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【摘要】本文以极值理论的POT模型为基础，利用山东省1949年～2010年的粮食作物单产数据对山东省的粮食作物巨灾损失进行测算。结果表明：极值损失统计模型可以很好的拟合小麦、玉米损失的极值数据，能够有效克服传统统计方法在拟合巨灾风险方面的不足，为农业巨灾风险的评估提供稳健的方法；山东省目前的保险费率较低，与测算的风险水平不一致。本文认为山东省应尽快建立一个完善的巨灾风险准备金制度，为农业巨灾的防灾、救灾和抗灾等积累和筹集资金，以增强农户应对农业巨灾风险的综合实力，实现社会福利的最大化。
【关键词】粮食作物 巨灾损失 POT模型 山东省
一、引言
我国是一个农业巨灾发生频繁并且严重的国家。近年来自然灾害损失有更加严重的趋势，2008年年初我国南方雪灾，农作物受灾面积达2.17亿亩，造成3076万亩绝收，直接经济损失达1516.5亿元。
这种极值事件发生的概率很低，但造成的危害却十分巨大。一旦发生农业巨灾，农户、农业保险公司和政府财政将承担巨大的压力。因此，如何有效的测算农业巨灾风险的水平就显得尤为重要。同时由于极值事件发生概率低、损失大的特点，因此传统的模型测算方法对极值事件的预测就会有许多困难。而极值损失统计模型可以有效的测算农业巨灾发生的概率水平。
二、极值损失统计模型
（一）极值理论
近年来，极值理论在气象、水文、地震等领域应用广泛，大量研究把极值理论用于金融保险等领域进行实证分析。极值理论是有效测量极端市场条件下市场风险的一种方法，它具有超越样本数据的估计能力，并可以准确地描述分布尾部的分位数。在利用极值理论度量金融风险时主要有两类模型：一类是BMM模型，这类模型是根据组内极大值建模，主要用于处理具有明显季节性数据的极值问题上。另一类极值模型是广义Pareto模型，也称POT模型或GPD模型，是对超越某一阀值的数据进行建模，由于GPD模型有效的使用了有限的极端观察值，因此是目前经常使用的一类极值模型。
（二）POT模型的理论基础
1.POT模型的参数估计。对于给定的一个符合广义的帕累托分布的样本{z1，…，zn}的对数似然函数L（ξ，σ|z）为：
2.POT模型的阀值u的选择。如果阀值u选取的过高会导致超限数据量太少，从而估计出参数的方差会偏高；如果阀值u选取的太低，则会产生有偏的估计量。通常有以下两种方法来确定门限值u，一种是根据Hill图法；另一种是根据样本的平均超出函数图（MEF），本文采用样本的平均超出函数图确定门限值u，令X（1）>X（2）>…>X（n），样本的平均超出函数定义为：
超限期望图为点（u，e（u））构成的曲线，选取充分大的u作为阀值，使得当x≥u时e（x）为近似线性函数。如果EMF图超过某一门限值之后有明显的线性变化，且超限期望图当x≥u时是向上倾斜的，说明数据来源于参数ξ为正的GPD分布；如果EMF图超过某一门限值之后有明显的线性变化，超限期望图当x≥u时是向下倾斜的，说明数据来源于尾部较短的分布；如果平均超出图当x≥u时是水平的，则说明该数据来源于指数分布。
三、山东省粮食作物巨灾损失概率的测算
（一）灾损数据获得
查阅山东省统计年鉴得到1949～2010年的小麦、玉米的粮食单产数据X’，进行趋势拟合得到各年的正常单产X1，进而得到灾损数据X=X1-X’，提取出损失为正的数据作为粮食损失数据，最后得到33个损失数据，属于典型的小样本集合，本文的实验软件为MATLAB2010b。
为解决样本数据不足所导致的极大似然估计中误差增大的问题，本文通过蒙特卡罗模拟来扩大山东省粮食损失数据的样本空间。本文选取国内外相关研究中使用较多的6中分布模型作为候选模型，从拟合优度检验结果可以看出，Gamma分布式该序列的最优分布形式。
本文根据上述概率分布进行随机抽样1000次，即模拟1000次，由此产生已知Gamma概率分布的随机变量并建立新的样本空间。
（二）灾损数据厚尾性检
1.损失数据的描述性统计分析。从统计结果看，小麦损失数据的偏度为1.99和峰度为5.9、玉米损失数据的偏度为2.69和峰度为11.50，存在明显的“尖峰”和“厚尾”的特征。并且JB统计量结果也拒绝了正态分布的原假设。
