函数是数学的重要基础，对称性和周期性是函数的两个重要性质，对称关系广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决.
　　 对称性：函数图像存在的一种对称关系，包括点对称和线对称.
　　 周期性：设函数ｆ（ｘ）的定义域是D，若存在非零常数T，使得对任何x∈D，都有x + T∈D，且ｆ（ｘ ＋ T） ＝ ｆ（ｘ），则函数ｆ（ｘ）为周期函数，T为ｆ（ｘ）的一个周期.
　　 一、 函数自身的对称性
　　 定理１ 函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图像关于点Ａ （ａ ，ｂ）对称的充要条件是ｆ（ｘ） ＋ｆ（２ａ － ｘ） ＝ ２ｂ.
　　 证明 （必要性）设点Ｐ（ｘ ，ｙ）是ｙ ＝ ｆ（ｘ）图像上任一点.
　　 ∵ 点Ｐ（ ｘ ，ｙ）关于点Ａ（ａ ，ｂ）的对称点Ｐ′（２ａ － ｘ，２ｂ － ｙ）也在ｙ ＝ ｆ（ｘ）图像上，
　　 ∴ ２ｂ － ｙ ＝ ｆ（２ａ － ｘ），即ｙ ＋ ｆ（２ａ － ｘ）＝２ｂ.
　　 故ｆ（ｘ） ＋ ｆ（２ａ － ｘ） ＝ ２ｂ，必要性得证.
　　 （充分性）设点Ｐ（x0，y0） 是ｙ ＝ ｆ（ｘ）图像上任一点，则y0＝ ｆ（x0 ）.
　　 ∵ ｆ（ｘ） ＋ ｆ（２ａ － ｘ） ＝ ２ｂ，
　　 ∴ ｆ（ｘ０） ＋ ｆ（２ａ － x0） ＝ ２ｂ，即２ｂ － y0 ＝ ｆ（２ａ － x0） .
　　 故点Ｐ′（２ａ － x0，２ｂ － y0）也在ｙ ＝ ｆ（ｘ） 图像上，而点Ｐ与点Ｐ（ｘ０，ｙ０） 关于点Ａ（ａ ，ｂ）对称，充分性得证.
　　 推论 函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图像关于原点Ｏ对称的充要条件是ｆ（ｘ） ＋ ｆ（－ｘ） ＝ ０.
　　 定理２ 函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图像关于直线ｘ ＝ ａ对称的充要条件是 ｆ（ａ ＋ ｘ） ＝ ｆ（ａ － ｘ），即ｆ（ｘ） ＝ ｆ（２ａ － ｘ）. 推论 ①函数y = ｆ（ｘ）满足ｆ（ａ ＋ ｘ） ＝ ｆ（ｂ － ｘ）的充要条件是ｙ ＝ ｆ（ｘ）图像关于直线x ==对称 .
　　 ② 函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图像关于ｙ轴对称的充要条件是ｆ（ｘ） ＝ ｆ（－ｘ）.
　　 定理３ ① 若函数ｙ ＝ ｆ（ｘ） 图像同时关于直线ｘ ＝ ａ和直线ｘ ＝ ｂ成轴对称 （ａ≠ｂ），则ｙ ＝ ｆ（ｘ）是周期函数，且２｜ ａ － ｂ｜是其一个周期.
　　 特例 ①如果偶函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）满足ｆ（T ＋ ｘ） ＝ ｆ（T － ｘ）（T ≠ ０），则函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）是以２T为周期的周期性函数.
　　 ② 若函数ｙ ＝ ｆ（ｘ） 图像同时关于点Ａ（ａ，ｃ）和点Ｂ（ｂ，ｃ）成中心对称（ａ≠ｂ），则ｙ ＝ ｆ（ｘ）是周期函数，且２｜ ａ － ｂ｜是其一个周期.
　　 ③ 当a = 0时， ｙ ＝ ｆ（ｘ）为奇函数，即奇函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）如果又关于点（ｂ，０）(b ≠ 0)对称，那么函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）是周期函数，T = 2b为函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的一个周期.
　　 ④ 若函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）图像既关于点Ａ（ａ，ｃ） 成中心对称，又关于直线ｘ ＝ ｂ成轴对称（ａ≠ｂ），则ｙ ＝ ｆ（ｘ）是周期函数，且４｜ ａ － ｂ ｜是其一个周期.
　　 ⑤ 如果奇函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）满足f（T + x） = ｆ（Ｔ － ｘ）(T≠0)，则函数y = f（ｘ）是以４T为周期的周期性函数.
