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摘 要：北师大版小学数学五年级上册“点阵中的规律”不应只满足于计算出点子数量，更应着眼于“规律”本身，因此搭建摆一摆的活动，进而创造小组活动、找到不同观察所带来的的不同规律，感受多角度观察的思维方法，渗透数形结合与建模思想。
关键词：点阵;规律;多角度;数形结合
《点阵中的规律》是北师大版五年级上册数学好玩《图形中的规律》的后半节课，笔者将它作为一节独立课进行教学。在磨课中，当教师给学生一个自主发现规律的学习单后，学生大多数都填写了“1×1，2×2，3×3……”，对于其他角度观察的规律，比如斜着观察、拐弯观察，学生不仅没有产生这样的观察角度，甚至觉得这样的观察写出来的算式很麻烦。在第三次磨课时，有一个学生居然忍不住喊了出来：“老师，他观察得到的算式太麻烦了！”
难怪每次磨课都不理想，我恍然大悟，原来学生对规律并不认可，他们以为要找的是最佳算法。当我们认为学生会自然地发现点阵的三种观察方法时，我们其实是站在成人的角度上想当然而已。想要贴着学生的思维前行，就要还原点阵的规律本身。
教师如何搭建脚手架，使学生真正去发现更多的规律本身呢？笔者从这个角度出发设计教学活动，放手让学生先有规律地摆一摆5号点阵点阵，为学生的多角度观察搭建脚手架，再让学生自主观察整组点阵并列算式、找规律，让学生获得更多的活动经验，感受“数形结合、多角度观察”的意义。
教学目标：
1、以古希腊毕达哥拉斯学派研究形数的历程为主线，让学生经历自主探究，能在观察（划分）活动中，发现正方形點阵中隐含的规律，体会图形、算式、点数的关系。
2、结合摆一摆、观察、列式、交流等活动，发展归纳和推理能力。
3、通过多角度观察点阵，渗透数形结合与建模思想。
学具准备：铅笔、尺子、橡皮、水笔、磁力板、小磁铁。
教学过程：
一、故事引入，操作铺垫
1、故事引入
师：你们喜欢听数学家的故事吗？今天老师给大家介绍一位古希腊数学家——毕达哥拉斯，他喜欢通过点阵来研究数。开始时，他在沙滩上摆石子，一个石子表示1，两个石子表示2，3个石子表示3……后来他用石子摆出各种各样的图形，比如三角形、正方形、长方形等，借此来研究数，研究算式，并留下了许多宝贵的发现。他在研究中还完成了一项极限挑战，能极速挑战1+3+5+7+9+11+13这些加法算式呢！后人把每个小石子看成点，就组成了我们今天要研究的点阵！
2、观察操作
（1）观察点阵
我们先来看看这组点阵吧！逐个出示点阵图（如下图），看看这些点阵——由点组成的有规律的图形，你有什么发现？
生：都是正方形的，每行和每列的点数一样多。
生：后一个点阵比前一个点阵多一行多一列，点阵越来越大了。
师：很好，大家都是细心、会观察的同学！点阵比较多，我们分别给它们编号：1号点阵，2号点阵……
（2）同桌合作，有规律地摆点阵
师：5号点阵是怎样排列的？你能根据前面4个点阵的规律，有规律地摆出来吗？同桌合作摆一摆，要摆得又快又有规律哦！
同桌合作过程中，教师巡查、指导，发现学生的不同摆法。
师：同学们动作真快，都摆出了5号点阵！谁来说一说怎么摆的呢？
生：我是一行一行摆的。
生：我在4号点阵的基础上再摆一行一列。
生：我是一层一层往外摆的。
教师根据学生的摆法，课件动态演示，并给各种方法命名（如上图）。
师小结：小小的一个点阵，同学们发现了不同的摆法！今天，你们想不想过一把当数学家的瘾，自己来找找这组点阵中的规律？那现在我们开始自主学习——找规律！
