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摘 要：高等数学的知识大多晦涩难懂，蕴含着较为复杂的逻辑性关系，因此在高等数学解题过程中，需要运用逆向思维。逆向思维也被称为求异思维，指的是在进行数学问题分析的过程中，通过反向思考的方式从不同的角度寻求问题的答案。逆向思维打破了传统的思维限制，高等数学中的许多知识点具有突变性和关联性，在进行数学问题解答的过程中，需要合理地运用逆向思维寻求全新的解题途径。该文主要探讨了高等数学教学中逆向思维的运用，希望能够全面提高课堂教学成效，助力学生开放性思维发展。
关键词：高等数学教学 逆向思维 运用分析 开放性思维
中图分类号：G64 文献标识码：A文章编号：1672-3791（2021）05（b）-0186-03
Abstract： Most of the knowledge of advanced mathematics is obscure and contains complex logical relationship. Therefore， in the process of solving problems in advanced mathematics， we need to use reverse thinking. Reverse thinking is also known as difference thinking， which refers to seeking answers from different angles through reverse thinking in the process of analyzing mathematical problems. Reverse thinking breaks the limitation of traditional thinking. Many knowledge points in advanced mathematics have mutation and relevance. In the process of solving mathematical problems， we need to use reverse thinking reasonably to find a new way to solve problems. This paper mainly discusses the application of reverse thinking in advanced mathematics teaching， hoping to improve the effectiveness of classroom teaching and help students to think openly we need to maintain development.
Key Words： advanced mathematics teaching; Reverse thinking; Application analysis; Open mind
1 培養学生逆向思维意识
逆向思维在在小学数学中就开始使用，实际上就是逆推法，高等数学中也经常使用，要树立逆向思维的意识[1]。逆向思维在解题过程中的有效应用，首先通过需要论证的结论，逐渐向问题起始条件进行分析，是一种逆向分析推敲的方式，通过逆向思维，能够形成全新的解题思路，在高等数学证明题中得到了广泛应用。逆向思维能够让学生在问题解答的过程中，从毫无关联的问题条件中找出解题突破口，在高等数学教学中运用逆向思维，可以提升学生的解题能力，帮助教师顺利完成教学任务，培养学生在高等数学学习中主动探究的意识。正向思维是常规的思维方法，会运用到基本概念和数学公式，由已知到结论，逆向思维则是通过反向推理的方式，学生不习惯使用，也不知道该在什么情况下使用，教师要培养学生的逆向思维意识，归纳总结一些用到逆向思维的类型题，寻找问题的突破口。例如：证明某一个数是无理数就是通过逆向反证法得到的数学知识，从中可以看出逆向思维在数学发展中的重要性。
2 提高学生逆向思维能力
