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◆摘 要：2019年版普通高中数学教科书（A版）在复数章节中增加了选学内容“复数的三角表示”，较好体现了新课标要求的“形成和发展学生数学核心素养”。为保证高效完成教学任务和切实提高学生的数学能力，本文对此内容所蕴含的数学核心素养进行分析，并针对每种核心素养的培养提出合理的教学建议。
◆关键词：“复数的三角表示”;数学核心素养
《普通高中数学课程标准（2017年版）》将复数的三角表示定位为选学内容，但同时和必修内容一样为其设置了足够的课时，并将“复数的三角表示”小节的教学目标设置为：通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数形式与三角表示之间的关系，了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义。引入复数的三角表示，把刚学习的平面向量、三角函数和复数结合在一起，让学生深刻体会到几何与代数间的紧密联系，是提升学生数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算等数学核心素养的有效载体。
新增“复数的三角表示”是为了让学生深入理解复数的几何意义，不要仅停留在运算的层面。因此从内容的重要性和教学的可行性出发，建议以必修内容的要求教学复数的三角表示，尽力做到所有学生都必选且有一定的收获。由此，本篇文章基于新课标要求的数学学科核心素养，简要分析复数三角形式的教学意义。
一、相关研究
为提升学生的数学核心素养，强调数形结合思想方法的优势以及将数学文化融入课堂教学中，张筱玮和刘印哲以HPM为教学模式，对复数章节进行了全新的教学设计。李东迪建议融入数学文化的复数三角形式的校本课程应按时开展，让学生感受到学习过程中理性思维的作用，提升数学核心素养。贾凌云认为数学教学活动的核心是培养学生的能力，为训练学生的思维方法和推理模式，她结合相关公式及高等数学知识，精心设计了关于复数的三角形式的教学思路。郝进宏借助平面向量以及三角函数，运用数学运算的思想方法探究了复数乘除的几何意义，让读者认识到复数的本质及其运算规律。通过查阅相关文献发现，由于复数的三角表示是新课标下的新教材中新添加的内容，因此大多数作者都集中讨论了基于发展学生的数学核心素养，如何设计合理的复数的三角表示的教学方案。这对一线教师进一步开展复数的教学有很重要的指导意义，能帮助师生更深入把握复数的三角表示的教学要求，提高学生的数学思维水平和数学能力。但已有文献中并没有对“复数的三角表示”中数学核心素养的蕴含情况做一份详细的总结，并提出教学过程中提升核心素养的策略。
二、教学意义
提高数学抽象素养。数学抽象素养指学生能从数量和图形及其关系中抽象出数学概念及概念间的关系，并用数学语言予以表征。本节在探索复数的三角形式过程中，教师引导学生从熟悉情景（平面向量、三角函数）出发结合问题驱动，逐步抽象出复数的三角形式，学生需经历从图形关系到代数表征，再到几何意义的两个过程。师生一起经历从数学情景到新概念的生成，提高了学生的学习兴趣及学习成就感，也在无形中提升了学生数学抽象的核心素养。
提高数学运算素养。数学运算素养指在理解运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题。复数属于代数领域，是培养学生的运算能力的重要载体，本节的运算主要包括复数三角形式与代数形式的互化及复数三角形式的乘、除运算。在推导过程中，也运用到许多有关三角函数及三角恒等变形的知识，因此不论是在新知学习还是习题巩固中，都蕴含着大量的数学运算，且教材的例题、习题都注重知识点间的联系和应用，注重训练学生严谨的计算方法。
提高逻辑推理素养。逻辑推理素养指从一些相关定理命题出发，依据规则推理出其他命题，是得到数学结论的重要方式。学生从复数的几何表示及三角函数角度出发，通过一系列严谨的推理转化得到复数的三角形式;根据复数的乘法法则及三角恒等变换公式，经过论证得到复数三角形式的乘法法则及几何意义。过程中，学生从已有知识出发，探索论证思路，并用严谨的数学语言表述结果，能有效训练学生逻辑推理的能力和严谨的数学思维。
提高直观想象素养。直观想象素养指建立数与形的联系，建立数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。复数的三角形式是代数与几何的一次完美结合，无论是探索复数表示形式还是乘、除运算法则，都能将几何图形和代数关系联系在一起。根据几何关系得出复数三角形式，由复数的乘、除运算的三角表示得到其几何意义，过程中学生在图形与代数间来回穿梭，感受数形结合的魅力。
三、教学建议
创设合理数学情景，提升学生数学抽象素养。理解复数的三角形式需要学生从几何关系抽象出代数关系，进而由代数表征抽象出几何意义。过程中教师要创设合理数学问题情境，这也是培养学生数学抽象素养的有效途径，教师需提前精心设计问题，鼓励学生积极思考、主动探究，尝试从向量中抽象出一般规律并用符号语言精简表征数学概念，学生要领悟知识的产生过程及抽象解决问题的方法，切实提升自身的数学抽象素养。例如：在引入复数三角形式前向学生抛出问题，“复数[Z=a+bia，b∈R与平面向量OZ=（a，b）]一一对应，且向量既有大小又有方向，若把它表示在坐标中，复数的实部与虚部与复数的模及向量的夹角有什么关系呢？”。
加强运算训练，提升学生数学运算素养。数学运算是贯穿本节的一条主线，教学时应加强数学运算的训练，不断提升学生的数学运算素养。教师不仅要着眼于习题训练，也要向学生落实对基本概念、公式及法则的理解，只有打好基底才能建高楼;其次，除了要熟记基础公式法则外，教师还要对一些典型的运算问题的方法进行总结归纳，强调蕴含其中的数学思想方法，让学生在之后的解题中能自己得出结论，实现知识迁移。
有效建立知识体系，提升学生逻辑推理素养。逻辑推理是学习数学的重要思維品质，需要学生在已有的完整基础知识上，有意识的建立新旧知识间的联系，演绎推理，得到新旧知识间的逻辑关系。如，在新授课前，教师可帮学生做一个相关的思维导图，让学生能自然将复数和向量、三角函数联系在一起，进而推导出复数的三角形式。
强调数形结合，提升学生直观想象素养。由于复数的三角形式有明显数形结合的特征，因此在教学过程中，教师要提前向学生说明数形结合思想方法的内涵及思路，让学生在探究及解题过程中有意识地应用数形结合方法。解题时仔细观察、联想，挖掘题目中隐含条件，建立图形与代数的关系，获得最佳解法。例如：复数[Z=a+bia，b∈R与平面向量OZ=（a，b）]一一对应，我们借助向量的大小和方向来表示复数。从几何的角度得出“用模来刻画向量的大小”“以x轴的非负半轴为始边，以向量[OZ]所在射线（射线OZ）为终边的角[θ]来刻画方向”，再利用三角函数知识，得到复数三角形式[Z=r（cosθ+isinθ）]。
新课改背景下，本篇文章基于有效提高学生的数学核心素养，简要分析复数三角形式的教学意义及策略，希望教师能认识到此节内容的重要性，制定合理的教学计划，让学生学以致用。本篇文章还未深入探讨各个数学核心素养在教材中的体现情况，之后笔者将对此部分内容进行更加细致的研究。
参考文献
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2020.
