡市2012年春学期普通高中高一期末考试试卷填空题第13题：已知a∈R时，集合[a，a2+2]有且只有3个整数，则a的取值范围为多少？
无锡市2013年春學期普通高中高一期末考试试卷填空题第13题：若关于x的不等式组 恰有一个整数解，则实数k的取值范围为多少？
是填空题的最后第2题，虽然有点难度，但两题解题思路差不多。12年的填空题在考试前很详细的把解题思路，解题过程讲给学生听，学生也边听边把过程记在试卷上。我也提醒学生不怎么理解的课后要再去琢磨一下。但是考试考到13年的13题时，一个班上也只有几位同学答案正确。
所以在平时的数学解题过程中中，不是把答案订正对，过程记下来就行了，应对解题过程进行反思。解题过程是探索的过程，也是不断完善的过程。反思解题过程，也就是反思自己是否理解题意？是否弄清题干与设问之间的联系？是否找到解决问题的突破口？涉及哪些知识点及思想方法？
3.对解题结果的反思
解题后对解题结果的反思，不仅能确保答案准确无误，而且能考察学生解题过程是否严密规范，培养学生思维的严密性和批判性。
对题目的结果有两解，让学生进行讨论，引发学生解题后反思，通过反思来弥补解题中的不足和思维上的缺陷，培养学生思维的严谨性和批判性。
4.对解题方法的反思
在解题时从不同角度去研究问题，探索出不同的解题途径，寻求最佳解题方法。通过反思一题多解，引导学生总结解题规律，发挥学生自身潜能，培养学生创新意识和创新能力。
例如，若不等式x2+ax+x≥0对一切x∈（0， ]成立，求a的最小值。
解法2（方程思想）f（x）=x2+ax+1≥0对一切x∈（0， ]恒成立 方程f（x）=0的根有且仅有下列三种情况：
（1）无实根Δ<0→-2<a<2;
（2）两个小于或等于0的实根
5.对错题的反思
对于“深陷题海”的学生学会反思，勤于反思是切实减轻数学学习负担的主要方法，更为重要的是反思能力的提升促进数学解题能力。当代科学家、哲学家波谱尔说：“错误中往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素。”学生在学习了一些新知识后，在运用的过程中，出现一些错误是在所难免的。作为一名教师，当学生的错误暴露出来时，千万别急着教训学生，要学会善待学生的错误，让学生在错误中反思，从错误中受到启迪，实现从错到不错，从惑到知。学生在解题出现的个体性，恰是提升学生个体思维能力的着力点，抓住契机因人而异，这胜过课堂上的一堂言。
著名数学教育家波利亚说过：“一位好的数学教师使学生应努力保持解题的好胃口。”因为解题是深刻理解和熟练掌握数学理论和方法的必要手段。总之，解题反思是教学中的一个重要环节，教师在教学中要通过引导使学生学会反思，使学生逐步养成反思的良好习惯。学生在反思中能优化数学认知结构，提高学习效率，优化思维品质。
参考文献：
[1]何蕾 章建锋 例说解题后的反思 中学数学月刊 2012.1
[2]数学课程标准 北京师范大学出版社 2002.3
[3]波利亚 怎样解题 上海科技教育出版社
（作者单位：江苏省锡东高级中学，江苏 无锡 214000）