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摘要：无功功率是电工学中非常重要的概念之一，但是非正弦电路中的无功功率却始终没有一个公认的定义。通过对常见的几种单相非正弦电路中无功功率的定义做详尽的介绍与分析，有助于相关研究人员对无功功率定义的深入理解研究。
关键词：非正弦；单相电路；无功功率
作者简介：刘雯（1988-），女，山东聊城人，华南理工大学电力学院硕士研究生；张波（1962-），男，福建三明人，华南理工大学电力学院，教授。（广东 广州 510640）
中图分类号：TM71 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2011）03- 0121-02
随着电力电子学的发展以及电力电子装置在实际中的大规模应用，非正弦电路的功率理论也越来越受到重视。人们对非正弦功率定义的探讨已有近百年之久，其中电压、电流、有功功率的定义已经明确，而无功功率的定义却有很多，到目前为止尚未统一。
20世纪80年代以来，各种新的功率理论不断推出，[1-7]在众多的功率理论中，可根据其分析方法分为三大流派：基于频域分析的功率理论，基于时域分析的功率理论以及基于瞬时功率分析的功率理论。
在不断涌现的新的无功功率定义中，大部分都基于Budeanu、Fryze、Czarnecki和Akagi等学者提出的几种不同的功率理论。因此，本文详细介绍了上述几种常见的无功功率定义，并对各种定义的优缺点进行了讨论，有助于相关研究人员对无功功率定义的深入理解。
一、Budeanu的频域功率理论
Budeanu功率理论的基本思路是将非正弦的周期电压电流通过傅立叶分解为无数个不同频率的正弦波，然后将正弦电路中功率理论扩展到非正弦电路中。[1]
正弦电路中的有功功率和无功功率的定义为
（1）
类似地，非正弦电路中有功功率P和无功功率QB的定义为 [6]
（2）
（3）
式中，Un、In为n次谐波电压、电流的有效值，φn为它们之间的相位角。
视在功率S的定义为电压与电流有效值的乘积，即
（4）
但是，按上述定义计算得到的有功功率和无功功率的平方和小于视在功率的平方，因此Budeanu定义了一种新的功率——畸变功率D。
（5）
根据式（5）的定义，实际上是由不同频率的电压电流正弦波分量产生的。
Budeanu功率理论是目前应用最广泛的功率定义，同时被IEEE标准采用。目前“电力电子技术”教材也大都采用这个无功功率的定义。
虽然该定义被广泛应用，但是Budeanu功率理论存在很大的缺陷。例如在式（3）中，每一个Qn都有清晰的物理意义，但Qn的代数叠加和QB就失去了其代表的物理意义。由于第n次谐波对应的无功功率Qn既可能为负也可能为正，有可能导致QB为零，但这并不能说明系统里不存在无功能量交换。因此，不同频率的无功功率是不应直接叠加，根据QB的大小不一定能够实行准确的无功补偿。
另外，D只是一个抽象的数值，[4]D=0也不能说系统里没有发生畸变，反之亦然。D虽然称为畸变功率，但是它并不是表征波形失真的一个量，而是代表电流波形相对于电压波形变化的一个量。
二、Fryze的时域功率理论
Fryze的时域功率理论是建立在电流分解的基础上的，无须进行傅立叶分解，其基本思路是把电流按照电压波形分解成有功电流ip(t)和无功电流iq(t)，其中ip(t)的波形与电压u(t)完全一致，即
（6）
式中，G为一比例常数，其取值应使一个周期内ip(t)所消耗的平均功率与i(t)消耗的平均功率相等，即
（7）
把式（6）代入式（7），可得
（8）
由此可以求得
（9）
即
（10）
则无功电流iq(t)定义为
（11）
由式（7）、（10）、（11）可得
（12）
由此得到有功功率与无功功率分别为
（13）
这种方法可以很容易地求出有功功率和无功功率的值，并对无功功率进行补偿。
此功率理论中的无功功率Q虽然反映了非正弦电路中能量的流动和交换，但并不反映能量在负荷中的消耗。其无功定义比较粗糙，没有区别基波电压电流产生的无功功率、同频率谐波电压电流产生的无功功率，以及不同频率电压电流产生的无功功率。另外，从Q的定义无法识别感性无功功率和容性无功功率，对于谐波源和无功功率的辨识和无功功率的流动仍然缺乏指导意义。
三、L.S.Czarnecki的功率理论
L.S.Czarnecki的功率理论结合了频域与时域的分析方法，把电流分解成有功电流ia、无功电流ir、散布电流is以及生成电流ih，[6]且n次谐波导纳为Yn
（14）
ia为有功电流，与Fryze的有功电流 意义相同，即
（15）
式中为等效的电导。
ir为无功电流，源于电压与谐波电流的相位差，其定义为
（16）
is为散布电流，源于不同谐波下的电导与等效电导的不同，其定义为
（17）
ih为生成电流，源于负载的非线性，为与电压频率不同的谐波电流，即
（18）
式中，NI为电流的谐波次数，NU为电压的谐波次数。