2.1 改变学习方式
学生在高等数学学习的过程中，首先要弄清楚问题中所含有的条件、需要求的结论，进而判断论证结论与解题条件之间的关系，当学生采用正向分析方法无法得到解题思路时，就需要考虑逆向思维是否可以解决，针对问题条件进行反向思考。学生在问题解答的过程中遇到困难时，也可以通过逆向思维的方式反推解题条件，找出问题解答的突破口。在高等数学学习中，若想有效应用逆向思维模式，需要改变学生传统的思维定式，学生也应该在课堂上记录教师的解题过程，通过反向思考加深对问题的理解，从而达到培养自身逆向思维能力的目的。
2.2 创新教学模式
在高等数学问题解答的过程中，需要分析现有的问题条件，了解问题产生的因果关系，培养学生的审题能力，当正向思维不能解答问题时，要运用逆向思维，让学生学会从不同的角度进行问题分析。例如：在进行函数极限与连续问题求解的过程中，通过教师的教学引导，让学生明确函数在某一点连续的定义，从得到的问题结论入手进行思考方式的选择，通过逆向思维让学生明确：函数在这一点极限是存在且等于该点的函数值，极限存在又说明了什么。通过逆向思维可以说明函数在这一点左右极限是存在且相等的，所以证明函数在某一点连续这一类问题，要从求这一点的左右极限开始。引导学生观察分析的整个过程，厘清逆向思维的主要特点，加深学生对函数连续性的认识，培养学生的逆向思维能力。 2.3 改变思维习惯
随着教育改革的不断深入，高等数学教学需要坚持以学生为主体，充分考虑学生的认知水平、接受能力，教师积极引导，让学生多角度进行问题思考，逐步培养学生的思维能力。要培养学生的逆向思维能力，就需要改变学生传统的思维习惯。在进行高等数学选择题教学的过程中发现，有些选择题是有解题技巧的，有的学生缺乏解题思路无从下手，而好多学生会通过复杂的演算对问题结论进行证明找出正确答案，耗费了大量的解题时间，而且难以保证演算结果的准确性，这种古板的解题方式体现出了其思维习惯的不足。实际上，学生可以通过逆向思维的方式，将选择题中给出的特殊值带入到问题中求解，同样能够得到想要的验证结果，节约复杂论证步骤推演的时间;而有些选择题可以通过排除法得到正确答案，这里面也需要逆向思维。因此，教师需要改变学生的思维习惯，引导其灵活地运用多样化思维模式进行问题探究，并适应逆向思维这一独特的求解方式。
2.4 加强解题训练
教师在教学讲解过程中，需要结合学生的学习水平，选择一些具有启发性和探究性的逆向思考问题，帮助学生养成逆向思维的习惯。在课堂上，为学生选择一些典型逆向思维例题，教会其一些常用的方法，帮助其积累一定经验，通过适当的教学引导，让学生分别采用正面分析和逆向分析两种思维方式进行问题求解。当学生在正向分析过程中遇到困难时，教师要提出问题引发学生思考：正向分析解题方式存在哪些弊端？为什么这个问题运用逆向思维更容易求出结果？学生们踊跃发言，了解逆向思维的重要性，学会用已知结论反推问题条件得出正确答案，通过逆向思维解题法的有效应用，让学生将两种解题思路进行对比分析，看到用逆向思维解题的优势，从而提升学生的解题能力。
3 教学中渗透逆向思维
在教学中，教师需要仔细分析高等数学知识结构之间的关系，并将其作为教学内容设计的主要依据[2]。高等数学微积分知识结构中的主要分析对象是初等函数，学习过程中需要运用极限知识探索微分学和积分学领域，为了全面提高课堂教学成效，学生要熟练函数极限、连续等有关知识，教师的教学设计要围绕学生的学习思维方式展开，分析微積分整体知识结构与思维方式之间的互逆关系，为日常的知识学习带来突破口[3]。例如：微积分知识中的导数和积分之间存在互逆关系，两者作为微积分知识的重点内容，学生在计算分析的过程中，通过逆运算的形式求出函数导数与定积分的问题结论。再例如：一元函数知识学习过程中，通过导数公式和定义的运用进行逆运算，得到原函数和不定积分，从中可以看出导数与积分的知识计算呈现出互逆性和相对性的特点。高等数学中的辩证关系多种多样，教师在进行学生逆向思维培养的过程中，可以合理运用多样性的数学知识结构，采用多元化的思维分析方式进行问题解答，教师在教学过程中也要有意识地渗透倒推法，特别是当正向思维解决出现困难时，就需要变换思路，从结论出发往回倒推，明确需要证什么，又需要证什么，一环扣一环，直至推到已知条件上，问题就可以得到解决，从而帮助学生深刻地了解反证法，提高解题能力。
