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【摘 要】排列组合是数学中比较重要的基础知识，在日常生活和生产中有广泛的应用。它所研究的内容独特，比较抽象，解题的方法灵活多样，没有固定的模式，因而学起来比较吃力。是学生数学学习的一个难点。我在教学实践中特别强调基本原理的深化理解及基本类型的总结归纳，收到良好的教学效果。下面就自己的教学实践简述排列组合教学点滴做法和体会。
【关键词】排列组合；数学学习；教学
一、要注重基本概念、基本原理的教学
教学中要使学生明确什么是排列问题、什么是组合问题，进而正确计算排列数和组合数。要重点学习加法原理和乘法原理
加法原理和乘法原理是推导排列组合数公式的依据，要把这两个原理贯穿于整个章节。这两个原理即可独立地解决问题，又可联系起来解决问题，所以要理解这两个原理的异同处。
1.加法原理是确定一事物或完成一事物时，不需要分阶段（或分步骤），重点在一个“类”字上。而乘法原理是确定一事物或完成一事物时，必须分成若干阶段（或若干步骤），故重在一个“步”字。一“类”一“步”是加法原理和乘法原理的不同处。
2. 加法原理能单独依靠其中任何一个办法来完成这件事。乘法原理中分步骤是无法单独完成的。通俗地说，分类是独立的，是并列的关系而步骤之间是无法独立的，彼此依附缺一不可。
二、要引导学生掌握基本习题类型和解题的相应方法
排列组合应用题一般说来都是比较抽象的，学生学起来比较吃力，因此必须注意培养学生正确分析和解决问题的能力，引导学生总结掌握习题类型，以及解决各类型题的方法。指导引领学生从繁多复杂的题型中合理归类。
学生通过老师的指导引领掌握了正确的分类方法，还要能够掌握每类题型的基本解法，为此教师要示范讲解教会学生各个类型题的解题技巧和方法，使学生能举一反三，类比掌握解决相似问题。不同问题解法教学举例。
典型问题1：相邻排列问题
例1：四名男生和三名女生照相，若女生必须站在一起，问共有多少种站法？
分析：将三名女生“捆绑”起来看做一个元素，将4名男生排列共有P55种排法，而这三名女生本身又P33种排法，所以满足条件的排法总数有P55P33=720（种）
例2：排一张有三个合唱节目和两个独唱节目的节目单，要求2个独唱节目之间恰有一个合唱节目，问该节目单有多少种排法？
分析：本题有一个固定搭配“独合独”，可把这个搭配“捆绑”起来当做一个元素，与其余两个元素排列共有P33种排法，而“独合独”的排列法有P31P22种，所以满足条件的排总数有P33P22P31（种）。
典型问题2：不相邻排列问题
例3：某次文艺演出，有5个歌唱节目和3个舞蹈节目，若要求舞蹈节目不能连续演出，问有多少种不同次序的节目单？
分析：节目单分两个步骤完成：①先安排歌唱节目，有 P55；②在两个歌唱节目之间及首、尾安排舞蹈节目，有P63种方法。符合要求的节目单的种数有P55P63=14400。
典型问题3：有序排列问题
例4 A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边，（A、B可以不相邻），那么不同的排法共有（ ）
（A）24种 （B）60种 （C）90种 （D）120种
分析：不计条件的排法种数是P55种，对每一种排列要么A在B的左边，要么A在B的右边，即对每一种位置的P22种排法中，只有一种符合要求，所以符合条件的排法种数是P55÷P22=60。
典型问题4：自然数比较大小的问题
例5：由0、1、2、3、4五个数字组成无重复数字的四位数，（1）有多少个比2000个大的四位偶数；（2）若按从小到大排列，3204是第几个数？
解：首位可排2、3、4，末位可排0、2、4，其中共同的数是2、4所以以2、4来分类处理：
（1）当首位是2或4时，首位有P21，末位有P21，中间P32，即P21 P21 P31。
（2）当首位是3时，末位有P31，中间P32，即P31 P32。所以共有P21 P21 P32+ P31 P32=42（个）。
解（2）：由高位到低位逐级分为：
（1）千位是1或2时，有P21 P43个。
