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摘 要：本文设计出一种新趋近律，很好地弥补了传统幂次趋近律在实际生产应用中的弊端，引入到二阶系统中，从而得出一个新的控制律。该控制律可保证系统运动终点能很好的趋向滑模面，有降低抖振和保持快速趋近的动态品质。
关键词：变结构 趋近律 抖振
中图分类号：N3 文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2013.03.045
1 .传统趋近律的分析
趋近律策略是变结构研究中的一种典型方法，通过分析趋近律，对系统的控制性能和滑模面有一个针对性的了解，达到消除抖振的目的。
在变结构中，传统趋近律主要包括等速、指数、冪次和一般趋近律。
2 .幂次趋近律的得出
首先从幂次趋近律的微分形式出发进行分析。
幂次趋近律微分形式：
s=-k1s（t）？琢sgn（s（t）） （1）
在有限时间内到达，设■ =k1s（t）？琢，其中 ，k1>0 ，1>？琢>0，
sgn（s（t））=1. s（t）>0 sgn（s（t））=-1. s（t）<0
积分可得：t=■，其中s（0）=s0为系统的初始值。
则： t=■ .
系统轨迹s到达滑模面s（t）=0，那么时间t=■ ，当 0<？琢<1，时，时间 t=■，这样保证了有限时间到达切换面，从而可以减小抖振。
本文在幂次趋近律基础上，设计了一个新的趋近律，即s=-k1s（t）？琢sgn（s（t））-k2cos？茁 （2） 其中， k1>0 ，k2>0，1>？琢>0，？茁>1
离散趋近律的到达条件。
取一个SISO系统，状态方程为：x（k+1）=Ax（k）+bu（k）其中，x（k）=[x1（k），x2（k）]T为状态变量，u（k）为输入变量。取T为0.001s，将式离散化，得到离散趋近律为：
■=-k1s（k）？琢sgn（s（k））-k2cos？茁sgn（s（k）） （3）
s（k+1）-s（k）=-k1Ts（k）？琢sgn（s（k））-k2Tcos？茁sgn（s（k）） （4）
其中，T为采样周期，验证离散滑模的存在和可达性条件：
[s（k+1）-s（k）]sgn（s（k））<0. [s（k+1）+s（k）]sgn（s（k））>0.
由（3）和（4）得：
[s（k+1）-s（k）]sgn（s（k））
=[-k1Ts（k）？琢sgn（s（k））-k2Tcos？茁sgn（s（k）） ]sgn（s（k））
=-k1Ts（k）？琢s（k）-k2Tcos？茁s（k）<0 （5）
[s（k+1）+s（k）]sgn（s（k））
=[-k1s（k）？琢Tsgn（s（k））-k2Tcos？茁s（k）+2s（k）]sgn（s（k））
=[2s（k）-k1s（k）？琢Tsgn（s（k））-k2Tcos？茁sgn（s（k））]sgn（s（k）） （6）
因此： [s（k+1）+s（k）]sgn（s（k））>0. （7）
综合（5）、（7）两式，设计的组合趋近律完全满足到达条件。
3 .幂次控制律的设计
设定滑模面为s（k）=Cx（k）=0，
即：s（k+1）=Cx（k+1）=C[Ax（k）+Bu（k）]
=CAx（k）+CBu（k） （8）
把（8）式代入离散趋近律（4）中，得：
s（k+1）-s（k）=CAx（k）+Bu（k）]-s（k）
=-k1s（k）？琢Tsgn（s（k））-k2Tsgn（s（k）） （9） 则：
u（k）=-（CB）-1[CAx（k）+k2Tcos？茁sgn（s（k））-s（k）+k1s（k）？琢Tsgn（s（k））]
（10）
首先保证系统可控，滑模控制必须满足可控条件CB≠0，那么离散控制律为：
u（k）=-（CB）-1[CAx（k）+k2Tcos？茁sgn（s（k））-s（k）+k1s（k）？琢Tsgn（s（k））]
（11）
采用饱和函数sat（s（t））取代符号函数sgn（s（t）），能有效防止控制器发生抖振。
sat（s（t））=1 s（t）>△
sat（s（t））=ks s（k）≤△ k=1/△
sat（s（t））=-1 s（t）<△
则离散控制律（11）式变为：
u（k）=-（CB）-1[CAx（k）+k2Tcos？茁sat（s（k））-s（k）+k1s（k）？琢Tsat（s（k））]
（12）
4 .仿真实例
针对移状态变量和输入变量，将其写成状态方程形式：
X=Am（t）+Bp（t）
对比仿真图像，可以看出饱和函数在降低抖振中的效果是非常明显的。
5 . 结论
本文基于传统趋近律分析和改进，针对SISO系统有很好的控制效果，且具有很好的鲁棒性。由于变结构控制对外界干扰不灵敏，使得其应用范围很广。
References
[1] Liu Jinkun（刘金琨），MATLAB Simulation for Sliding Mode Control（滑模变结构控制MATLAB仿真）[M] .Benjing：Tsinghua University Press，2005
[2] Gao Weibing（高为炳），Theory and Design Method for Variable Structure Control（变结构控制的理论及设计方法 ）[M]，Benjing：Science Press（科学出版社），1996.