4 高等数学教学中逆向思维的运用
4.1 基础知识中的逆向思维
要想在高等数学教学中合理运用逆向思维解答数学问题，就需要教师通过潜移默化的引导，全面提高学生的逆向思维能力，在高等数学基础知识中运用逆向思维更利于学生接受。教师在数学公式、数学定义、定理等知识讲解的过程中，要培养学生逆向思维应用意识，从不同的角度分析数学定义，判断数学公式、数学定理中的可逆性，不定积分、导数等高等数学知识中逆向思维的运用更加简便[4]。求函数的导数相对容易些，求不定积分对学生来说难度大些，求不定积分时将逆向思维和导数联系起来就容易解决。受传统思维定式的影响，学生在高等数学问题解题的过程中，会通过论证和计算等数学方法验证数学公式，忽视了逆向思维的重要性，教师需要培养学生的逆向思维运用能力，开展具有针对性的逆向思维解题训练，在帮助学生掌握基础知识的同时，通过反正法的运用分析基础知识中的可逆性[5]。高等数学公式计算，学生会按照从左到右的验证顺序进行，对教师提出的逆向公式不了解，但逆向思维往往能够取得良好的解题效果，因此要培养学生逆向思维分析习惯，节约解题时间、减少计算流程。高等数学教材中的一部分定理给出了逆定理，教师在教学讲解的过程中，要向学生传达逆向性分析的主要思路，引导学生形成逆向思维。例如：真假命题教学过程中，教师需要引导学生论证命题为何是假命题？真假命题的判别条件是什么？问题的提出是为了让学生主动思考命题求证的过程中，让学生通过逆向思维的方式进行高等数学知识的思考。再如：在进行多项式乘法运算时，按照正向思维的模式，可以得出两个多项式中其中一个为零，最终乘积为零的结论，学生在思考过程中运用逆向思维的方式，可以得出两个多项式积为零，则至少有一个多项式为零的结论，简化结论证明步骤，保证求证结果的准确性。
4.2 论证方法中的逆向思维运用
在进行高等数学问题求解的过程中，会运用多种论证方式，一元函数不等式证明的过程中，学生大多会采用微分算法进行证明，但其他数学问题求解同样可以采用积分论证方法证明。学生在解题过程中遇到困难时，分别运用多种思维方式进行探究，提高论证方法的灵活性，就需要通过逆向思维的运用，让学生掌握逆向求解的解题技巧。解题过程中需要注重问题证明的可逆性，在正面思维求解过程中受阻后，学生可以尝试逆向思维的运用。高等数学证明题中大多采用综合论证法，从题中给出的已知条件中找出符合高等数学论证公式和定义的内容，判断问题是否具有可逆性。例如：在进行微分中值定理相关的命题证明过程中，就可以通过逆向思维的方式构造辅助函数。
4.3 转换证明中的逆向思维运用
高等数学中的许多问题，想要通过直接证明方式或者正向思维论证，得到想要的证明结果十分困难，因此教师需要帮助学生养成良好的学习习惯，能够自主的变换角度进行问题思考，尝试采用间接证明法中的分析法、反推法进行问题解答，很可能发现忽略的问题条件[6]。反推法在进行命题真假判断的过程中，需要先提出结论反面成立的假设，以此为基础进行问题引导，分析题中给出的已知条件，运用高等数学的公式、定理和定义，导出与之矛盾的结论内容推翻假设结论，运用全新的证明方法简化高等数学问题处理过程;分析法的应用需要先证明结果成立，从问题中找出符合结果成立的条件。
4 结语
综上所述，该文从基础知识、论证方法、转换证明这3个角度分析了高等数学教学中逆向思维的运用。教师需要引导学生明确高等数学教学中逆向思维运用的重要性，培养学生的逆向思维能力，使其了解高等数学知识结构与思维方式之间存在的互逆关系。
参考文献
[1] 熊淑艳.高等数学教学中培养大学生逆向思维能力的探讨[J].科教文汇，2019（18）：66-67.
[2] 吴娟，崔艳.高等数学中的思维定势[J].牡丹江教育学院学报，2018（7）：45-46.
[3] 杨莉.浅谈数形结合在高等数学教学中的应用[J].福建茶叶，2020，42（2）：225.
[4] 周艳丽，李想，侯丽英.基于PBL教学模式的案例教学法和数学实验在医用高等数学中的应用[J].上海理工大学学报：社会科学版，2019，41（3）：292-295.