　　 二、函数对称性应用举例
　　 例１ 定义在Ｒ上的非常数函数满足： ｆ（１０ ＋ ｘ）为偶函数，且ｆ（５ － ｘ） ＝ ｆ（５ ＋ ｘ），则ｆ（ｘ）一定 （）.
　　 Ａ. 是偶函数，也是周期函数
　　 Ｂ. 是偶函数，但不是周期函数
　　 Ｃ. 是奇函数，也是周期函数
　　 Ｄ. 是奇函数，但不是周期函数
　　 解 ∵ ｆ（１０ ＋ ｘ）为偶函数，
　　 ∴ ｆ（１０ ＋ ｘ） ＝ ｆ（１０ － ｘ），
　　 ∴ ｆ（ｘ）有两条对称轴ｘ ＝ ５与ｘ ＝ １０ ，
　　 ∴ ｆ（ｘ）是以１０为其一个周期的周期函数，
　　 ∴ ｘ ＝ ０，即ｙ轴也是ｆ （ｘ）的对称轴，因此ｆ（ｘ）还是一个偶函数. 故选 Ａ.
　　 例２ 设定义域为Ｒ的函数ｙ ＝ ｆ（ｘ），ｙ ＝ ｇ（ｘ）都有反函数，并且ｆ（ｘ － １）和ｇ － １（ｘ － ２）函数的图像关于直线ｙ ＝ ｘ对称，若ｇ（５） ＝ １９９９，那么ｆ（４） ＝ （ ）.
　　 Ａ. １９９９ Ｂ. ２０００
　　 Ｃ. ２００１ Ｄ. ２００２
　　 解 ∵ ｙ ＝ ｆ（ｘ － １）和ｙ ＝ ｇ －１（ｘ － ２）函数的图像关于直线ｙ ＝ ｘ对称，
　　 ∴ ｙ ＝ ｇ －１（ｘ － ２） 反函数是ｙ ＝ ｆ（ｘ － １），而ｙ ＝ ｇ － １（ｘ － ２）的反函数是ｙ ＝ ２ ＋ ｇ（ｘ），
　　 ∴ ｆ（ｘ － １） ＝ ２ ＋ ｇ（ｘ），
　　 ∴有ｆ（５ － １） ＝ ２ ＋ ｇ（５） ＝ ２００１，
　　 故ｆ（４） ＝ ２００１，应选Ｃ.
　　 例３ 设ｆ（ｘ）是定义在Ｒ上的偶函数，且ｆ（１ ＋ ｘ）＝ f（１ － ｘ），当－１ ≤ ｘ ≤ ０时， ｆ（ｘ） ＝ －ｘ，则ｆ（８．６） ＝ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿ .
　　 解 ∵ ｆ（ｘ）是定义在Ｒ上的偶函数，
　　 ∴ ｘ ＝ ０是ｙ ＝ ｆ（ｘ）的对称轴.
　　又∵ ｆ（１ ＋ ｘ） ＝ ｆ（１ － ｘ） ，
　　 ∴ ｘ ＝ １也是ｙ ＝ ｆ（ｘ） 的对称轴，故ｙ ＝ ｆ（ｘ）是以２为周期的周期函数，
　　 ∴ ｆ（８．６）＝ ｆ（８ ＋ ０．６） ＝ ｆ（ ０．６） ＝ ｆ（－０．６） ＝ ０．３.
　　 例４ 设ｆ（ｘ）是定义在Ｒ上的奇函数，且ｆ（ｘ ＋ ２） ＝ －ｆ（ｘ），当０ ≤ ｘ ≤ １时， ｆ（ｘ） ＝ ｘ，则ｆ（７．５） ＝ （ ）.
　　 Ａ. ０．５ Ｂ. －０．５ Ｃ. １．５ Ｄ. －１．５
　　 解 ∵ ｙ ＝ ｆ（ｘ）是定义在Ｒ上的奇函数，
　　 ∴点（０，０）是其对称中心.
　　又 ∵ ｆ（ｘ ＋ ２） ＝ －ｆ（ｘ） ＝ ｆ（－ｘ），即ｆ（１ ＋ ｘ） ＝ ｆ（１ － ｘ）， ∴直线ｘ ＝ １是ｙ ＝ ｆ（ｘ） 对称轴，故ｙ ＝ ｆ（ｘ）是周期为４的周期函数.
　　 ∴ ｆ（７．５ ） ＝ ｆ（８－０．５ ） ＝ ｆ（－０．５） ＝ －ｆ（０．５）＝ －０．５. 故选 Ｂ.
　　
　　注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”