关键词：变结构 趋近律 抖振
中图分类号：N3 文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2013.03.045
1 .传统趋近律的分析
趋近律策略是变结构研究中的一种典型方法，通过分析趋近律，对系统的控制性能和滑模面有一个针对性的了解，达到消除抖振的目的。
在变结构中，传统趋近律主要包括等速、指数、冪次和一般趋近律。
2 .幂次趋近律的得出
首先从幂次趋近律的微分形式出发进行分析。
幂次趋近律微分形式：
s=-k1s（t）？琢sgn（s（t）） （1）
在有限时间内到达，设■ =k1s（t）？琢，其中 ，k1>0 ，1>？琢>0，
sgn（s（t））=1. s（t）>0 sgn（s（t））=-1. s（t）<0
积分可得：t=■，其中s（0）=s0为系统的初始值。
则： t=■ .
系统轨迹s到达滑模面s（t）=0，那么时间t=■ ，当 0<？琢<1，时，时间 t=■，这样保证了有限时间到达切换面，从而可以减小抖振。
本文在幂次趋近律基础上，设计了一个新的趋近律，即s=-k1s（t）？琢sgn（s（t））-k2cos？茁 （2） 其中， k1>0 ，k2>0，1>？琢>0，？茁>1
离散趋近律的到达条件。
取一个SISO系统，状态方程为：x（k+1）=Ax（k）+bu（k）其中，x（k）=[x1（k），x2（k）]T为状态变量，u（k）为输入变量。取T为0.001s，将式离散化，得到离散趋近律为：
■=-k1s（k）？琢sgn（s（k））-k2cos？茁sgn（s（k）） （3）
s（k+1）-s（k）=-k1Ts（k）？琢sgn（s（k））-k2Tcos？茁sgn（s（k）） （4）
其中，T为采样周期，验证离散滑模的存在和可达性条件：
[s（k+1）-s（k）]sgn（s（k））<0. [s（k+1）+s（k）]sgn（s（k））>0.
由（3）和（4）得：
[s（k+1）-s（k）]sgn（s（k））
=[-k1Ts（k）？琢sgn（s（k））-k2Tcos？茁sgn（s（k）） ]sgn（s（k））
=-k1Ts（k）？琢s（k）-k2Tcos？茁s（k）<0 （5）
[s（k+1）+s（k）]sgn（s（k））
=[-k1s（k）？琢Tsgn（s（k））-k2Tcos？茁s（k）+2s（k）]sgn（s（k））
=[2s（k）-k1s（k）？琢Tsgn（s（k））-k2Tcos？茁sgn（s（k））]sgn（s（k）） （6）
因此： [s（k+1）+s（k）]sgn（s（k））>0. （7）
综合（5）、（7）两式，设计的组合趋近律完全满足到达条件。
3 .幂次控制律的设计
设定滑模面为s（k）=Cx（k）=0，
即：s（k+1）=Cx（k+1）=C[Ax（k）+Bu（k）]
=CAx（k）+CBu（k） （8）
把（8）式代入离散趋近律（4）中，得：
s（k+1）-s（k）=CAx（k）+Bu（k）]-s（k）
=-k1s（k）？琢Tsgn（s（k））-k2Tsgn（s（k）） （9） 则：
u（k）=-（CB）-1[CAx（k）+k2Tcos？茁sgn（s（k））-s（k）+k1s（k）？琢Tsgn（s（k））]
（10）
首先保证系统可控，滑模控制必须满足可控条件CB≠0，那么离散控制律为：
u（k）=-（CB）-1[CAx（k）+k2Tcos？茁sgn（s（k））-s（k）+k1s（k）？琢Tsgn（s（k））]
（11）
采用饱和函数sat（s（t））取代符号函数sgn（s（t）），能有效防止控制器发生抖振。
sat（s（t））=1 s（t）>△
sat（s（t））=ks s（k）≤△ k=1/△
sat（s（t））=-1 s（t）<△
则离散控制律（11）式变为：
u（k）=-（CB）-1[CAx（k）+k2Tcos？茁sat（s（k））-s（k）+k1s（k）？琢Tsat（s（k））]
（12）
4 .仿真实例
针对移状态变量和输入变量，将其写成状态方程形式：
X=Am（t）+Bp（t）
对比仿真图像，可以看出饱和函数在降低抖振中的效果是非常明显的。
5 . 结论
本文基于传统趋近律分析和改进，针对SISO系统有很好的控制效果，且具有很好的鲁棒性。由于变结构控制对外界干扰不灵敏，使得其应用范围很广。
References
[1] Liu Jinkun（刘金琨），MATLAB Simulation for Sliding Mode Control（滑模变结构控制MATLAB仿真）[M] .Benjing：Tsinghua University Press，2005
[2] Gao Weibing（高为炳），Theory and Design Method for Variable Structure Control（变结构控制的理论及设计方法 ）[M]，Benjing：Science Press（科学出版社），1996.