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高三绝大部分学生对于课本中的概念、定义、定理能够正确地背诵、默写出来，但准确运用却很难做到.特别是高考答卷时，由于处于特定的情境，所以更容易混淆概念，导致考试丢分.下面列举高三复习过程中常见的几组易错概念，帮助同学们提高准确辨析并正确运用概念的能力.
一、截距与截得的距离
一般地，我们把直线L与x轴（y轴）交点的横（纵）坐标称为其在x轴（y轴）上的截距.显然当直线L与x轴（y轴）平行时，其在x轴（y轴）上的截距不存在，当直线L与x轴（y轴）不平行时，截距存在，取值范围为（-∞，+∞）.可见，截距不是直线与坐标轴的交点到原点的距离.如有相等，也纯属巧合.
例1（2010年安徽文科卷改编）已知直线L经过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行，求L在坐标轴上的截距.
解由已知易求L的方程为：x-2y-1=0.
令x=0，得y=-12；令y=0，得x=1.
∴L在x轴上的截距为1，在y轴上截距为-12.
二、零点与点
我们把函数y=f（x）的图像与x轴的交点的横坐标称为这个函数的零点.显然，零点不是点，不可望文生义.
例2（2010年湖南理科卷）已知函数f(x)=3sin2x-2sin2x.（Ⅰ）求函数f(x)的最大值；（Ⅱ）求函数f(x)的零点的集合.
解（Ⅰ）略.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=2sin2x+π6-1.
令f(x)=0,得sin2x+π6=12，
∴2x+π6=2kπ+π6，或2x+π6=2kπ+5π6，k∈Z，
即x=kπ，或x=kπ+π3,k∈Z，
故函数f(x)的零点的集合为{x|x=kπ，或x=kπ+π3，k∈Z}.
若考生的结论是：f(x)的零点的集合为（x，y）|（kπ，0），kπ+π3，0，k∈Z，则显然错误.
三、否命题与命题的否定
否命题是将条件和结论分别否定，命题的否定只对结论否定，不过要特别注意：特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题.考生容易忽略修改量词，导致结论出错.
例3（2010年天津理科卷）命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是（）.
A.若f(x)是偶函数，则f(-x)是偶函数
B.若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数
C.若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D.若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
解本题主要考查否命题的概念，否命题是同时否定命题的条件结论，故可知B选项是正确的.
例4（2010年安徽文科卷）命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是.
解特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”.本题应填：对任意x∈R，都有x2+2x+5≠0.这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者虽然修改了量词，但形式不对.如“>”的否定用“<”了，“都是”的否定用“都不是”了.
四、充分不必要与必要不充分
对于命题p，q，若p能推出q但q不能推出p则p是q成立的充分不必要条件；若p不能推出q但q能推出p则p是q成立的必要不充分条件.
例5（2010年陕西理科卷）对于数列{an}，“an+1>|an|(n=1,2,…)”是“{an}为递增数列”的（）.
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解由an+1>|an|(n=1,2,…),知{an}所有項均为正项，且a1|an|(n=1,2,…)，如数列：-3，-2,-1,0,1,2，3,….故选B.
例6（2010年湖北理科卷）记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min{x1，x2，…，xn}.已知△ABC的三边长为a,b,c（a≤b≤c），定义它的倾斜度为l=maxab,bc,ca•minab,bc,ca，则“l=1”是“△ABC为等边三角形”的（）.
A.必要而不充分的条件B.充分而不必要的条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解若△ABC为等边三角形时，即a=b=c，则maxab,bc,ca=1=minab,bc,ca,则l=1；
若△ABC为等腰三角形，如a=2,b=2,c=3时，则maxab,bc,ca=32,minab,bc,ca=23，
此时l=1仍成立但△ABC不为等边三角形,故选A.
五、二项式系数与项的系数
(a+b)n=C0nan+C1nanb+…+Crnan-rbr+…+Cnnbn(n∈N*)，其通项为Tr+1=Crnan-rbr，(r=0,1,…，n)，二项式系数特指Crn，而项的系数则指字母外的部分.