2.同时我们通过正态分布QQ图得出正态分布不能很好地拟合小麦、玉米的损失数据。同时，从观察样本中去掉8个最大的观察值后，此时拟合效果相对有效，说明小麦、玉米损失数据的极值数据对拟合效果有明显的影响。
因此，本文运用极值理论POT模型对于小麦、玉米损失数据进行建模。
（三）门限值u的确定、参数估计及POT模型的检验
本文使用平均超出损失函数图法来选取门限值，由上图可以看出小麦损失额从u=129.94，玉米损失额从u=100之后，出现明显的斜率变化，表示损失分布有可能是广义帕累托分布。但是图中出现一个以上的转折点，难以确定合适的阀值。因此我们使用平均超额损失图初步选取几个阀值，我们利用极大似然估计法分别估计其对应的GPD参数ξ和β的估计值，同时根据查阅GPD检验值表选出最佳阀值。
对于初选的门限值u=129.94及其附近的可能门限值，通过计算小麦损失超阀值u的超额样本数据的分布函数，分别进行Anderson-Darling检验可知，当u=132.75时，A2所对应的α值最大，因此最终选取的阀值u=132.75。
通过计算玉米损失超阀值u的超额样本数据的分布函数，分别进行Anderson-Darling检验可知，当u=101.99时，A2所对应的α值最大，因此最终选取的阀值u=101.99。
（四）巨灾纯费率的厘定 找到了小麦损失数据的阀值u=132.75和玉米损失数据的阀值u=101.99，并且用最大似然法估计出了小麦GPD的参数ξ=0.1337和β=25.3725和玉米GPD的参数ξ=0.0310和β=249.7951，据此我们可以得到山东省小麦、玉米极值损失的分布函数为：
计算2010年的巨灾保险的纯费率，小麦产量：2346.32万吨，玉米：2022.16万吨，当保障水平为100%时，费率Pxm=7.02%，Pym=7.58%；当保障水平为90%时，费率Pxm=7.8%，Pym=8.43%。从费率水平来看，与目前山东省小麦和玉米的保险费率水平（2%～4%）相差还是比较大的。这样必然导致抗风险能力有限，弱化推行农业保险的效果，不利于农业巨灾风险基金的积累和筹集。
本文认为，下一步应该适当提高农业保险费率，使之与实际的社会损失率相一致。由于费率的提高而使保费收入提高，可以大大增强抗风险能力，更能有效地发挥农业保险的功能。
（五）巨灾风险水平的测算
由分位数的统计含义我们可以看出，小麦损失量小于等于213.04（全生产量的11%）万吨的可能性为99%，小麦损失量小于等于310.40万吨的可能性为99.9%；玉米损失量小于等于252.56万吨（全省产量的14%）的可能性为99%，玉米损失量小于等于382.55万吨的可能性为99.9%
四、结论
一是根据对山东省实证分析发现，极值损失统计模型可以很好的拟合小麦、玉米损失的极值数据，能够有效克服传统统计方法在拟合巨灾风险方面的不足，为农业巨灾风险的评估提供稳健的方法。
二是运用极值统计模型对山东省小麦、玉米的风险的度量，认为山东省目前的保险费率较低，与测算的风险水平不一致，下一步应该适当提高农业保险费率，使之与实际的社会损失率相一致。由于费率的提高而使保费收入提高，可以大大增强抗风险能力，更能有效地发挥农业保险的功能。
三是通过POT极值统计模型测算的山东省小麦和玉米的风险水平，加之山东省是粮食大省，其粮食的稳产增产对于全国具有不可替代的地位，本文认为山东省应尽快建立一个完善的巨灾风险准备金制度，为农业巨灾的防灾、救灾和抗灾等积累和筹集资金，以增强农户应对农业巨灾风险的综合实力，实现社会福利的最大化。
参考文献
[1]]Ralph H.Blanchard.Insurance of the Catastrophe Hazard.Annals of the American Academy of Political.and Social Science.1917.Vol.70.Modern Insurance Problems （Mar.） 220-226.
[2]Wright BD and JD Hewitt，All Risk Crop Insurance：Lessons From Theory and Experience1Giannini Foundation，California Agricultural Experiment Station，Berkeley，April 1990.