[我的思考] 结合数学家的故事引入，能很好地激发学生的学习兴趣。为什么要安排摆一摆的活动呢？若不给学生摆一摆，直接让学生从不同的角度观察点阵、发现规律，留给学生的思考空间会比较多，但在多次磨课中却发现，大多数学生不理解什么叫做“不同角度观察”，反而因为写出乘法算式而沾沾自喜。哪怕有个别学生发现了不同角度观察，也造成“自主探究出规律”的学生比率很低，学生只是被动地听取他人的想法，甚至有些学生认为斜着观察、拐弯观察的列式都太麻烦了。因此，教师有必要在这里安排有规律地摆一摆5号点阵的活动，迫使学生去思考不同的摆法，为后面的“不同角度观察”做铺垫。这样学生的自主探究变得更有目标性，突出重点，也更好地引领了学生，提高学生发现规律的参与度，对规律的体验更为充分。
二、合作探究，交流规律
1、活动要求：
教师出示学习卡，介绍要求：第一步观察，第二步列式，第三步交流，并让学生默读要求，最后请一名学生说一说：我们的活动要完成哪些任务？此处，学生用自己的语言表达后，能更清楚要求。
2、小组活动，汇报交流
学生小组活动，教师巡查指导，发现各种有意思的观察方法和算式，再组织交流。
师：大家在小组活动中非常积极，现在我们邀请几位同学来给大家分享。汇报时，先说一说你的算式，再说说有什么发现。
（1）横着观察
生：我横着观察，第1个点阵有1×1个点，第2个有2×2=4个点，第3个有3×3=9个点……大家有什么疑问吗？
生：你能用图形说明这个3×3的意思吗？
生：横着观察，每行3个，有3行，就是3个3。
师：继续这样观察，第6个点阵怎么计算？第10个点阵呢？（教师追问：没有图形了，你还能想象出图形的样子吗？）
师：第一个点阵1×1，第二个点阵2×2……你们发现了这样观察，点数有什么规律？ 生：第几个点阵就是几×几。
（2）斜着观察
教师展示学生作品，并与学生互动。
师：5号点阵，为什么不加到6？
生：斜着观察时，最多的只有5个点。
师：从这些算式中，大家发现了什么规律？
生：算式是有对称的，中间有一个最大数。
生：都是从1开始加到一个最大的数，然后再往回加到1。
师：继续这样观察，10号点阵怎么列式？
生：假如是10号点阵，可以从1加到10，再加到1.
师：厉害，看起来复杂的算式，却非常有规律！太棒了，还有不同角度观察的吗？
（3）包围法观察
教师展示学生作品，特别注意：只出示算式，遮住图形，不出示观察角度。
师：大家能根据算式，猜一猜他是怎么观察的吗？
生：他是包围法（或拐弯、或直角都行）观察的……（用手指）
师：真厉害。包围法这个词一下子让人听明白了。那谁能结合图形说一说1+3+5+7+9的意思？
生：看这个5号点阵，拐弯观察，分别是1个点，3个点，5个点，7个点，9个点。每次多两个点，将它们相加就是总点数。
教师追问：继续这样观察，第7个点阵怎么列式？
生1：1+3+5+7+9+11+13。最后一个数是13，可以认为是2×7-1得到的，中间重复了一个点。
师：还有不同的发现吗？
生：算是都是从1开始的单数相加的。
师：1号点阵是1，2号点阵有两个数相加，3号点阵有3个数相加 ……这有规律吗？
通过这样的提问，引导学生说出“第几个点阵就从1开始加几个连续单数”。让学生在对比、想象中加深了对算式规律的认识。
三种方法小结：
师：为什么同一个点阵，我们列出了不同的算式？
生：从不同的角度观察，列式就不同，规律就不同。
师：是啊，我们得出了不同的算式，乘法简洁，后面的两种很有规律。以5号点阵为例，这些算式的结果都等于多少？（25）以后我们遇到这些有规律的算式就可以化成这个乘法算式来计算了！还记得我们的极限挑战吗？
3、考考你：极速挑战
（1）1+3+5+7+9+11+13+15+17
生：有9个从1开始的单数，所以结果是9×9=81.
生：最后一个数17=9×2-1，我想到了这是第9个点阵，所以也是81.