有功电流ia、无功电流ir、散布电流is以及生成电流ih四个量是两两正交的。由上述4种电流可得到4种功率定义，有功功率P、无功功率Q、散布功率DS以及生成功率DH的定义如下
（19）
L.S.Czarnecki的功率理论为解决谐波和无功功率的辨析问题起了很大的作用。但是这种理论中提出的生成电流并不能真正代表非线性产生的电流。假设对非线性负载两端所加的电压含有无限次谐波，按L.S.Czarnecki的功率理论分析可知电流也有无限次谐波，电压和电流中包含的谐波次数相同，那么生成电流就应该为零，这显然是不正确的。
四、Akagi的瞬时无功功率理论
瞬时无功功率理论是基于Clarke变换将A、B、C三相坐标变换为两相直角坐标，电压矢量和电流矢量可以表示为。[7]在三相三线平衡系统中，有
（20）
定义三相瞬时有功功率p为坐标系中电压矢量v和电流矢量i的点积，即
（21）
那么，三相瞬时无功功率为坐标系中电压矢量v和电流矢量i的叉积，即
（22）
若要计算单相电路的瞬时功率，则先由单相构造出三相的电流电压，[3]然后按照上述方法进行计算。
Akagi的瞬时功率理论突破了传统的以平均值为基础的功率定义，以该理论为基础，可以得出用于谐波电流和无功电流实时检测方法。但是该方法所定义的瞬时无功功率不同于我们平时所认为的无功功率，它代表的是三相之间的功率交换，而不是电源与负载之间的功率交换。另外，Akagi的瞬时无功功率理论中各种功率的物理意义还不是特别清晰，例如各相的瞬时无功功率与总的瞬时无功功率之间的关系等。
五、结语
20世纪80年代以来，各种新的功率理论不断推出。但是迄今为止，尚未找到一个能够彻底解决所有问题的无功功率理论。近年来，基于泛函理论、小波理论的无功功率理论，为无功功率理论提供了一条新的思路。小波理论推动了频域与时域两大无功功率定义领域的统一，显示出了优于傅立叶分析的诸多特性，但这一理论尚需要更进一步的研究。
本文对各种常见功率的定义进行了详尽的介绍，并分析了各种功率定义的优缺点，这将有助于电气专业学生和专业人员深入理解无功功率的定义，并在实际生产中进行应用。
参考文献：
[1]C.I.Budeanu.The different options and conceptions regarding active power in nonsinusoidal systems[J].Bucharest,Rumania:Rumanian National Institute,publication,NO24,1927.
[2]Definitions for the Measurement of Electric Quantities Under Sinusoidal,Non-Sinusoidal,Balanced,or Unbalanced Conditions[J].IEEEStd,1459-2000,January 2000.
[3]王兆安,杨君,刘进军.谐波抑制与无功功率补偿[M].北京:机械工业出版社,1998.
[4]L.S.Czarnecki.What is Wrong with the Budeanu Concept of Reactive and Distortion Powers and Why It Should be Abandoned[J].IEEE Trans,Instr.Meas.,vol.IM-36.no.3 pp.834-837,1987.
[5]S.Fryze.Active,Reactive and Apparent Powerin Circuts with Nonsinusoidal Voltages and Currents[J].(in Polish)Preglqd Elektrotechnic~ny,z. 1931,(7):193-203,1931,(8):225-234.1932,(22):673-676.
[6]Czarnecki L.S.Physical interpretation of the reactive power in terms of the CPC power theory[J].Seventh International Workshop on Po-wer Definition and Mleasurements under Non- Sinusoidal Conditions. Cagliari,July 10-12,2006.
[7]H.Akagi,Y.Kanazawa,A.Nabae.Instantaneous reactive power compensators comprising switching devices without energy storage components[J].IEEE Trans.Ind. Appl,IA-20,1984,NO 3-PP.625-630.