[3]庹国柱，赵乐，朱俊生.政策性农业保险巨灾风险管理研究[M].中国财政经济出版社，83-103.
[4]高洪忠.用POT方法估计损失分布尾部的效应分析[J].数理统计与管理，2003（23）4：64-72.
[5]解强.极值理论在巨灾损失拟合中的应用[J].金融发展研究，2008（7）：65-71.
【关键词】粮食作物 巨灾损失 POT模型 山东省
一、引言
我国是一个农业巨灾发生频繁并且严重的国家。近年来自然灾害损失有更加严重的趋势，2008年年初我国南方雪灾，农作物受灾面积达2.17亿亩，造成3076万亩绝收，直接经济损失达1516.5亿元。
这种极值事件发生的概率很低，但造成的危害却十分巨大。一旦发生农业巨灾，农户、农业保险公司和政府财政将承担巨大的压力。因此，如何有效的测算农业巨灾风险的水平就显得尤为重要。同时由于极值事件发生概率低、损失大的特点，因此传统的模型测算方法对极值事件的预测就会有许多困难。而极值损失统计模型可以有效的测算农业巨灾发生的概率水平。
二、极值损失统计模型
（一）极值理论
近年来，极值理论在气象、水文、地震等领域应用广泛，大量研究把极值理论用于金融保险等领域进行实证分析。极值理论是有效测量极端市场条件下市场风险的一种方法，它具有超越样本数据的估计能力，并可以准确地描述分布尾部的分位数。在利用极值理论度量金融风险时主要有两类模型：一类是BMM模型，这类模型是根据组内极大值建模，主要用于处理具有明显季节性数据的极值问题上。另一类极值模型是广义Pareto模型，也称POT模型或GPD模型，是对超越某一阀值的数据进行建模，由于GPD模型有效的使用了有限的极端观察值，因此是目前经常使用的一类极值模型。
（二）POT模型的理论基础
1.POT模型的参数估计。对于给定的一个符合广义的帕累托分布的样本{z1，…，zn}的对数似然函数L（ξ，σ|z）为：
2.POT模型的阀值u的选择。如果阀值u选取的过高会导致超限数据量太少，从而估计出参数的方差会偏高；如果阀值u选取的太低，则会产生有偏的估计量。通常有以下两种方法来确定门限值u，一种是根据Hill图法；另一种是根据样本的平均超出函数图（MEF），本文采用样本的平均超出函数图确定门限值u，令X（1）>X（2）>…>X（n），样本的平均超出函数定义为：
超限期望图为点（u，e（u））构成的曲线，选取充分大的u作为阀值，使得当x≥u时e（x）为近似线性函数。如果EMF图超过某一门限值之后有明显的线性变化，且超限期望图当x≥u时是向上倾斜的，说明数据来源于参数ξ为正的GPD分布；如果EMF图超过某一门限值之后有明显的线性变化，超限期望图当x≥u时是向下倾斜的，说明数据来源于尾部较短的分布；如果平均超出图当x≥u时是水平的，则说明该数据来源于指数分布。
三、山东省粮食作物巨灾损失概率的测算
（一）灾损数据获得
查阅山东省统计年鉴得到1949～2010年的小麦、玉米的粮食单产数据X’，进行趋势拟合得到各年的正常单产X1，进而得到灾损数据X=X1-X’，提取出损失为正的数据作为粮食损失数据，最后得到33个损失数据，属于典型的小样本集合，本文的实验软件为MATLAB2010b。
为解决样本数据不足所导致的极大似然估计中误差增大的问题，本文通过蒙特卡罗模拟来扩大山东省粮食损失数据的样本空间。本文选取国内外相关研究中使用较多的6中分布模型作为候选模型，从拟合优度检验结果可以看出，Gamma分布式该序列的最优分布形式。
本文根据上述概率分布进行随机抽样1000次，即模拟1000次，由此产生已知Gamma概率分布的随机变量并建立新的样本空间。
（二）灾损数据厚尾性检
1.损失数据的描述性统计分析。从统计结果看，小麦损失数据的偏度为1.99和峰度为5.9、玉米损失数据的偏度为2.69和峰度为11.50，存在明显的“尖峰”和“厚尾”的特征。并且JB统计量结果也拒绝了正态分布的原假设。
2.同时我们通过正态分布QQ图得出正态分布不能很好地拟合小麦、玉米的损失数据。同时，从观察样本中去掉8个最大的观察值后，此时拟合效果相对有效，说明小麦、玉米损失数据的极值数据对拟合效果有明显的影响。
因此，本文运用极值理论POT模型对于小麦、玉米损失数据进行建模。
（三）门限值u的确定、参数估计及POT模型的检验
