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【摘要】文章中首先引入L等差数列组集合与L等差数列组集合合数集的概念，把素数的分布提到优化的L等差数列组集合中来，以便研究素数分布的规律性；并提出数学计算式计算L等差数列组集合合数。
【关键词】L等差数列组集合； L等差数列组集合合数集；优化的L等差数列组集合
1. L等差数列组集合与L等差数列组集合合数集概念的引入
先把等差数列5+2（N-1）展开后，以每15个数为一组划分这个数列若干段，然后每一个段的15个数对齐地排列起来，就会得到由这15个等差数列5+30t、7+30t、9+30t、11+30t、13+30t、15+30t、17+30t、19+30t、21+30t、23+30t、25+30t、27+30t、29+30t、31+30t、33+30t所组成的“群体”（这里t=0、1、2、3，……）。接着，从这个“群体”中划出去5+30t、9+30t、 15+30t、21+30t、25+30t、27+30t、33+30t等七个数列，就会得到剩下的八个数列7+30t、11+30t、13+30t、17+30t、19+30t、23+30t、29+30t、31+30t所合并一组的小“分体”。这个小“分体”叫做L 组等差数列组集合【1】（简称L组集合）。这个集合包含有除2、3、5外的一切素数和象49、77、91、119、……等的奇合数。
L组集合用图表表示如下：
第Ⅰ列 第Ⅱ列 第Ⅲ列 第Ⅳ列 第Ⅴ列 第Ⅵ列 第Ⅶ列 第Ⅷ列 行数
7 11 13 17 19 23 29 31 1
37 41 43 47 ·49 53 59 61 2
67 71 73 ·77 79 83 89 ·91 3
97 101 103 107 109 113 ·119 ·121 4
127 131 ·133 137 139 ·143 149 151 5
…… …… …… …… …… …… …… …… ……
在这个图表中，用·点标记的数为合数。把这些合数都挑出来也构成一种集合，叫做L等差数列组集合合数集（简称L组集合合数集）。
命题1：在L组集合里，包含有除2、3、5以外的一切素数。证明略（其证明见《素数的分布有规律性》）。
命题2：在L组集合里所包含的合数是除2、3、5以外的一切素数相乘的积（即同一个素数的乘方或者两个或者两个以上不相同的素数相乘的积）。
证明：L组集合是由下列八个等差数列7+30t、11+30t、13+30t、17+30t、19+30t、23+30t、29+30t、31+30t合并而成的，所以素数2、3、5不包含于L组集合。由狄利克莱（Dirichlet）定理可知，形如7+30t、11+30t、13+30t、17+30t、19+30t、23+30t、29+30t、31+30t的素数都有无穷之多，所以形如7+30t、11+30t、13+30t、17+30t、19+30t、23+30t、29+30t、31+30t的合数也都有无穷之多。因此，在L组集合里所包含的合数是除2、3、5以外的一切素数相乘的积。
实际上，L组集合合数集是由49、77、91、119、121、133、143、161、169、187、……等奇合数所组成的集合。这些奇合数是如何分布的呢？这些奇合数跟其它的合数有所不一样，叫做奇特的合数。 它们是由一个素数（除2、3、5以外）乘以L组集合的元素之积所组成的合数。
为了求出素数，从L组集合中划去其内的合数叫做优化。经过优化的L组集合叫做优化的L组集合。例如，集合{7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89}是L组集合{7、11、13、17、19、23、29、31；37、41、43、47、49、53、59、61；67、71、73、77、79、83、89、91}的优化集合。
2. L组集合合数的求法
L组集合合数是由数学计算式：W =∑pi{7、11、13、17、19、23、29、31；mi、……}计算的。式中，pi 表示为大于或者等于7的素数；{7、11、13、17、19、23、29、31；mi、……}表示为横排的L组集合；mi表示为L组集合的元素；pi*{7、11、13、17、19、23、29、31；mi、……}表示为pi 分别乘以L组集合的元素之积。W表示为所求的L组集合合数。
例1：求出300以内的L组集合合数。
解：①先确定mi的取值范围：
当pi=7时，因为300/7<43，所以mi的上界数为41。因此mi ={7、11、13、17、19、23、29、31；37、41}。故
W1={49、77、91、119、133、161、203、217、259、287}。…（1）
当pi=11时，因为300/11﹤28，所以mi的上界数为23。因此mi ={11、13、17、19、23}。 故W2={121、143、187、209、253}。………………（2）
当pi=13时，因为300/13﹤23.08，所以mi的上界数为23。因此mi={13、17、19、23}。 故
W3={169、221、247、299}。 ……………（3）
②然后计算和式：由（1）+（2）+（3），得
W={49、77、91、119、121、133、143、161、169、187、203、209、217、221、247、253、259、287、299}。