（2）千位是3时，百位可排0、1或2，（i）当百位排0、1时有P21 P32个；（ii）当百位数2时，比3204小的仅有3201一个，故比3204小的四位数共有P21 P43+ P21 P32+1=61（个），3204是第62个数。
基本问题1：含有特殊元素的问题
例6：某旅行社有10名翻译，其中7人会英语，5人会日语，现需派出2名英语翻译，2名日语翻译，则不同的派法有
种。
分析：从项目的条件可知有2人是“特殊元素”，问题转化为这2个人的分派方法问题，（1） 两人不作为英语翻译分派有C52 C52=100（种）；（2）两人作为英语翻译分派有C72C32=63（种），所以不同的分派方法共有C52C52+ C72 C32=163（种）。
基本问题2：排列组合混合的问题
例7：（95全国）四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子，则恰有一个空盒的放法有 种。
分析：（先选后排）从四个小球中任选两个放入其中的一个盒子有 C42 C41种方法，剩余的2个小球放入3个盒子中的各一个有P32 种方法，由乘法原理知不同的放法共有C42P41P32=144（种）。
基本问题3：多重受限的问题
例8：将字母a、b、c、d、e排成一排，a不排在首位，e不排在末尾，有多少种不同排法？
分析一：按a不在首位分类，a可在中间三个位置或在末尾，a若在中间三个位置有C32种排法，e还有三种可能的排法C31，其余三个元素有 P33种排法，故有C31 C31 P33种排法，a若在末尾，共有C44种排法，所以共有C31 C31 P33+P44=78（种）。
分析二：5个字母不计条件的排列有P55，a在首位的排法有P44种，e在末尾的排法有P44种，由于a在首而e在尾的排法两次重复，用排除法减去时已被多减了一次，应补上，而a在首e在尾的排法有P33种，所以满足条件的排法共有P55-2 P44+P33.=78。
三、小结
排列组合的内容相对比较独立，和前几章的内容联系不大，具有不易检验、抽象、无固定解法等特点，这给学习带来了一定的困难。但这一章对培养学生的发散思维，提高学生的发散思维，提高学生分析问题的能力无疑是很好的教材，我通过教学实践后认为使学生掌握一批基本问题和典型问题的解法，加上正确的分类方法和类比解题技巧能力，就能有效的突破难点，使复杂问题转化为基本问题（化归思想）从而使问题迎刃而解。
（作者单位：抚顺体育运动学校）
【关键词】排列组合；数学学习；教学
一、要注重基本概念、基本原理的教学
教学中要使学生明确什么是排列问题、什么是组合问题，进而正确计算排列数和组合数。要重点学习加法原理和乘法原理
加法原理和乘法原理是推导排列组合数公式的依据，要把这两个原理贯穿于整个章节。这两个原理即可独立地解决问题，又可联系起来解决问题，所以要理解这两个原理的异同处。
1.加法原理是确定一事物或完成一事物时，不需要分阶段（或分步骤），重点在一个“类”字上。而乘法原理是确定一事物或完成一事物时，必须分成若干阶段（或若干步骤），故重在一个“步”字。一“类”一“步”是加法原理和乘法原理的不同处。
2. 加法原理能单独依靠其中任何一个办法来完成这件事。乘法原理中分步骤是无法单独完成的。通俗地说，分类是独立的，是并列的关系而步骤之间是无法独立的，彼此依附缺一不可。
二、要引导学生掌握基本习题类型和解题的相应方法
排列组合应用题一般说来都是比较抽象的，学生学起来比较吃力，因此必须注意培养学生正确分析和解决问题的能力，引导学生总结掌握习题类型，以及解决各类型题的方法。指导引领学生从繁多复杂的题型中合理归类。
学生通过老师的指导引领掌握了正确的分类方法，还要能够掌握每类题型的基本解法，为此教师要示范讲解教会学生各个类型题的解题技巧和方法，使学生能举一反三，类比掌握解决相似问题。不同问题解法教学举例。
典型问题1：相邻排列问题
例1：四名男生和三名女生照相，若女生必须站在一起，问共有多少种站法？
分析：将三名女生“捆绑”起来看做一个元素，将4名男生排列共有P55种排法，而这三名女生本身又P33种排法，所以满足条件的排法总数有P55P33=720（种）
例2：排一张有三个合唱节目和两个独唱节目的节目单，要求2个独唱节目之间恰有一个合唱节目，问该节目单有多少种排法？