例7（2010年四川理科卷改编）求2-13x6展开式中的第四项，并指出该项的系数及二项式系数.
解T4=C3626-3-13x3=-160x.
故第四项为-160x，该项的系数为-160，该项的二项式系数为C36=20.
六、能成立与恒成立
能成立（也称存在解）和恒成立是有明显区别的，要细心甄别，恰当使用.一般地，解决能成立和恒成立问题的基本策略是转化为求函数最值问题，即：
（1）不等式f(x)<λ在x∈D时恒成立fmax(x)<λ,x∈D.或f(x)的上界小于或等于λ；
（2）不等式f(x)<λ在x∈D时能成立fmin（x)<λ,x∈D.或f(x)的下界小于λ；
（3）不等式f(x)<λ在x∈D时恒成立fmin(x)>λ,x∈D或f(x)的下界大于或等于λ；
（4）不等式f(x)>λ在x∈D时能成立fmin(x)>λ,x∈D或f(x)的上界大于λ.
例8（2011年陕西理科卷）若关于x的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在实数解，则实数a的取值范围是.
解设f(x)=|x+1|+|x-2|，易求f（x）的最小值为3.
欲使关于x的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在实数解，则满足|a|≥3即可.
所以，应填(-∞,-3］∪［3,+∞).
例9（2011年陕西文科卷）设f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f′(x).
（Ⅰ）求g(x)的单调区间和最小值；
（Ⅱ）讨论g(x)与g1x的大小关系；
（Ⅲ）求a的取值范围，使得g(a)-g(x)<1a对任意x＞0成立.
解（Ⅰ）、(Ⅱ)略.
（Ⅲ）由（Ⅰ）知g(x)=lnx+1x且g(x)的最小值为1，
∴g(a)-g(x)<1a，对任意x>0成立.
∴g(a)-1a0恒成立.
∴g(a)-1a<1，即lna<1,从而得0
（上接98页）
My-NxNp′(x)q(y)+Mp(x)q2(y)q′(y)=Φ(g)，(8)
并且积分因子为μ(x,y)=e∫Φ(g)dg，g=p(x)q(y)，q(y)≠0.
三、应用举例
例1求微分方程(y-x3-xy2)dx-xdy=0的通解.
解令M=y-x3-xy2，N=-x，
则My-Nx=2-2xy，取p(x)=x2，q(y)=y2，将上式代入(6)式，得
My-NxNp′(x)-Mq′(y)=-1x2+y2，因此取Φ(g)=-1g，g=p(x)+q(y)=x2+y2，
μ(x,y)=e∫Φ(g)dg=e∫-1gdg=1g=1x2+y2，所以该方程可以化为全微分方程
ydx-xdyx2+y2-xdx=0，
从而微分方程的通解为arctanxy-x22=C，C为任意常数.
例2求微分方程(y2cosx+cosx)dx+(xycosx+cosx+xsinx)dy=0的通解.
解令M=y2cosx+cosx，N=xycosx+cosx+xsinx，
则My-Nx=ycosx+xysinx-xcosx，
取p(x)=x，q(y)=y，将上式代入(7)式，得
My-NxNp′(x)q(y)-Mp(x)q′(y)=1，
因此取Φ(g)=1，g=p(x)q(y)=xy，计算可得
μ(x,y)=e∫Φ(g)dg=e∫dg=eg=exy，
所以该方程可以化为全微分方程
exy(y2cosx+cosx)dx+exy(xycosx+cosx+xsinx)dy=0.
又因为
∫(x,y)(0,0)exy(y2cosx+cosx)dx+exy(xycosx+cosx+xsinx)dy
=∫x0cosxdx+∫y0exy(xycosx+cosx+xsinx)dy
=exy(ycosx+sinx),
所以，该方程的通解为exy(ycosx+sinx)=C，C为任意常数.
