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数学题材的本质就是通过命题转换,设法消除条件与结论的差异,化条件为结论,或设法从已知条件求出未知结论。也就是说数学的命题过程就是对原命题一系列转换的过程。在命题转换过程中,每一个命题都有若干个转换的方向与途径,它们有难易之分、繁简之别。因此,选取并确定最佳的转换方向与途径就成了数学解题的关键。
一、因果转换
这是建立在因果联想基础上的命题转换,它是命题转换中最主要的形式。所谓因果转换就是指条件与结论之间的转换,如“化条件为结论”与“化未知为已知”是基本的指导思想。当条件与结论相距较远时,可设法寻求中介将两者联系起来,这是转换中最具创造性的方法,称为构造法。与此相仿,公式也是联系条件与结论的中介,熟悉应用有关的公式解题,也常能收到较好的效果。
二、数形转换
数形转换是因果转换的辅助手段,它包括“由形化数”“由数化形”与“数形互补”三方面,它们都体现了数形结合的思想,坐标法是数形转换的常用法。“由形化数”就是将几何问题化为代数问题去处理,常见的有解析法、三角法、面积法、体积法、复数法等;“由数化形”就是将代数问题化为几何问题去处理,为此必须构造辅助图形;“数形互补”就是兼顾形数两方面,一般是将“形”作为解题的辅助工具,具体方法有图示法、图像法等。
三、化直接为间接
这是一种特殊的命题转换,它体现了逆反原则的应用。我们知道,直接就原命题进行因果转换,这种方法就是直接法,这是数学解题的常规方法。但是这种方法并非总是可行的,这时我们就应遵循逆反原则,改从反面或侧面去考虑,这就是间接法。反证法、同一法也是这类方法。
四、化特殊为一般
化特殊为一般这类转换,一般不能用于严格的数学证明,但它同样可以作出猜想结论,指明探索方向,因而对解题仍有重要作用。以归纳推理为基础的有:完全归纳法、不完全归纳法与数学归纳法。
五、化繁为简
化繁为简就是简单原则的体现,其主要手段是归类整理与消元降次。归类整理就是所证数式化为已知的数学模式,换元、通分、约分、因式分解、合并同类项等都是归类整理的具体手段;消元降次就是消去所论数式中的未知数或未知项,以及降低有关未知数、未知项的次数或降低所论数学问题的维数与阶数。
总之,数学解题的本质就是命题转换,解题过程就是命题转换的过程,转换的方向与途径决定了解题的成败与优劣。
(唐山市玉田县第三中学)
一、因果转换
这是建立在因果联想基础上的命题转换,它是命题转换中最主要的形式。所谓因果转换就是指条件与结论之间的转换,如“化条件为结论”与“化未知为已知”是基本的指导思想。当条件与结论相距较远时,可设法寻求中介将两者联系起来,这是转换中最具创造性的方法,称为构造法。与此相仿,公式也是联系条件与结论的中介,熟悉应用有关的公式解题,也常能收到较好的效果。
二、数形转换
数形转换是因果转换的辅助手段,它包括“由形化数”“由数化形”与“数形互补”三方面,它们都体现了数形结合的思想,坐标法是数形转换的常用法。“由形化数”就是将几何问题化为代数问题去处理,常见的有解析法、三角法、面积法、体积法、复数法等;“由数化形”就是将代数问题化为几何问题去处理,为此必须构造辅助图形;“数形互补”就是兼顾形数两方面,一般是将“形”作为解题的辅助工具,具体方法有图示法、图像法等。
三、化直接为间接
这是一种特殊的命题转换,它体现了逆反原则的应用。我们知道,直接就原命题进行因果转换,这种方法就是直接法,这是数学解题的常规方法。但是这种方法并非总是可行的,这时我们就应遵循逆反原则,改从反面或侧面去考虑,这就是间接法。反证法、同一法也是这类方法。
四、化特殊为一般
化特殊为一般这类转换,一般不能用于严格的数学证明,但它同样可以作出猜想结论,指明探索方向,因而对解题仍有重要作用。以归纳推理为基础的有:完全归纳法、不完全归纳法与数学归纳法。
五、化繁为简
化繁为简就是简单原则的体现,其主要手段是归类整理与消元降次。归类整理就是所证数式化为已知的数学模式,换元、通分、约分、因式分解、合并同类项等都是归类整理的具体手段;消元降次就是消去所论数式中的未知数或未知项,以及降低有关未知数、未知项的次数或降低所论数学问题的维数与阶数。
总之,数学解题的本质就是命题转换,解题过程就是命题转换的过程,转换的方向与途径决定了解题的成败与优劣。
(唐山市玉田县第三中学)