[5] 梁华栋.增强高等数学课堂教学的趣味性——曲边梯形的面积教学初探[J].山西财经大学学报，2020，42（S1）：98-100.
[6] 张迪，周艳红.解析参与式教学法在高等数学教学中的应用[J].教育研究， 2020，3（4）：136.
关键词：高等数学教学 逆向思维 运用分析 开放性思维
中图分类号：G64 文献标识码：A文章编号：1672-3791（2021）05（b）-0186-03
Abstract： Most of the knowledge of advanced mathematics is obscure and contains complex logical relationship. Therefore， in the process of solving problems in advanced mathematics， we need to use reverse thinking. Reverse thinking is also known as difference thinking， which refers to seeking answers from different angles through reverse thinking in the process of analyzing mathematical problems. Reverse thinking breaks the limitation of traditional thinking. Many knowledge points in advanced mathematics have mutation and relevance. In the process of solving mathematical problems， we need to use reverse thinking reasonably to find a new way to solve problems. This paper mainly discusses the application of reverse thinking in advanced mathematics teaching， hoping to improve the effectiveness of classroom teaching and help students to think openly we need to maintain development.
Key Words： advanced mathematics teaching; Reverse thinking; Application analysis; Open mind
1 培養学生逆向思维意识
逆向思维在在小学数学中就开始使用，实际上就是逆推法，高等数学中也经常使用，要树立逆向思维的意识[1]。逆向思维在解题过程中的有效应用，首先通过需要论证的结论，逐渐向问题起始条件进行分析，是一种逆向分析推敲的方式，通过逆向思维，能够形成全新的解题思路，在高等数学证明题中得到了广泛应用。逆向思维能够让学生在问题解答的过程中，从毫无关联的问题条件中找出解题突破口，在高等数学教学中运用逆向思维，可以提升学生的解题能力，帮助教师顺利完成教学任务，培养学生在高等数学学习中主动探究的意识。正向思维是常规的思维方法，会运用到基本概念和数学公式，由已知到结论，逆向思维则是通过反向推理的方式，学生不习惯使用，也不知道该在什么情况下使用，教师要培养学生的逆向思维意识，归纳总结一些用到逆向思维的类型题，寻找问题的突破口。例如：证明某一个数是无理数就是通过逆向反证法得到的数学知识，从中可以看出逆向思维在数学发展中的重要性。
2 提高学生逆向思维能力
2.1 改变学习方式
学生在高等数学学习的过程中，首先要弄清楚问题中所含有的条件、需要求的结论，进而判断论证结论与解题条件之间的关系，当学生采用正向分析方法无法得到解题思路时，就需要考虑逆向思维是否可以解决，针对问题条件进行反向思考。学生在问题解答的过程中遇到困难时，也可以通过逆向思维的方式反推解题条件，找出问题解答的突破口。在高等数学学习中，若想有效应用逆向思维模式，需要改变学生传统的思维定式，学生也应该在课堂上记录教师的解题过程，通过反向思考加深对问题的理解，从而达到培养自身逆向思维能力的目的。