（2）1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=？
生：这个有规律的算式中间最大数是9，所以是第9号点阵，结果是9×9=81。
师：虽然是算式，但是大家想到了刚才学习的正方形点阵，用图形来解决算式问题，太神奇了！刚才从不同的角度观察点阵，就列出了不同的算式，这是由形到数的过程，现在看到算式，我们就想到了点阵，这恰恰是由由数返回到形的过程，正如数学家华罗庚说过的一句话：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好！
[我的思考]这是本节课的核心内容——学生自主探究一组点阵中的规律。教师鼓励学生大胆汇报自己发现的规律，并在汇报中激发生生互动，并不断地引导学生思考不同观察方法得到的不同规律，使“规律”成为课堂的主旋律。最后，教师注重多种方法的联结，看似简单的问题，实在让学生快速将方法串联在一起。极限挑战既是对规律的应用，同时又是对规律的升华，挑明数形结合的思想，让数形结合的思想在学生的心中落地生根。
三、趣味点阵，课堂延伸
师：老师还带来一个趣味点阵，请大家来挑战！观察下图中已有的几个图形，你发现了什么规律？请你按规律画出下一个图形，并给这组点阵列出有规律的算式。
生：可以按一个直角一个直角转弯观察，第一幅图有3个点，第二幅图增加4个点，第三幅图接着增加6个点，最后一幅图再增加8个点，所以得到一组算式：3;3+4=7;3+4+6=13;3+4+6+8=21。最后一幅如下图A。
生：可以将点阵添加几个点变成正方形，然后再减掉添加的点。于是得到一组算式：2×2-1=3;3×3-2=7;4×4-3=13;5×5-4=21。最后一幅如下图B。
生：横着观察，前几行都相等，最后一行多1个点。于是得到一组算式：1+2=3;2+2+3=7;3+3+3+4=13;4+4+4+4+5=21。最后一幅如下图C。
师：这个点阵叫做螺旋点阵，大家能从不同的角度发现它的点数，真奇妙！
图A
图B
图C
[我的思考]仅仅正方形点阵的学习略微单调，不利于学生对点阵的整体认识。因此，有必要进行适当的拓展。此处，结合螺旋点阵，让学生应用“不同角度观察”，增加思维的灵活性。在数学上，教师希望学生举一反三、一题多解，其实就是希望学生多角度观察和思考。因此，这节课的价值不仅体现在这节课上，更体现在学习方法上。
四、回顾课堂，整理反思
师：借助正方形点阵、螺旋点阵，我们发现了很多规律，这些都是数学家们的重要发现，所以同学们今天已经超额完成了小小数学家的任务。关于点阵，你还想学习什么？这节课你最大的收获是什么？
生：数形结合真奇妙。
生：我知道了如何从不同角度观察点阵。
生：从不同角度观察，点阵的规律就不同。
师小结：真奇妙，换个点阵看这些点阵，就有了这么多神奇的发现！就像那首诗所说的：横看成岭侧成峰，远近高低各不同！点阵中的规律还有很多很多……希望大家今后继续探索点阵的奥妙！生活中处处都有规律，大家要有一双善于发现规律的眼睛！
[我的思考]课虽止，探究不止。此次，学生回顾整理，既引发学生的反省意识，也让学生放眼生活，拓展视野，激发学生继续寻找点阵及其规律。
教学反思：
本节课立足于正方形点阵，“毕其功于一役”，在研究一组正方形点阵中将规律挖深、吃透。教学贴着学生的思维前行，创造机会让学生进行多维探究，在数形结合中引發学生建立算式的模型，从图到数到式，再从式到图到数，学生的观察能力、思维能力不断形成并逐步提高。教师透过现象看到规律的本质，在教教材中显性知识的同时，挖掘出其包含的隐性知识，牢牢把握住了这节课的规律本身。
