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题目如图1,光滑绝缘水平面上有两只完全相同的金属球A、B,带电量分别为-2q与-q.现在使它们以相同的初动能E0(对应的动量大小为p0)开始相向运动且刚好能发生接触.接触后两小球又各自反向运动.当它们刚好回到各自的出发点时的动能分别为E1和E2,动量大小分别为p1和p2.有下列说法正确的是
A.E1=E2> E0,p1=p2>p0
B.E1=E2 C.接触点一定在两球初位置连线的中点右侧某点
D.两球必将同时返回各自的出发点
原解分析从牛顿定律的观点看,两球的加速度大小始终相同,相同时间内的位移大小相同,必然在连线中点相遇,且同时返回出发点.由动量观点看,系统过程中动量守恒(总动量均为零),运动过程中两球的速度始终等值反向,得出结论:两球末动量大小和末动能一定相等.从能量观点看,两球接触后由于没有机械能损失,两球的电荷量都变为-1.5q,在相同距离上的库仑斥力增大(两数和为定值,积有最大值),返回过程中电场力做的正功大于两球接近过程中克服电场力做的功,由动能定理,系统机械能必然增大,即末动能增大.答案为:A、D.
原解佯谬由于开始两小球相距较远(设为r),并且是球带电,视为孤立的点电荷,则开始运动时系统具有电势能E1=k2q2r (k为静电力常量).接触后重返原位置时,系统电势能为E2=k2.25q2r,对比发现,系统电势能增加了.电势能增加意味着电场力做了负功!动能变小了,应该选B、D;或者换个角度:对比初、末两态,系统的动能和系统的电势能都增加了,违背了能量转化和守恒定律!
佯谬成因能的转化和守恒定律是自然界的普适定律,不可能存在问题,以上佯谬主要是在分析系统电场能时只注意到带电体的“互能”而忽视了它们的“自能”.
高中物理电势能主要是点电荷问题,虽然孤立带电球外的电势和场强可视为球中心的点电荷处理,但球体毕竟不是点电荷,球面上的电荷之间存在相互作用. 带电的球和球之间的相互作用产生电势能,称为“互能”,同一球上的电荷之间也存在相互作用,因此也有电势能,这一部分称为“自能”.
互能就是所谓电荷相互作用的电势能.下面先讨论两个点电荷系统的情形.带电量分别为q1和q2的点电荷位置为r1和r2,相距r12.为求出此点电荷间的静电势能,将无穷远处相距为无穷远的两个点电荷分别移到指定的位置r1、r2.一种做法是:先将q1从无限远处移到r1,因不受任何外力,在缓慢移动的过程中,外力不需要做功,然后将q2缓慢移动到r2,因已移入的电荷q1将对q2有作用力,外力需要做功.外力所做的功W12等于系统所储存的电势能.设q2在r2 处时,q1在r1处产生的电势为
U12=kq1r12,
W12=q2U12=kq1q2r12.
另一种做法是:先移入q2至r2 ,再移入q1至r1,同理计算出系统所储存的电势能为
W21=q2U21=kq1q2r12.
W12=W21.
把所储存的电势能写成更加对称的形式
W=12(q1U21 q2U12).
上述结论可以很容易推广到N个点电荷储间存的电势能表达式:W=12∑Ni=1qiUi.
这就是高中阶段所讲的点电荷的电势能,它只反应了带电体之间相互作用而具有的势能,与电荷之间的位置有关.每个点电荷本身具有的静电能(自能)没有计算在内.
事实上,由于球体不能视为点电荷,这个带电体自身所带的电荷之间也存在相互作用,因而也具有势能,称为自能,也是物体储存的电能.其大小定义为:把这个带电体分割为无限多的小块,把每一小块移到无穷远时电场力做的功,带电体的自能即为它激发的电场能.
自能的数值如何得到呢?对于电荷连续分布的静电能,如以均匀体电荷分布为例,设想不断把体电荷元从无穷远处迁移到物体上,根据上面“互能”的定义和计算方法,将单个电荷变为连续电荷,
系统的静电能为W=12ρUdV,
其中U是体电荷元处的电势,ρ为电荷体密度,dV为体积元.
同理,面分布电荷系统的自能可以表示为
W=12σUdS,
σ为电荷面密度,dS为面积元.据此,题目中A球的自能为
WA=kq212r,
B球的自能为WB=kq222r,
对比题目所选初、末两态
(WA末 WB末)-(WA初 WB初)=-kq24r<0.