（责任编辑：刘俊卿）
关键词：非正弦；单相电路；无功功率
作者简介：刘雯（1988-），女，山东聊城人，华南理工大学电力学院硕士研究生；张波（1962-），男，福建三明人，华南理工大学电力学院，教授。（广东 广州 510640）
中图分类号：TM71 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2011）03- 0121-02
随着电力电子学的发展以及电力电子装置在实际中的大规模应用，非正弦电路的功率理论也越来越受到重视。人们对非正弦功率定义的探讨已有近百年之久，其中电压、电流、有功功率的定义已经明确，而无功功率的定义却有很多，到目前为止尚未统一。
20世纪80年代以来，各种新的功率理论不断推出，[1-7]在众多的功率理论中，可根据其分析方法分为三大流派：基于频域分析的功率理论，基于时域分析的功率理论以及基于瞬时功率分析的功率理论。
在不断涌现的新的无功功率定义中，大部分都基于Budeanu、Fryze、Czarnecki和Akagi等学者提出的几种不同的功率理论。因此，本文详细介绍了上述几种常见的无功功率定义，并对各种定义的优缺点进行了讨论，有助于相关研究人员对无功功率定义的深入理解。
一、Budeanu的频域功率理论
Budeanu功率理论的基本思路是将非正弦的周期电压电流通过傅立叶分解为无数个不同频率的正弦波，然后将正弦电路中功率理论扩展到非正弦电路中。[1]
正弦电路中的有功功率和无功功率的定义为
（1）
类似地，非正弦电路中有功功率P和无功功率QB的定义为 [6]
（2）
（3）
式中，Un、In为n次谐波电压、电流的有效值，φn为它们之间的相位角。
视在功率S的定义为电压与电流有效值的乘积，即
（4）
但是，按上述定义计算得到的有功功率和无功功率的平方和小于视在功率的平方，因此Budeanu定义了一种新的功率——畸变功率D。
（5）
根据式（5）的定义，实际上是由不同频率的电压电流正弦波分量产生的。
Budeanu功率理论是目前应用最广泛的功率定义，同时被IEEE标准采用。目前“电力电子技术”教材也大都采用这个无功功率的定义。
虽然该定义被广泛应用，但是Budeanu功率理论存在很大的缺陷。例如在式（3）中，每一个Qn都有清晰的物理意义，但Qn的代数叠加和QB就失去了其代表的物理意义。由于第n次谐波对应的无功功率Qn既可能为负也可能为正，有可能导致QB为零，但这并不能说明系统里不存在无功能量交换。因此，不同频率的无功功率是不应直接叠加，根据QB的大小不一定能够实行准确的无功补偿。
另外，D只是一个抽象的数值，[4]D=0也不能说系统里没有发生畸变，反之亦然。D虽然称为畸变功率，但是它并不是表征波形失真的一个量，而是代表电流波形相对于电压波形变化的一个量。
二、Fryze的时域功率理论
Fryze的时域功率理论是建立在电流分解的基础上的，无须进行傅立叶分解，其基本思路是把电流按照电压波形分解成有功电流ip(t)和无功电流iq(t)，其中ip(t)的波形与电压u(t)完全一致，即
（6）
式中，G为一比例常数，其取值应使一个周期内ip(t)所消耗的平均功率与i(t)消耗的平均功率相等，即
（7）
把式（6）代入式（7），可得
（8）
由此可以求得
（9）
即
（10）
则无功电流iq(t)定义为
（11）
由式（7）、（10）、（11）可得
（12）
由此得到有功功率与无功功率分别为
（13）
这种方法可以很容易地求出有功功率和无功功率的值，并对无功功率进行补偿。
此功率理论中的无功功率Q虽然反映了非正弦电路中能量的流动和交换，但并不反映能量在负荷中的消耗。其无功定义比较粗糙，没有区别基波电压电流产生的无功功率、同频率谐波电压电流产生的无功功率，以及不同频率电压电流产生的无功功率。另外，从Q的定义无法识别感性无功功率和容性无功功率，对于谐波源和无功功率的辨识和无功功率的流动仍然缺乏指导意义。
三、L.S.Czarnecki的功率理论
L.S.Czarnecki的功率理论结合了频域与时域的分析方法，把电流分解成有功电流ia、无功电流ir、散布电流is以及生成电流ih，[6]且n次谐波导纳为Yn
（14）
ia为有功电流，与Fryze的有功电流 意义相同，即
（15）
式中为等效的电导。
ir为无功电流，源于电压与谐波电流的相位差，其定义为
（16）
is为散布电流，源于不同谐波下的电导与等效电导的不同，其定义为
（17）
ih为生成电流，源于负载的非线性，为与电压频率不同的谐波电流，即
（18）
式中，NI为电流的谐波次数，NU为电压的谐波次数。
有功电流ia、无功电流ir、散布电流is以及生成电流ih四个量是两两正交的。由上述4种电流可得到4种功率定义，有功功率P、无功功率Q、散布功率DS以及生成功率DH的定义如下