本文使用平均超出损失函数图法来选取门限值，由上图可以看出小麦损失额从u=129.94，玉米损失额从u=100之后，出现明显的斜率变化，表示损失分布有可能是广义帕累托分布。但是图中出现一个以上的转折点，难以确定合适的阀值。因此我们使用平均超额损失图初步选取几个阀值，我们利用极大似然估计法分别估计其对应的GPD参数ξ和β的估计值，同时根据查阅GPD检验值表选出最佳阀值。
对于初选的门限值u=129.94及其附近的可能门限值，通过计算小麦损失超阀值u的超额样本数据的分布函数，分别进行Anderson-Darling检验可知，当u=132.75时，A2所对应的α值最大，因此最终选取的阀值u=132.75。
通过计算玉米损失超阀值u的超额样本数据的分布函数，分别进行Anderson-Darling检验可知，当u=101.99时，A2所对应的α值最大，因此最终选取的阀值u=101.99。
（四）巨灾纯费率的厘定 找到了小麦损失数据的阀值u=132.75和玉米损失数据的阀值u=101.99，并且用最大似然法估计出了小麦GPD的参数ξ=0.1337和β=25.3725和玉米GPD的参数ξ=0.0310和β=249.7951，据此我们可以得到山东省小麦、玉米极值损失的分布函数为：
计算2010年的巨灾保险的纯费率，小麦产量：2346.32万吨，玉米：2022.16万吨，当保障水平为100%时，费率Pxm=7.02%，Pym=7.58%；当保障水平为90%时，费率Pxm=7.8%，Pym=8.43%。从费率水平来看，与目前山东省小麦和玉米的保险费率水平（2%～4%）相差还是比较大的。这样必然导致抗风险能力有限，弱化推行农业保险的效果，不利于农业巨灾风险基金的积累和筹集。
本文认为，下一步应该适当提高农业保险费率，使之与实际的社会损失率相一致。由于费率的提高而使保费收入提高，可以大大增强抗风险能力，更能有效地发挥农业保险的功能。
（五）巨灾风险水平的测算
由分位数的统计含义我们可以看出，小麦损失量小于等于213.04（全生产量的11%）万吨的可能性为99%，小麦损失量小于等于310.40万吨的可能性为99.9%；玉米损失量小于等于252.56万吨（全省产量的14%）的可能性为99%，玉米损失量小于等于382.55万吨的可能性为99.9%
四、结论
一是根据对山东省实证分析发现，极值损失统计模型可以很好的拟合小麦、玉米损失的极值数据，能够有效克服传统统计方法在拟合巨灾风险方面的不足，为农业巨灾风险的评估提供稳健的方法。
二是运用极值统计模型对山东省小麦、玉米的风险的度量，认为山东省目前的保险费率较低，与测算的风险水平不一致，下一步应该适当提高农业保险费率，使之与实际的社会损失率相一致。由于费率的提高而使保费收入提高，可以大大增强抗风险能力，更能有效地发挥农业保险的功能。
三是通过POT极值统计模型测算的山东省小麦和玉米的风险水平，加之山东省是粮食大省，其粮食的稳产增产对于全国具有不可替代的地位，本文认为山东省应尽快建立一个完善的巨灾风险准备金制度，为农业巨灾的防灾、救灾和抗灾等积累和筹集资金，以增强农户应对农业巨灾风险的综合实力，实现社会福利的最大化。
参考文献
[1]]Ralph H.Blanchard.Insurance of the Catastrophe Hazard.Annals of the American Academy of Political.and Social Science.1917.Vol.70.Modern Insurance Problems （Mar.） 220-226.
[2]Wright BD and JD Hewitt，All Risk Crop Insurance：Lessons From Theory and Experience1Giannini Foundation，California Agricultural Experiment Station，Berkeley，April 1990.
[3]庹国柱，赵乐，朱俊生.政策性农业保险巨灾风险管理研究[M].中国财政经济出版社，83-103.
[4]高洪忠.用POT方法估计损失分布尾部的效应分析[J].数理统计与管理，2003（23）4：64-72.
[5]解强.极值理论在巨灾损失拟合中的应用[J].金融发展研究，2008（7）：65-71.