2.2 创新教学模式
在高等数学问题解答的过程中，需要分析现有的问题条件，了解问题产生的因果关系，培养学生的审题能力，当正向思维不能解答问题时，要运用逆向思维，让学生学会从不同的角度进行问题分析。例如：在进行函数极限与连续问题求解的过程中，通过教师的教学引导，让学生明确函数在某一点连续的定义，从得到的问题结论入手进行思考方式的选择，通过逆向思维让学生明确：函数在这一点极限是存在且等于该点的函数值，极限存在又说明了什么。通过逆向思维可以说明函数在这一点左右极限是存在且相等的，所以证明函数在某一点连续这一类问题，要从求这一点的左右极限开始。引导学生观察分析的整个过程，厘清逆向思维的主要特点，加深学生对函数连续性的认识，培养学生的逆向思维能力。 2.3 改变思维习惯
随着教育改革的不断深入，高等数学教学需要坚持以学生为主体，充分考虑学生的认知水平、接受能力，教师积极引导，让学生多角度进行问题思考，逐步培养学生的思维能力。要培养学生的逆向思维能力，就需要改变学生传统的思维习惯。在进行高等数学选择题教学的过程中发现，有些选择题是有解题技巧的，有的学生缺乏解题思路无从下手，而好多学生会通过复杂的演算对问题结论进行证明找出正确答案，耗费了大量的解题时间，而且难以保证演算结果的准确性，这种古板的解题方式体现出了其思维习惯的不足。实际上，学生可以通过逆向思维的方式，将选择题中给出的特殊值带入到问题中求解，同样能够得到想要的验证结果，节约复杂论证步骤推演的时间;而有些选择题可以通过排除法得到正确答案，这里面也需要逆向思维。因此，教师需要改变学生的思维习惯，引导其灵活地运用多样化思维模式进行问题探究，并适应逆向思维这一独特的求解方式。
2.4 加强解题训练
教师在教学讲解过程中，需要结合学生的学习水平，选择一些具有启发性和探究性的逆向思考问题，帮助学生养成逆向思维的习惯。在课堂上，为学生选择一些典型逆向思维例题，教会其一些常用的方法，帮助其积累一定经验，通过适当的教学引导，让学生分别采用正面分析和逆向分析两种思维方式进行问题求解。当学生在正向分析过程中遇到困难时，教师要提出问题引发学生思考：正向分析解题方式存在哪些弊端？为什么这个问题运用逆向思维更容易求出结果？学生们踊跃发言，了解逆向思维的重要性，学会用已知结论反推问题条件得出正确答案，通过逆向思维解题法的有效应用，让学生将两种解题思路进行对比分析，看到用逆向思维解题的优势，从而提升学生的解题能力。
3 教学中渗透逆向思维
在教学中，教师需要仔细分析高等数学知识结构之间的关系，并将其作为教学内容设计的主要依据[2]。高等数学微积分知识结构中的主要分析对象是初等函数，学习过程中需要运用极限知识探索微分学和积分学领域，为了全面提高课堂教学成效，学生要熟练函数极限、连续等有关知识，教师的教学设计要围绕学生的学习思维方式展开，分析微積分整体知识结构与思维方式之间的互逆关系，为日常的知识学习带来突破口[3]。例如：微积分知识中的导数和积分之间存在互逆关系，两者作为微积分知识的重点内容，学生在计算分析的过程中，通过逆运算的形式求出函数导数与定积分的问题结论。再例如：一元函数知识学习过程中，通过导数公式和定义的运用进行逆运算，得到原函数和不定积分，从中可以看出导数与积分的知识计算呈现出互逆性和相对性的特点。高等数学中的辩证关系多种多样，教师在进行学生逆向思维培养的过程中，可以合理运用多样性的数学知识结构，采用多元化的思维分析方式进行问题解答，教师在教学过程中也要有意识地渗透倒推法，特别是当正向思维解决出现困难时，就需要变换思路，从结论出发往回倒推，明确需要证什么，又需要证什么，一环扣一环，直至推到已知条件上，问题就可以得到解决，从而帮助学生深刻地了解反证法，提高解题能力。
4 高等数学教学中逆向思维的运用
4.1 基础知识中的逆向思维