【参考文献】
［1］东北师范大学数学系编.常微分方程［M］.北京:高等教育出版社,2001：35-45.
［2］王高雄等编.常微分方程［M］.北京:高等教育出版社,1984：44-49.
一、截距与截得的距离
一般地，我们把直线L与x轴（y轴）交点的横（纵）坐标称为其在x轴（y轴）上的截距.显然当直线L与x轴（y轴）平行时，其在x轴（y轴）上的截距不存在，当直线L与x轴（y轴）不平行时，截距存在，取值范围为（-∞，+∞）.可见，截距不是直线与坐标轴的交点到原点的距离.如有相等，也纯属巧合.
例1（2010年安徽文科卷改编）已知直线L经过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行，求L在坐标轴上的截距.
解由已知易求L的方程为：x-2y-1=0.
令x=0，得y=-12；令y=0，得x=1.
∴L在x轴上的截距为1，在y轴上截距为-12.
二、零点与点
我们把函数y=f（x）的图像与x轴的交点的横坐标称为这个函数的零点.显然，零点不是点，不可望文生义.
例2（2010年湖南理科卷）已知函数f(x)=3sin2x-2sin2x.（Ⅰ）求函数f(x)的最大值；（Ⅱ）求函数f(x)的零点的集合.
解（Ⅰ）略.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=2sin2x+π6-1.
令f(x)=0,得sin2x+π6=12，
∴2x+π6=2kπ+π6，或2x+π6=2kπ+5π6，k∈Z，
即x=kπ，或x=kπ+π3,k∈Z，
故函数f(x)的零点的集合为{x|x=kπ，或x=kπ+π3，k∈Z}.
若考生的结论是：f(x)的零点的集合为（x，y）|（kπ，0），kπ+π3，0，k∈Z，则显然错误.
三、否命题与命题的否定
否命题是将条件和结论分别否定，命题的否定只对结论否定，不过要特别注意：特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题.考生容易忽略修改量词，导致结论出错.
例3（2010年天津理科卷）命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是（）.
A.若f(x)是偶函数，则f(-x)是偶函数
B.若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数
C.若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D.若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
解本题主要考查否命题的概念，否命题是同时否定命题的条件结论，故可知B选项是正确的.
例4（2010年安徽文科卷）命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是.
解特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”.本题应填：对任意x∈R，都有x2+2x+5≠0.这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者虽然修改了量词，但形式不对.如“>”的否定用“<”了，“都是”的否定用“都不是”了.
四、充分不必要与必要不充分
对于命题p，q，若p能推出q但q不能推出p则p是q成立的充分不必要条件；若p不能推出q但q能推出p则p是q成立的必要不充分条件.
例5（2010年陕西理科卷）对于数列{an}，“an+1>|an|(n=1,2,…)”是“{an}为递增数列”的（）.
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解由an+1>|an|(n=1,2,…),知{an}所有項均为正项，且a1
例6（2010年湖北理科卷）记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min{x1，x2，…，xn}.已知△ABC的三边长为a,b,c（a≤b≤c），定义它的倾斜度为l=maxab,bc,ca•minab,bc,ca，则“l=1”是“△ABC为等边三角形”的（）.
A.必要而不充分的条件B.充分而不必要的条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解若△ABC为等边三角形时，即a=b=c，则maxab,bc,ca=1=minab,bc,ca,则l=1；
若△ABC为等腰三角形，如a=2,b=2,c=3时，则maxab,bc,ca=32,minab,bc,ca=23，
此时l=1仍成立但△ABC不为等边三角形,故选A.
五、二项式系数与项的系数
(a+b)n=C0nan+C1nanb+…+Crnan-rbr+…+Cnnbn(n∈N*)，其通项为Tr+1=Crnan-rbr，(r=0,1,…，n)，二项式系数特指Crn，而项的系数则指字母外的部分.
例7（2010年四川理科卷改编）求2-13x6展开式中的第四项，并指出该项的系数及二项式系数.
