平面向量不仅有丰富的物理背景，还有丰富的几何背景。平面几何中的很多问题可以借助向量这一工具来解决，如三角形中的内心、外心、重心、垂心和旁心都可以用向量来表示。本文试从向量的角度来研究一下三角形的五心。我们把三角形三个内角的角平分线的交点叫做三角形的内心，即三角形内切圆的圆心；三角形三条边上的中垂线的交点叫做三角形的外心，即三角形外接圆的圆心；三角形三条边上的中线的交点叫做三角形的重心；三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心；三角形两个角的外角角平分线和第三个角的内角平分线的交点叫做三角形的旁心，一个三角形有三个旁心。我们将三角形的内心、外心、重心、垂心、旁心合称为三角形的“五心”。
　　一、三角形的重心
　　定理1：点O是△ABC内一点，且ＯＡ+ＯＢ+ＯＣ=０，则O是△ABC的重心。
　　推论1：若O是△ABC的重心，则有ＯＡ+ＯＢ+ＯＣ=０。
　　推论2：已知O是△ABC所在平面上的一点，动点P满足ＯＰ =ＯＡ+λ(ＡＢ+ＡＣ)，λ∈(0，+∞)则动点P的轨迹一定通过△ABC的重心。
　　小结：定理的证明体现了向量加法的几何意义，用到了三角形重心的性质；推论涉及了中点的向量公式和共线向量的充要条件，通过向量把数形巧妙结合起来。
　　二、三角形的垂心
　　定理2：已知O是△ABC所在平面上的一点，若OA，则ＯＡ=ＯＢ、ＯＣ=ＯＡ、ＯＣ是的垂心。
　　推论1：已知O是△ABC所在平面上的一点，ＯＡ、ＢＣ=ＯＢ、ＡＣ=ＯＣ，ＡＢ则O是△ABC的垂心。
　　推论2：已知O是△ABC所在平面上的一点，若■２ +■２＝■２+■２＝■２++■２，则O是△ABC的垂心。
　　推论3：已知O是△ABC所在平面上的一点，动点P满足ＯＰ=ＯＡ+λ■＋■，λ∈（0,+∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心。
　　小结：三角形的“垂心定理”主要用到了“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心的定义等相关知识，将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”等相关知识巧妙结合。推论4的证明运用了向量数量积的定义和正弦定理，综合性较强，需要一定的积累。
　　三、三角形的外心
　　定理3：已知O是△ABC所在平面上的一点，若ＯＡ２=ＯＢ２ =ＯＣ２，则O是△ABC的外心。
　　由Ａ２=ＯＢ２=ＯＣ２得，■＝■=■，有外心定义知O是△ABC的外心。
　　推论1：已知O是△ABC所在平面上的一点，动点P满足ＯＰ =■+λ■＋■ ，λ∈(0,+∞)，则动点P的轨迹一定通过的外心。
　　推论2：已知O是△ABC所在平面上的一点，动点P满足ＯＰ=■+λ（tanBＡＢ+tanCＡＣ），λ∈(0,+∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的外心。
　　小结：定理仅涉及了三角形外心的定义，比较简单；但从中垂线交点的角度去考察比较复杂，尤其是ＤＰ和ＢＣ作数量积运算，不太容易想到，体现了合情推理的思想。
　　四、三角形的内心
　　引理：已知O是△ABC所在平面上的一点，动点P满足ＯＰ =ＯＡ+λ■＋■，λ∈(0,+∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的内心。
　　定理4：设O是△ABC所在平面内一点，且aＯＡ+bＯＢ+cＯＣ=０，其中a=ＢＣ，b=ＡＣ，c=ＡＢ则O是△ABC的内心。
　　推论：设O是△ABC所在平面内一点，且sinAＯＡ+sinBＯＢ+sinCＯＣ=０，则O是△ABC的内心。由上面的定理结合正弦定理即可推得。
　　小结：这里主要涉及了与a同向的单位向量，需要从数形两方面去理解，若能将菱形的定义和性质、三角形内心的定义这些知识顺利地迁移到一起，即能解决问题。
　　五、三角形的旁心
　　定理5：设O是△ABC所在平面内一点，且aＯＡ+bＯＢ-cＯＣ=０，其中a=ＢＣ，b=ＡＣ，c=ＡＢ则O是△ABC的一个旁心。
　　推论1：已知O是△ABC所在平面上的一点，动点P满足ＯＰ =ＯＡ+λ■＋■，λ∈(0,+∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的一个旁心。
　　推论2：设O是△ABC所在平面内一点，且sinAＯＡ+sinBＯＢ-sinCＯＣ=０，则O是△ABC的一个旁心。证法与内心类似。
　　说明：以上用向量表示三角形“五心”的定理和推论中，涉及了向量的线性运算和数量积运算，用到了向量共线和垂直的充要条件，用了与某向量同向的单位向量，从数和形两方面体现了向量的重要桥梁作用，从定义和性质上诠释了三角形的“五心”，是向量在几何中应用的一个典范。
　　
　　【参考文献】
　　[1]柳金爱.关于三角形的“四心”与平面向量的结合.
　　[2]王勇.与三角形的“心”有关的向量问题分类导析.数学教学研究．2005，（7）.
　　
　　“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”