要想在高等数学教学中合理运用逆向思维解答数学问题，就需要教师通过潜移默化的引导，全面提高学生的逆向思维能力，在高等数学基础知识中运用逆向思维更利于学生接受。教师在数学公式、数学定义、定理等知识讲解的过程中，要培养学生逆向思维应用意识，从不同的角度分析数学定义，判断数学公式、数学定理中的可逆性，不定积分、导数等高等数学知识中逆向思维的运用更加简便[4]。求函数的导数相对容易些，求不定积分对学生来说难度大些，求不定积分时将逆向思维和导数联系起来就容易解决。受传统思维定式的影响，学生在高等数学问题解题的过程中，会通过论证和计算等数学方法验证数学公式，忽视了逆向思维的重要性，教师需要培养学生的逆向思维运用能力，开展具有针对性的逆向思维解题训练，在帮助学生掌握基础知识的同时，通过反正法的运用分析基础知识中的可逆性[5]。高等数学公式计算，学生会按照从左到右的验证顺序进行，对教师提出的逆向公式不了解，但逆向思维往往能够取得良好的解题效果，因此要培养学生逆向思维分析习惯，节约解题时间、减少计算流程。高等数学教材中的一部分定理给出了逆定理，教师在教学讲解的过程中，要向学生传达逆向性分析的主要思路，引导学生形成逆向思维。例如：真假命题教学过程中，教师需要引导学生论证命题为何是假命题？真假命题的判别条件是什么？问题的提出是为了让学生主动思考命题求证的过程中，让学生通过逆向思维的方式进行高等数学知识的思考。再如：在进行多项式乘法运算时，按照正向思维的模式，可以得出两个多项式中其中一个为零，最终乘积为零的结论，学生在思考过程中运用逆向思维的方式，可以得出两个多项式积为零，则至少有一个多项式为零的结论，简化结论证明步骤，保证求证结果的准确性。
4.2 论证方法中的逆向思维运用
在进行高等数学问题求解的过程中，会运用多种论证方式，一元函数不等式证明的过程中，学生大多会采用微分算法进行证明，但其他数学问题求解同样可以采用积分论证方法证明。学生在解题过程中遇到困难时，分别运用多种思维方式进行探究，提高论证方法的灵活性，就需要通过逆向思维的运用，让学生掌握逆向求解的解题技巧。解题过程中需要注重问题证明的可逆性，在正面思维求解过程中受阻后，学生可以尝试逆向思维的运用。高等数学证明题中大多采用综合论证法，从题中给出的已知条件中找出符合高等数学论证公式和定义的内容，判断问题是否具有可逆性。例如：在进行微分中值定理相关的命题证明过程中，就可以通过逆向思维的方式构造辅助函数。
4.3 转换证明中的逆向思维运用
高等数学中的许多问题，想要通过直接证明方式或者正向思维论证，得到想要的证明结果十分困难，因此教师需要帮助学生养成良好的学习习惯，能够自主的变换角度进行问题思考，尝试采用间接证明法中的分析法、反推法进行问题解答，很可能发现忽略的问题条件[6]。反推法在进行命题真假判断的过程中，需要先提出结论反面成立的假设，以此为基础进行问题引导，分析题中给出的已知条件，运用高等数学的公式、定理和定义，导出与之矛盾的结论内容推翻假设结论，运用全新的证明方法简化高等数学问题处理过程;分析法的应用需要先证明结果成立，从问题中找出符合结果成立的条件。
4 结语
综上所述，该文从基础知识、论证方法、转换证明这3个角度分析了高等数学教学中逆向思维的运用。教师需要引导学生明确高等数学教学中逆向思维运用的重要性，培养学生的逆向思维能力，使其了解高等数学知识结构与思维方式之间存在的互逆关系。
参考文献
[1] 熊淑艳.高等数学教学中培养大学生逆向思维能力的探讨[J].科教文汇，2019（18）：66-67.
[2] 吴娟，崔艳.高等数学中的思维定势[J].牡丹江教育学院学报，2018（7）：45-46.
[3] 杨莉.浅谈数形结合在高等数学教学中的应用[J].福建茶叶，2020，42（2）：225.
[4] 周艳丽，李想，侯丽英.基于PBL教学模式的案例教学法和数学实验在医用高等数学中的应用[J].上海理工大学学报：社会科学版，2019，41（3）：292-295.
[5] 梁华栋.增强高等数学课堂教学的趣味性——曲边梯形的面积教学初探[J].山西财经大学学报，2020，42（S1）：98-100.
[6] 张迪，周艳红.解析参与式教学法在高等数学教学中的应用[J].教育研究， 2020，3（4）：136.