分析：本题有一个固定搭配“独合独”，可把这个搭配“捆绑”起来当做一个元素，与其余两个元素排列共有P33种排法，而“独合独”的排列法有P31P22种，所以满足条件的排总数有P33P22P31（种）。
典型问题2：不相邻排列问题
例3：某次文艺演出，有5个歌唱节目和3个舞蹈节目，若要求舞蹈节目不能连续演出，问有多少种不同次序的节目单？
分析：节目单分两个步骤完成：①先安排歌唱节目，有 P55；②在两个歌唱节目之间及首、尾安排舞蹈节目，有P63种方法。符合要求的节目单的种数有P55P63=14400。
典型问题3：有序排列问题
例4 A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边，（A、B可以不相邻），那么不同的排法共有（ ）
（A）24种 （B）60种 （C）90种 （D）120种
分析：不计条件的排法种数是P55种，对每一种排列要么A在B的左边，要么A在B的右边，即对每一种位置的P22种排法中，只有一种符合要求，所以符合条件的排法种数是P55÷P22=60。
典型问题4：自然数比较大小的问题
例5：由0、1、2、3、4五个数字组成无重复数字的四位数，（1）有多少个比2000个大的四位偶数；（2）若按从小到大排列，3204是第几个数？
解：首位可排2、3、4，末位可排0、2、4，其中共同的数是2、4所以以2、4来分类处理：
（1）当首位是2或4时，首位有P21，末位有P21，中间P32，即P21 P21 P31。
（2）当首位是3时，末位有P31，中间P32，即P31 P32。所以共有P21 P21 P32+ P31 P32=42（个）。
解（2）：由高位到低位逐级分为：
（1）千位是1或2时，有P21 P43个。
（2）千位是3时，百位可排0、1或2，（i）当百位排0、1时有P21 P32个；（ii）当百位数2时，比3204小的仅有3201一个，故比3204小的四位数共有P21 P43+ P21 P32+1=61（个），3204是第62个数。
基本问题1：含有特殊元素的问题
例6：某旅行社有10名翻译，其中7人会英语，5人会日语，现需派出2名英语翻译，2名日语翻译，则不同的派法有
种。
分析：从项目的条件可知有2人是“特殊元素”，问题转化为这2个人的分派方法问题，（1） 两人不作为英语翻译分派有C52 C52=100（种）；（2）两人作为英语翻译分派有C72C32=63（种），所以不同的分派方法共有C52C52+ C72 C32=163（种）。
基本问题2：排列组合混合的问题
例7：（95全国）四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子，则恰有一个空盒的放法有 种。
分析：（先选后排）从四个小球中任选两个放入其中的一个盒子有 C42 C41种方法，剩余的2个小球放入3个盒子中的各一个有P32 种方法，由乘法原理知不同的放法共有C42P41P32=144（种）。
基本问题3：多重受限的问题
例8：将字母a、b、c、d、e排成一排，a不排在首位，e不排在末尾，有多少种不同排法？
分析一：按a不在首位分类，a可在中间三个位置或在末尾，a若在中间三个位置有C32种排法，e还有三种可能的排法C31，其余三个元素有 P33种排法，故有C31 C31 P33种排法，a若在末尾，共有C44种排法，所以共有C31 C31 P33+P44=78（种）。
分析二：5个字母不计条件的排列有P55，a在首位的排法有P44种，e在末尾的排法有P44种，由于a在首而e在尾的排法两次重复，用排除法减去时已被多减了一次，应补上，而a在首e在尾的排法有P33种，所以满足条件的排法共有P55-2 P44+P33.=78。
三、小结
排列组合的内容相对比较独立，和前几章的内容联系不大，具有不易检验、抽象、无固定解法等特点，这给学习带来了一定的困难。但这一章对培养学生的发散思维，提高学生的发散思维，提高学生分析问题的能力无疑是很好的教材，我通过教学实践后认为使学生掌握一批基本问题和典型问题的解法，加上正确的分类方法和类比解题技巧能力，就能有效的突破难点，使复杂问题转化为基本问题（化归思想）从而使问题迎刃而解。
（作者单位：抚顺体育运动学校）