学生在学习之中收获的不仅仅是规律，更重要的是找规律的方法——多角度观察。在磨课中，学生高呼“老师，他观察得到的算式太麻烦了”，但是在调整教学方式后，学生在回顾整理中将“多角度观察”作为一项重要的收获，这无形中提升了学生的求异思维、发散思维，有效地促进了学生数学思维的发展。
关键词：点阵;规律;多角度;数形结合
《点阵中的规律》是北师大版五年级上册数学好玩《图形中的规律》的后半节课，笔者将它作为一节独立课进行教学。在磨课中，当教师给学生一个自主发现规律的学习单后，学生大多数都填写了“1×1，2×2，3×3……”，对于其他角度观察的规律，比如斜着观察、拐弯观察，学生不仅没有产生这样的观察角度，甚至觉得这样的观察写出来的算式很麻烦。在第三次磨课时，有一个学生居然忍不住喊了出来：“老师，他观察得到的算式太麻烦了！”
难怪每次磨课都不理想，我恍然大悟，原来学生对规律并不认可，他们以为要找的是最佳算法。当我们认为学生会自然地发现点阵的三种观察方法时，我们其实是站在成人的角度上想当然而已。想要贴着学生的思维前行，就要还原点阵的规律本身。
教师如何搭建脚手架，使学生真正去发现更多的规律本身呢？笔者从这个角度出发设计教学活动，放手让学生先有规律地摆一摆5号点阵点阵，为学生的多角度观察搭建脚手架，再让学生自主观察整组点阵并列算式、找规律，让学生获得更多的活动经验，感受“数形结合、多角度观察”的意义。
教学目标：
1、以古希腊毕达哥拉斯学派研究形数的历程为主线，让学生经历自主探究，能在观察（划分）活动中，发现正方形點阵中隐含的规律，体会图形、算式、点数的关系。
2、结合摆一摆、观察、列式、交流等活动，发展归纳和推理能力。
3、通过多角度观察点阵，渗透数形结合与建模思想。
学具准备：铅笔、尺子、橡皮、水笔、磁力板、小磁铁。
教学过程：
一、故事引入，操作铺垫
1、故事引入
师：你们喜欢听数学家的故事吗？今天老师给大家介绍一位古希腊数学家——毕达哥拉斯，他喜欢通过点阵来研究数。开始时，他在沙滩上摆石子，一个石子表示1，两个石子表示2，3个石子表示3……后来他用石子摆出各种各样的图形，比如三角形、正方形、长方形等，借此来研究数，研究算式，并留下了许多宝贵的发现。他在研究中还完成了一项极限挑战，能极速挑战1+3+5+7+9+11+13这些加法算式呢！后人把每个小石子看成点，就组成了我们今天要研究的点阵！
2、观察操作
（1）观察点阵
我们先来看看这组点阵吧！逐个出示点阵图（如下图），看看这些点阵——由点组成的有规律的图形，你有什么发现？
生：都是正方形的，每行和每列的点数一样多。
生：后一个点阵比前一个点阵多一行多一列，点阵越来越大了。
师：很好，大家都是细心、会观察的同学！点阵比较多，我们分别给它们编号：1号点阵，2号点阵……
（2）同桌合作，有规律地摆点阵
师：5号点阵是怎样排列的？你能根据前面4个点阵的规律，有规律地摆出来吗？同桌合作摆一摆，要摆得又快又有规律哦！
同桌合作过程中，教师巡查、指导，发现学生的不同摆法。
师：同学们动作真快，都摆出了5号点阵！谁来说一说怎么摆的呢？
生：我是一行一行摆的。
生：我在4号点阵的基础上再摆一行一列。
生：我是一层一层往外摆的。
教师根据学生的摆法，课件动态演示，并给各种方法命名（如上图）。
师小结：小小的一个点阵，同学们发现了不同的摆法！今天，你们想不想过一把当数学家的瘾，自己来找找这组点阵中的规律？那现在我们开始自主学习——找规律！