例2：求出200——300之间的L组集合合数。 解：从1到300之间的L组集合合数有49、77、91、119、121、133、143、161、169、187、203、209、217、221、247、253、259、287、299；从1到200之间的L组集合合数有49、77、91、119、121、133、143、161、169、187；所以从200到300之间的L组集合合数有203、209、217、221、247、253、259、287、299等九个。
例3：求出紧靠近500的L组集合合数。
解：列出L组集合：
…………457、461、463、467、469、473、479、481；
487、491、493、497、499、（503、509、511）；……。……（1）
列出L组集合合数表：49、77、91、……、121、……、169、……、289、……、
……、361、……、451、469、473、481、493、497、（511、………）。…………（2）
由（1）、（2）可知，这里紧靠近500的整数是499，但它不在于L组集合合数表里。应舍弃。其次靠近500的整数是497。因为497既然在于L组集合，也在于L组集合合数表，所以紧靠近500的L组集合合数是497。
例4：分别判断97、189与491的素性（不用试除法判断）。
解：列出L组集合：
7、 11、 13、 17、 19、 23、 29、 31；
37、 41、 43、 47、 49、 53、 59、 61；
67、 71、 73、 77、 79、 83、 89、 91；
97、 101、 103、 107、 109、 113、 119、 121；
127、 131、 133、 137、 139、 143、 149、 151；
157、 161、 163、 167、 169、 173、 179、 181；
187、 191、 193、 197、 199、 203、 209、 211；
217、 221、 223、 227、 229、 233、 239、 241；
247、 251、 253、 257、 259、 263、 269、 271；
277、 281、 283、 287、 289、 293、 299、 301；
307、 311、 313、 317、 319、 323、 329、 331；
337、 341、 343、 347、 349、 353、 359、 361；
367、 371、 373、 377、 379、 383、 389、 391；
397、 401、 403、 407、 409、 413、 419、 421；
427、 431、 433、 437、 439、 443、 449、 451；
457、 461、 463、 467、 469、 473、 479、 481；
487、 491、 493、 497、 499、 503、 509、 511；……。
还列出L组集合合数表： 49、77、91、119、121、133、143、161、169、187、203、209、217、221、247、253、259、287、289、301、319、323、329、341、343、361、371、377、391、401、407、413、427、437、451、469、373、481、493、497、511、…………。
在L组集合表中分别查出97、189、497这三个数。如果能查出这个数，那么这个数就是素数或者L组集合合数；如果查不出这个数，那么这个数就是合数（即非L组集合合数的合数）。因为189不在于L组集合表内的数，所以189就是非L组集合合数的合数。因为97和497都在于L组集合表内的数，所以这两个数就是素数或者L组集合合数。既然查出L组集合表内的数，还要查看是否在L组集合合数表内的数。如果这个数又在于L组集合合数表内，那么这个数就是合数；如果这个数不在L组集合合数表内的数，那么这个数就是素数。因为97是不在L组集合合数表内的数，所以97就是素数；因为497是在L组集合合数表内的数，所以497就是L组集合合数。因此97是素数，189和497是合数（即189是不在L组集合内的合数）。
例5：求出素数x，使x的右相邻素数为15727。
解：列出L组集合表如下：
……15667、15671、15673、15677、15679、15683、15689、15691；
15697、15701、15703、15707、15709、15713、15719、15721；
15727、15731、15733、15737、15739、15743、15749、15751；……
列出L组集合合数表：
……、15679、15689、15691、15697、15701、15703、15707、15709、15713、
15719、15721、15731、…………。
由L组集合表可知，素数15727前面的数15683、15689、15691、15697、15701、15703、15707、15709、15713、15719、15721都是L组集合的数；而15683是不在L组集合合数表内的数，所以紧跟着15727的素数是15683，即素数15727的左相邻素数是15683。
3. 素数分布的规律性
由此可知，L组集合合数是用数学计算式W =∑pi*{7、11、13、17、19、23、29、31；mi……}来求出的。
除2、3、5以外的一切素数是从L组集合中划去L组集合合数的'产物'，也就是说优化的L组集合的元素。
人们梦寐以求的素数公式是优化的L组集合。
4. 结论
以上所提出的求素数的工具是L组集合表和L组集合合数表（至今为止，这两个数表在市场上无法买到的，希望有关先生发愤努力早日做出这个'工具'来）。如果具备这两个数表，我们就能求出素数。