由此可见,当我们考虑了带电体的自能后,两球接触前后的“自能”是减少的,原题并没有违背能量守恒定律.
A.E1=E2> E0,p1=p2>p0
B.E1=E2
D.两球必将同时返回各自的出发点
原解分析从牛顿定律的观点看,两球的加速度大小始终相同,相同时间内的位移大小相同,必然在连线中点相遇,且同时返回出发点.由动量观点看,系统过程中动量守恒(总动量均为零),运动过程中两球的速度始终等值反向,得出结论:两球末动量大小和末动能一定相等.从能量观点看,两球接触后由于没有机械能损失,两球的电荷量都变为-1.5q,在相同距离上的库仑斥力增大(两数和为定值,积有最大值),返回过程中电场力做的正功大于两球接近过程中克服电场力做的功,由动能定理,系统机械能必然增大,即末动能增大.答案为:A、D.
原解佯谬由于开始两小球相距较远(设为r),并且是球带电,视为孤立的点电荷,则开始运动时系统具有电势能E1=k2q2r (k为静电力常量).接触后重返原位置时,系统电势能为E2=k2.25q2r,对比发现,系统电势能增加了.电势能增加意味着电场力做了负功!动能变小了,应该选B、D;或者换个角度:对比初、末两态,系统的动能和系统的电势能都增加了,违背了能量转化和守恒定律!
佯谬成因能的转化和守恒定律是自然界的普适定律,不可能存在问题,以上佯谬主要是在分析系统电场能时只注意到带电体的“互能”而忽视了它们的“自能”.
高中物理电势能主要是点电荷问题,虽然孤立带电球外的电势和场强可视为球中心的点电荷处理,但球体毕竟不是点电荷,球面上的电荷之间存在相互作用. 带电的球和球之间的相互作用产生电势能,称为“互能”,同一球上的电荷之间也存在相互作用,因此也有电势能,这一部分称为“自能”.
互能就是所谓电荷相互作用的电势能.下面先讨论两个点电荷系统的情形.带电量分别为q1和q2的点电荷位置为r1和r2,相距r12.为求出此点电荷间的静电势能,将无穷远处相距为无穷远的两个点电荷分别移到指定的位置r1、r2.一种做法是:先将q1从无限远处移到r1,因不受任何外力,在缓慢移动的过程中,外力不需要做功,然后将q2缓慢移动到r2,因已移入的电荷q1将对q2有作用力,外力需要做功.外力所做的功W12等于系统所储存的电势能.设q2在r2 处时,q1在r1处产生的电势为
U12=kq1r12,
W12=q2U12=kq1q2r12.
另一种做法是:先移入q2至r2 ,再移入q1至r1,同理计算出系统所储存的电势能为
W21=q2U21=kq1q2r12.
W12=W21.
把所储存的电势能写成更加对称的形式
W=12(q1U21 q2U12).
上述结论可以很容易推广到N个点电荷储间存的电势能表达式:W=12∑Ni=1qiUi.
这就是高中阶段所讲的点电荷的电势能,它只反应了带电体之间相互作用而具有的势能,与电荷之间的位置有关.每个点电荷本身具有的静电能(自能)没有计算在内.
事实上,由于球体不能视为点电荷,这个带电体自身所带的电荷之间也存在相互作用,因而也具有势能,称为自能,也是物体储存的电能.其大小定义为:把这个带电体分割为无限多的小块,把每一小块移到无穷远时电场力做的功,带电体的自能即为它激发的电场能.
自能的数值如何得到呢?对于电荷连续分布的静电能,如以均匀体电荷分布为例,设想不断把体电荷元从无穷远处迁移到物体上,根据上面“互能”的定义和计算方法,将单个电荷变为连续电荷,
系统的静电能为W=12ρUdV,
其中U是体电荷元处的电势,ρ为电荷体密度,dV为体积元.
同理,面分布电荷系统的自能可以表示为
W=12σUdS,
σ为电荷面密度,dS为面积元.据此,题目中A球的自能为
WA=kq212r,
B球的自能为WB=kq222r,
对比题目所选初、末两态
(WA末 WB末)-(WA初 WB初)=-kq24r<0.
由此可见,当我们考虑了带电体的自能后,两球接触前后的“自能”是减少的,原题并没有违背能量守恒定律.