[我的思考] 结合数学家的故事引入，能很好地激发学生的学习兴趣。为什么要安排摆一摆的活动呢？若不给学生摆一摆，直接让学生从不同的角度观察点阵、发现规律，留给学生的思考空间会比较多，但在多次磨课中却发现，大多数学生不理解什么叫做“不同角度观察”，反而因为写出乘法算式而沾沾自喜。哪怕有个别学生发现了不同角度观察，也造成“自主探究出规律”的学生比率很低，学生只是被动地听取他人的想法，甚至有些学生认为斜着观察、拐弯观察的列式都太麻烦了。因此，教师有必要在这里安排有规律地摆一摆5号点阵的活动，迫使学生去思考不同的摆法，为后面的“不同角度观察”做铺垫。这样学生的自主探究变得更有目标性，突出重点，也更好地引领了学生，提高学生发现规律的参与度，对规律的体验更为充分。
二、合作探究，交流规律
1、活动要求：
教师出示学习卡，介绍要求：第一步观察，第二步列式，第三步交流，并让学生默读要求，最后请一名学生说一说：我们的活动要完成哪些任务？此处，学生用自己的语言表达后，能更清楚要求。
2、小组活动，汇报交流
学生小组活动，教师巡查指导，发现各种有意思的观察方法和算式，再组织交流。
师：大家在小组活动中非常积极，现在我们邀请几位同学来给大家分享。汇报时，先说一说你的算式，再说说有什么发现。
（1）横着观察
生：我横着观察，第1个点阵有1×1个点，第2个有2×2=4个点，第3个有3×3=9个点……大家有什么疑问吗？
生：你能用图形说明这个3×3的意思吗？
生：横着观察，每行3个，有3行，就是3个3。
师：继续这样观察，第6个点阵怎么计算？第10个点阵呢？（教师追问：没有图形了，你还能想象出图形的样子吗？）
师：第一个点阵1×1，第二个点阵2×2……你们发现了这样观察，点数有什么规律？ 生：第几个点阵就是几×几。
（2）斜着观察
教师展示学生作品，并与学生互动。
师：5号点阵，为什么不加到6？
生：斜着观察时，最多的只有5个点。
师：从这些算式中，大家发现了什么规律？
生：算式是有对称的，中间有一个最大数。
生：都是从1开始加到一个最大的数，然后再往回加到1。
师：继续这样观察，10号点阵怎么列式？
生：假如是10号点阵，可以从1加到10，再加到1.
师：厉害，看起来复杂的算式，却非常有规律！太棒了，还有不同角度观察的吗？
（3）包围法观察
教师展示学生作品，特别注意：只出示算式，遮住图形，不出示观察角度。
师：大家能根据算式，猜一猜他是怎么观察的吗？
生：他是包围法（或拐弯、或直角都行）观察的……（用手指）
师：真厉害。包围法这个词一下子让人听明白了。那谁能结合图形说一说1+3+5+7+9的意思？
生：看这个5号点阵，拐弯观察，分别是1个点，3个点，5个点，7个点，9个点。每次多两个点，将它们相加就是总点数。
教师追问：继续这样观察，第7个点阵怎么列式？
生1：1+3+5+7+9+11+13。最后一个数是13，可以认为是2×7-1得到的，中间重复了一个点。
师：还有不同的发现吗？
生：算是都是从1开始的单数相加的。
师：1号点阵是1，2号点阵有两个数相加，3号点阵有3个数相加 ……这有规律吗？
通过这样的提问，引导学生说出“第几个点阵就从1开始加几个连续单数”。让学生在对比、想象中加深了对算式规律的认识。
三种方法小结：
师：为什么同一个点阵，我们列出了不同的算式？
生：从不同的角度观察，列式就不同，规律就不同。
师：是啊，我们得出了不同的算式，乘法简洁，后面的两种很有规律。以5号点阵为例，这些算式的结果都等于多少？（25）以后我们遇到这些有规律的算式就可以化成这个乘法算式来计算了！还记得我们的极限挑战吗？
3、考考你：极速挑战
（1）1+3+5+7+9+11+13+15+17
生：有9个从1开始的单数，所以结果是9×9=81.
生：最后一个数17=9×2-1，我想到了这是第9个点阵，所以也是81.