参考文献
[1]白鹤燮 安美花合著：《 素数的分布有规律性》（《现代教育教学探索》2012年8月上）
收稿日期：2012-12-26
【关键词】L等差数列组集合； L等差数列组集合合数集；优化的L等差数列组集合
1. L等差数列组集合与L等差数列组集合合数集概念的引入
先把等差数列5+2（N-1）展开后，以每15个数为一组划分这个数列若干段，然后每一个段的15个数对齐地排列起来，就会得到由这15个等差数列5+30t、7+30t、9+30t、11+30t、13+30t、15+30t、17+30t、19+30t、21+30t、23+30t、25+30t、27+30t、29+30t、31+30t、33+30t所组成的“群体”（这里t=0、1、2、3，……）。接着，从这个“群体”中划出去5+30t、9+30t、 15+30t、21+30t、25+30t、27+30t、33+30t等七个数列，就会得到剩下的八个数列7+30t、11+30t、13+30t、17+30t、19+30t、23+30t、29+30t、31+30t所合并一组的小“分体”。这个小“分体”叫做L 组等差数列组集合【1】（简称L组集合）。这个集合包含有除2、3、5外的一切素数和象49、77、91、119、……等的奇合数。
L组集合用图表表示如下：
第Ⅰ列 第Ⅱ列 第Ⅲ列 第Ⅳ列 第Ⅴ列 第Ⅵ列 第Ⅶ列 第Ⅷ列 行数
7 11 13 17 19 23 29 31 1
37 41 43 47 ·49 53 59 61 2
67 71 73 ·77 79 83 89 ·91 3
97 101 103 107 109 113 ·119 ·121 4
127 131 ·133 137 139 ·143 149 151 5
…… …… …… …… …… …… …… …… ……
在这个图表中，用·点标记的数为合数。把这些合数都挑出来也构成一种集合，叫做L等差数列组集合合数集（简称L组集合合数集）。
命题1：在L组集合里，包含有除2、3、5以外的一切素数。证明略（其证明见《素数的分布有规律性》）。
命题2：在L组集合里所包含的合数是除2、3、5以外的一切素数相乘的积（即同一个素数的乘方或者两个或者两个以上不相同的素数相乘的积）。
证明：L组集合是由下列八个等差数列7+30t、11+30t、13+30t、17+30t、19+30t、23+30t、29+30t、31+30t合并而成的，所以素数2、3、5不包含于L组集合。由狄利克莱（Dirichlet）定理可知，形如7+30t、11+30t、13+30t、17+30t、19+30t、23+30t、29+30t、31+30t的素数都有无穷之多，所以形如7+30t、11+30t、13+30t、17+30t、19+30t、23+30t、29+30t、31+30t的合数也都有无穷之多。因此，在L组集合里所包含的合数是除2、3、5以外的一切素数相乘的积。
实际上，L组集合合数集是由49、77、91、119、121、133、143、161、169、187、……等奇合数所组成的集合。这些奇合数是如何分布的呢？这些奇合数跟其它的合数有所不一样，叫做奇特的合数。 它们是由一个素数（除2、3、5以外）乘以L组集合的元素之积所组成的合数。
为了求出素数，从L组集合中划去其内的合数叫做优化。经过优化的L组集合叫做优化的L组集合。例如，集合{7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89}是L组集合{7、11、13、17、19、23、29、31；37、41、43、47、49、53、59、61；67、71、73、77、79、83、89、91}的优化集合。
2. L组集合合数的求法
L组集合合数是由数学计算式：W =∑pi{7、11、13、17、19、23、29、31；mi、……}计算的。式中，pi 表示为大于或者等于7的素数；{7、11、13、17、19、23、29、31；mi、……}表示为横排的L组集合；mi表示为L组集合的元素；pi*{7、11、13、17、19、23、29、31；mi、……}表示为pi 分别乘以L组集合的元素之积。W表示为所求的L组集合合数。
例1：求出300以内的L组集合合数。
解：①先确定mi的取值范围：
当pi=7时，因为300/7<43，所以mi的上界数为41。因此mi ={7、11、13、17、19、23、29、31；37、41}。故
W1={49、77、91、119、133、161、203、217、259、287}。…（1）
当pi=11时，因为300/11﹤28，所以mi的上界数为23。因此mi ={11、13、17、19、23}。 故W2={121、143、187、209、253}。………………（2）
当pi=13时，因为300/13﹤23.08，所以mi的上界数为23。因此mi={13、17、19、23}。 故
W3={169、221、247、299}。 ……………（3）
②然后计算和式：由（1）+（2）+（3），得
W={49、77、91、119、121、133、143、161、169、187、203、209、217、221、247、253、259、287、299}。
例2：求出200——300之间的L组集合合数。 解：从1到300之间的L组集合合数有49、77、91、119、121、133、143、161、169、187、203、209、217、221、247、253、259、287、299；从1到200之间的L组集合合数有49、77、91、119、121、133、143、161、169、187；所以从200到300之间的L组集合合数有203、209、217、221、247、253、259、287、299等九个。
