摘要：本文定义三个侧面两两互相垂直的三棱锥称为直角三棱锥，笔者通过深入探究，给出直角三棱锥的若干性质，并证明这些性质结论的正确性，供同行教学参考.
　　关键词：直角三棱锥；定义；性质；证明
　　
　　定义：三个侧面两两互相垂直的三棱錐，称为直角三棱锥
　　直角三棱锥在高三复习立体几何时经常遇到，学生非常熟悉它的一些基本性质：三条侧棱两两互相垂直，相对棱互相垂直；其中一条侧棱垂直于另外两条侧棱所在侧面；顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心；底面三角形为锐角三角形；体积等于侧棱长乘积的；外接球半径的平方等三条侧棱长的平方和的. 除此之外，本文再介绍一些棱长与高，侧面积与底面积，侧面或侧棱与底面所成的角，内切球半径等之间的关系.
　　如图1，记直角三棱锥P－ABC的侧棱PA=a，PB=b，PC=c，顶点P在底面△ABC内的射影为O，高PO=h，内切球半径为γ，△PAB，△PBC，△PAC，△ABC的面积分别是S1，S2，S3和S.
　　
　　图1
　　性质1：=++.
　　证明：如图1，易证PD⊥AB，PO⊥DC，PC⊥PD. 于是PO=，PD=，从而==，因此=++.
　　性质2：S+S+S=S2.
　　证明：如图1，S=AB•CD=••
　　=
　　=
　　=，
　　于是S2=S+S+S.
　　性质3：=+++.
　　证明：如图1，VP-ABC=abc=S1γ+S2γ+S3γ+Sγ，整理得=.又S2=S+S+S=2+2+2，故2S=. 于是==+++=+++.
　　性质4：S=S•S△AOB，S=S•S△BOC，S=S•S△AOC.
　　证明：如图1，S=AB2•PD2，S△AOB=AB•DO，S=AB•DC.
　　又PD⊥PC，PO⊥DC，所以PD2=DO•DC. 于是S=S•S△AOB.
　　同理可证，S=S•S△BOC，S=S•S△AOC.
　　性质5：直角三棱锥的侧面与底面所成角的余弦的平方和等于1.
　　证明：如图1，不妨设侧面PAB，PBC，PAC与底面ABC所成角分别为α，β，γ，则cosα=，cosβ=，cosγ=. 于是cos2α+cos2β+cos2γ=++=++==1.
　　推论：如果直角三棱锥的侧棱长相等，则侧面与底面所成角的余弦值均为.
　　性质6：直角三棱锥的底面与其中一侧面所成角的正切的平方等于底面每一条边与该侧面所成角的正切的平方和.
　　证明：如图1，不妨设底面ABC与侧面PAB所成的角为θ，边CA，CB，AB与侧面PAB所成的角分别为θ1，θ2，θ3，易证∠PDC=θ，∠CAP=θ1，∠CBP=θ2，θ3=0. 因为PD•AB=PA•PB，AB2=PA2+PB2，所以PD2==. 于是tan2θ===+=tan2θ1+tan2θ2. 又因为tanθ3=tan0=0，从而tan2θ=tan2θ1+tan2θ2+tan2θ3.
　　性质7：设点Q是直角三棱锥P－ABC的底面上一点，则
　　（1）PQ的平方等于点Q到各侧面的距离的平方和；
　　（2）PQ与侧棱所成角的余弦的平方和等于1；
　　（3）PQ与侧面所成角的余弦的平方和等于2.
　　分析：当Q在底边上时，易证结论成立；当Q不在底边上时，过点Q作三个平面分别平行三个侧面，它们与三个侧面围成一个长方体，且QP为长方体的对角线，从而由长方体的性质即可获证.
　　性质8：直角三棱锥的侧棱与底面所成角的余弦的平方和等于2.
　　分析：如图1，设侧棱PA，PB，PC与PO所成的角依次为α′，β′，γ′，与底面ABC所成角依次为φ1，φ2，φ3，由性质7（2）知，cos2α′+cos2β′+cos2γ′=1. 又由于φ1，φ2，φ3分别与α′，β′，γ′互余，故可得cos2φ1+cos2φ2+cos2φ3=2.
　　性质9：直角三棱锥的底面每一条边与三条侧棱所成的角的余弦的平方和等于1，与三个侧面所成角的余弦平方和等于2.
　　分析：如图1，底面边AB与侧棱PA，PB所成的角为Rt△PAB的两锐角，又由AB⊥PC，易证结论成立.
　　性质10：设直角三棱锥P－ABC内任一点M到平面PBC，PAC，PAB，ABC的距离分别为d1，d2，d3，d4，则+++=1.
　　证明：如图1，因为==，所以同理可得=，=，=.
　　于是+++===1.