（2）1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=？
生：这个有规律的算式中间最大数是9，所以是第9号点阵，结果是9×9=81。
师：虽然是算式，但是大家想到了刚才学习的正方形点阵，用图形来解决算式问题，太神奇了！刚才从不同的角度观察点阵，就列出了不同的算式，这是由形到数的过程，现在看到算式，我们就想到了点阵，这恰恰是由由数返回到形的过程，正如数学家华罗庚说过的一句话：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好！
[我的思考]这是本节课的核心内容——学生自主探究一组点阵中的规律。教师鼓励学生大胆汇报自己发现的规律，并在汇报中激发生生互动，并不断地引导学生思考不同观察方法得到的不同规律，使“规律”成为课堂的主旋律。最后，教师注重多种方法的联结，看似简单的问题，实在让学生快速将方法串联在一起。极限挑战既是对规律的应用，同时又是对规律的升华，挑明数形结合的思想，让数形结合的思想在学生的心中落地生根。
三、趣味点阵，课堂延伸
师：老师还带来一个趣味点阵，请大家来挑战！观察下图中已有的几个图形，你发现了什么规律？请你按规律画出下一个图形，并给这组点阵列出有规律的算式。
生：可以按一个直角一个直角转弯观察，第一幅图有3个点，第二幅图增加4个点，第三幅图接着增加6个点，最后一幅图再增加8个点，所以得到一组算式：3;3+4=7;3+4+6=13;3+4+6+8=21。最后一幅如下图A。
生：可以将点阵添加几个点变成正方形，然后再减掉添加的点。于是得到一组算式：2×2-1=3;3×3-2=7;4×4-3=13;5×5-4=21。最后一幅如下图B。
生：横着观察，前几行都相等，最后一行多1个点。于是得到一组算式：1+2=3;2+2+3=7;3+3+3+4=13;4+4+4+4+5=21。最后一幅如下图C。
师：这个点阵叫做螺旋点阵，大家能从不同的角度发现它的点数，真奇妙！
图A
图B
图C
[我的思考]仅仅正方形点阵的学习略微单调，不利于学生对点阵的整体认识。因此，有必要进行适当的拓展。此处，结合螺旋点阵，让学生应用“不同角度观察”，增加思维的灵活性。在数学上，教师希望学生举一反三、一题多解，其实就是希望学生多角度观察和思考。因此，这节课的价值不仅体现在这节课上，更体现在学习方法上。
四、回顾课堂，整理反思
师：借助正方形点阵、螺旋点阵，我们发现了很多规律，这些都是数学家们的重要发现，所以同学们今天已经超额完成了小小数学家的任务。关于点阵，你还想学习什么？这节课你最大的收获是什么？
生：数形结合真奇妙。
生：我知道了如何从不同角度观察点阵。
生：从不同角度观察，点阵的规律就不同。
师小结：真奇妙，换个点阵看这些点阵，就有了这么多神奇的发现！就像那首诗所说的：横看成岭侧成峰，远近高低各不同！点阵中的规律还有很多很多……希望大家今后继续探索点阵的奥妙！生活中处处都有规律，大家要有一双善于发现规律的眼睛！
[我的思考]课虽止，探究不止。此次，学生回顾整理，既引发学生的反省意识，也让学生放眼生活，拓展视野，激发学生继续寻找点阵及其规律。
教学反思：
本节课立足于正方形点阵，“毕其功于一役”，在研究一组正方形点阵中将规律挖深、吃透。教学贴着学生的思维前行，创造机会让学生进行多维探究，在数形结合中引發学生建立算式的模型，从图到数到式，再从式到图到数，学生的观察能力、思维能力不断形成并逐步提高。教师透过现象看到规律的本质，在教教材中显性知识的同时，挖掘出其包含的隐性知识，牢牢把握住了这节课的规律本身。
学生在学习之中收获的不仅仅是规律，更重要的是找规律的方法——多角度观察。在磨课中，学生高呼“老师，他观察得到的算式太麻烦了”，但是在调整教学方式后，学生在回顾整理中将“多角度观察”作为一项重要的收获，这无形中提升了学生的求异思维、发散思维，有效地促进了学生数学思维的发展。