例3：求出紧靠近500的L组集合合数。
解：列出L组集合：
…………457、461、463、467、469、473、479、481；
487、491、493、497、499、（503、509、511）；……。……（1）
列出L组集合合数表：49、77、91、……、121、……、169、……、289、……、
……、361、……、451、469、473、481、493、497、（511、………）。…………（2）
由（1）、（2）可知，这里紧靠近500的整数是499，但它不在于L组集合合数表里。应舍弃。其次靠近500的整数是497。因为497既然在于L组集合，也在于L组集合合数表，所以紧靠近500的L组集合合数是497。
例4：分别判断97、189与491的素性（不用试除法判断）。
解：列出L组集合：
7、 11、 13、 17、 19、 23、 29、 31；
37、 41、 43、 47、 49、 53、 59、 61；
67、 71、 73、 77、 79、 83、 89、 91；
97、 101、 103、 107、 109、 113、 119、 121；
127、 131、 133、 137、 139、 143、 149、 151；
157、 161、 163、 167、 169、 173、 179、 181；
187、 191、 193、 197、 199、 203、 209、 211；
217、 221、 223、 227、 229、 233、 239、 241；
247、 251、 253、 257、 259、 263、 269、 271；
277、 281、 283、 287、 289、 293、 299、 301；
307、 311、 313、 317、 319、 323、 329、 331；
337、 341、 343、 347、 349、 353、 359、 361；
367、 371、 373、 377、 379、 383、 389、 391；
397、 401、 403、 407、 409、 413、 419、 421；
427、 431、 433、 437、 439、 443、 449、 451；
457、 461、 463、 467、 469、 473、 479、 481；
487、 491、 493、 497、 499、 503、 509、 511；……。
还列出L组集合合数表： 49、77、91、119、121、133、143、161、169、187、203、209、217、221、247、253、259、287、289、301、319、323、329、341、343、361、371、377、391、401、407、413、427、437、451、469、373、481、493、497、511、…………。
在L组集合表中分别查出97、189、497这三个数。如果能查出这个数，那么这个数就是素数或者L组集合合数；如果查不出这个数，那么这个数就是合数（即非L组集合合数的合数）。因为189不在于L组集合表内的数，所以189就是非L组集合合数的合数。因为97和497都在于L组集合表内的数，所以这两个数就是素数或者L组集合合数。既然查出L组集合表内的数，还要查看是否在L组集合合数表内的数。如果这个数又在于L组集合合数表内，那么这个数就是合数；如果这个数不在L组集合合数表内的数，那么这个数就是素数。因为97是不在L组集合合数表内的数，所以97就是素数；因为497是在L组集合合数表内的数，所以497就是L组集合合数。因此97是素数，189和497是合数（即189是不在L组集合内的合数）。
例5：求出素数x，使x的右相邻素数为15727。
解：列出L组集合表如下：
……15667、15671、15673、15677、15679、15683、15689、15691；
15697、15701、15703、15707、15709、15713、15719、15721；
15727、15731、15733、15737、15739、15743、15749、15751；……
列出L组集合合数表：
……、15679、15689、15691、15697、15701、15703、15707、15709、15713、
15719、15721、15731、…………。
由L组集合表可知，素数15727前面的数15683、15689、15691、15697、15701、15703、15707、15709、15713、15719、15721都是L组集合的数；而15683是不在L组集合合数表内的数，所以紧跟着15727的素数是15683，即素数15727的左相邻素数是15683。
3. 素数分布的规律性
由此可知，L组集合合数是用数学计算式W =∑pi*{7、11、13、17、19、23、29、31；mi……}来求出的。
除2、3、5以外的一切素数是从L组集合中划去L组集合合数的'产物'，也就是说优化的L组集合的元素。
人们梦寐以求的素数公式是优化的L组集合。
4. 结论
以上所提出的求素数的工具是L组集合表和L组集合合数表（至今为止，这两个数表在市场上无法买到的，希望有关先生发愤努力早日做出这个'工具'来）。如果具备这两个数表，我们就能求出素数。
参考文献
[1]白鹤燮 安美花合著：《 素数的分布有规律性》（《现代教育教学探索》2012年8月上）
收稿日期：2012-12-26