（19）
L.S.Czarnecki的功率理论为解决谐波和无功功率的辨析问题起了很大的作用。但是这种理论中提出的生成电流并不能真正代表非线性产生的电流。假设对非线性负载两端所加的电压含有无限次谐波，按L.S.Czarnecki的功率理论分析可知电流也有无限次谐波，电压和电流中包含的谐波次数相同，那么生成电流就应该为零，这显然是不正确的。
四、Akagi的瞬时无功功率理论
瞬时无功功率理论是基于Clarke变换将A、B、C三相坐标变换为两相直角坐标，电压矢量和电流矢量可以表示为。[7]在三相三线平衡系统中，有
（20）
定义三相瞬时有功功率p为坐标系中电压矢量v和电流矢量i的点积，即
（21）
那么，三相瞬时无功功率为坐标系中电压矢量v和电流矢量i的叉积，即
（22）
若要计算单相电路的瞬时功率，则先由单相构造出三相的电流电压，[3]然后按照上述方法进行计算。
Akagi的瞬时功率理论突破了传统的以平均值为基础的功率定义，以该理论为基础，可以得出用于谐波电流和无功电流实时检测方法。但是该方法所定义的瞬时无功功率不同于我们平时所认为的无功功率，它代表的是三相之间的功率交换，而不是电源与负载之间的功率交换。另外，Akagi的瞬时无功功率理论中各种功率的物理意义还不是特别清晰，例如各相的瞬时无功功率与总的瞬时无功功率之间的关系等。
五、结语
20世纪80年代以来，各种新的功率理论不断推出。但是迄今为止，尚未找到一个能够彻底解决所有问题的无功功率理论。近年来，基于泛函理论、小波理论的无功功率理论，为无功功率理论提供了一条新的思路。小波理论推动了频域与时域两大无功功率定义领域的统一，显示出了优于傅立叶分析的诸多特性，但这一理论尚需要更进一步的研究。
本文对各种常见功率的定义进行了详尽的介绍，并分析了各种功率定义的优缺点，这将有助于电气专业学生和专业人员深入理解无功功率的定义，并在实际生产中进行应用。
参考文献：
[1]C.I.Budeanu.The different options and conceptions regarding active power in nonsinusoidal systems[J].Bucharest,Rumania:Rumanian National Institute,publication,NO24,1927.
[2]Definitions for the Measurement of Electric Quantities Under Sinusoidal,Non-Sinusoidal,Balanced,or Unbalanced Conditions[J].IEEEStd,1459-2000,January 2000.
[3]王兆安,杨君,刘进军.谐波抑制与无功功率补偿[M].北京:机械工业出版社,1998.
[4]L.S.Czarnecki.What is Wrong with the Budeanu Concept of Reactive and Distortion Powers and Why It Should be Abandoned[J].IEEE Trans,Instr.Meas.,vol.IM-36.no.3 pp.834-837,1987.
[5]S.Fryze.Active,Reactive and Apparent Powerin Circuts with Nonsinusoidal Voltages and Currents[J].(in Polish)Preglqd Elektrotechnic~ny,z. 1931,(7):193-203,1931,(8):225-234.1932,(22):673-676.
[6]Czarnecki L.S.Physical interpretation of the reactive power in terms of the CPC power theory[J].Seventh International Workshop on Po-wer Definition and Mleasurements under Non- Sinusoidal Conditions. Cagliari,July 10-12,2006.
[7]H.Akagi,Y.Kanazawa,A.Nabae.Instantaneous reactive power compensators comprising switching devices without energy storage components[J].IEEE Trans.Ind. Appl,IA-20,1984,NO 3-PP.625-630.
（责任编辑：刘俊卿）