解T4=C3626-3-13x3=-160x.
故第四项为-160x，该项的系数为-160，该项的二项式系数为C36=20.
六、能成立与恒成立
能成立（也称存在解）和恒成立是有明显区别的，要细心甄别，恰当使用.一般地，解决能成立和恒成立问题的基本策略是转化为求函数最值问题，即：
（1）不等式f(x)<λ在x∈D时恒成立fmax(x)<λ,x∈D.或f(x)的上界小于或等于λ；
（2）不等式f(x)<λ在x∈D时能成立fmin（x)<λ,x∈D.或f(x)的下界小于λ；
（3）不等式f(x)<λ在x∈D时恒成立fmin(x)>λ,x∈D或f(x)的下界大于或等于λ；
（4）不等式f(x)>λ在x∈D时能成立fmin(x)>λ,x∈D或f(x)的上界大于λ.
例8（2011年陕西理科卷）若关于x的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在实数解，则实数a的取值范围是.
解设f(x)=|x+1|+|x-2|，易求f（x）的最小值为3.
欲使关于x的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在实数解，则满足|a|≥3即可.
所以，应填(-∞,-3］∪［3,+∞).
例9（2011年陕西文科卷）设f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f′(x).
（Ⅰ）求g(x)的单调区间和最小值；
（Ⅱ）讨论g(x)与g1x的大小关系；
（Ⅲ）求a的取值范围，使得g(a)-g(x)<1a对任意x＞0成立.
解（Ⅰ）、(Ⅱ)略.
（Ⅲ）由（Ⅰ）知g(x)=lnx+1x且g(x)的最小值为1，
∴g(a)-g(x)<1a，对任意x>0成立.
∴g(a)-1a
∴g(a)-1a<1，即lna<1,从而得0
（上接98页）
My-NxNp′(x)q(y)+Mp(x)q2(y)q′(y)=Φ(g)，(8)
并且积分因子为μ(x,y)=e∫Φ(g)dg，g=p(x)q(y)，q(y)≠0.
三、应用举例
例1求微分方程(y-x3-xy2)dx-xdy=0的通解.
解令M=y-x3-xy2，N=-x，
则My-Nx=2-2xy，取p(x)=x2，q(y)=y2，将上式代入(6)式，得
My-NxNp′(x)-Mq′(y)=-1x2+y2，因此取Φ(g)=-1g，g=p(x)+q(y)=x2+y2，
μ(x,y)=e∫Φ(g)dg=e∫-1gdg=1g=1x2+y2，所以该方程可以化为全微分方程
ydx-xdyx2+y2-xdx=0，
从而微分方程的通解为arctanxy-x22=C，C为任意常数.
例2求微分方程(y2cosx+cosx)dx+(xycosx+cosx+xsinx)dy=0的通解.
解令M=y2cosx+cosx，N=xycosx+cosx+xsinx，
则My-Nx=ycosx+xysinx-xcosx，
取p(x)=x，q(y)=y，将上式代入(7)式，得
My-NxNp′(x)q(y)-Mp(x)q′(y)=1，
因此取Φ(g)=1，g=p(x)q(y)=xy，计算可得
μ(x,y)=e∫Φ(g)dg=e∫dg=eg=exy，
所以该方程可以化为全微分方程
exy(y2cosx+cosx)dx+exy(xycosx+cosx+xsinx)dy=0.
又因为
∫(x,y)(0,0)exy(y2cosx+cosx)dx+exy(xycosx+cosx+xsinx)dy
=∫x0cosxdx+∫y0exy(xycosx+cosx+xsinx)dy
=exy(ycosx+sinx),
所以，该方程的通解为exy(ycosx+sinx)=C，C为任意常数.
【参考文献】
［1］东北师范大学数学系编.常微分方程［M］.北京:高等教育出版社,2001：35-45.
［2］王高雄等编.常微分方程［M］.北京:高等教育出版社,1984：44-49.