[2]张筱玮，刘印哲.基于核心素养养成教育的“复数”教学再设计[J].天津师范大学学报（基础教育版），2021（02）：45-48.
[3]李东迪.高中数学复数三角形式的校本课程的教学探究[J].新课程，2020（46）：126.
[4]贾凌云.复数三角形式的教学与探究[J].数理化解题研究，2019（33）：17-18.
[5]郝进宏.复数乘法几何意义的探究[J].中学生数学，2019（23）：2-3.
作者简介
和婷英（1997.09—），性别：女;民族：纳西族;籍贯：云南省丽江市;学历：本科;研究方向：学科教学（数学）。
◆关键词：“复数的三角表示”;数学核心素养
《普通高中数学课程标准（2017年版）》将复数的三角表示定位为选学内容，但同时和必修内容一样为其设置了足够的课时，并将“复数的三角表示”小节的教学目标设置为：通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数形式与三角表示之间的关系，了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义。引入复数的三角表示，把刚学习的平面向量、三角函数和复数结合在一起，让学生深刻体会到几何与代数间的紧密联系，是提升学生数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算等数学核心素养的有效载体。
新增“复数的三角表示”是为了让学生深入理解复数的几何意义，不要仅停留在运算的层面。因此从内容的重要性和教学的可行性出发，建议以必修内容的要求教学复数的三角表示，尽力做到所有学生都必选且有一定的收获。由此，本篇文章基于新课标要求的数学学科核心素养，简要分析复数三角形式的教学意义。
一、相关研究
为提升学生的数学核心素养，强调数形结合思想方法的优势以及将数学文化融入课堂教学中，张筱玮和刘印哲以HPM为教学模式，对复数章节进行了全新的教学设计。李东迪建议融入数学文化的复数三角形式的校本课程应按时开展，让学生感受到学习过程中理性思维的作用，提升数学核心素养。贾凌云认为数学教学活动的核心是培养学生的能力，为训练学生的思维方法和推理模式，她结合相关公式及高等数学知识，精心设计了关于复数的三角形式的教学思路。郝进宏借助平面向量以及三角函数，运用数学运算的思想方法探究了复数乘除的几何意义，让读者认识到复数的本质及其运算规律。通过查阅相关文献发现，由于复数的三角表示是新课标下的新教材中新添加的内容，因此大多数作者都集中讨论了基于发展学生的数学核心素养，如何设计合理的复数的三角表示的教学方案。这对一线教师进一步开展复数的教学有很重要的指导意义，能帮助师生更深入把握复数的三角表示的教学要求，提高学生的数学思维水平和数学能力。但已有文献中并没有对“复数的三角表示”中数学核心素养的蕴含情况做一份详细的总结，并提出教学过程中提升核心素养的策略。
二、教学意义
提高数学抽象素养。数学抽象素养指学生能从数量和图形及其关系中抽象出数学概念及概念间的关系，并用数学语言予以表征。本节在探索复数的三角形式过程中，教师引导学生从熟悉情景（平面向量、三角函数）出发结合问题驱动，逐步抽象出复数的三角形式，学生需经历从图形关系到代数表征，再到几何意义的两个过程。师生一起经历从数学情景到新概念的生成，提高了学生的学习兴趣及学习成就感，也在无形中提升了学生数学抽象的核心素养。
提高数学运算素养。数学运算素养指在理解运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题。复数属于代数领域，是培养学生的运算能力的重要载体，本节的运算主要包括复数三角形式与代数形式的互化及复数三角形式的乘、除运算。在推导过程中，也运用到许多有关三角函数及三角恒等变形的知识，因此不论是在新知学习还是习题巩固中，都蕴含着大量的数学运算，且教材的例题、习题都注重知识点间的联系和应用，注重训练学生严谨的计算方法。
提高逻辑推理素养。逻辑推理素养指从一些相关定理命题出发，依据规则推理出其他命题，是得到数学结论的重要方式。学生从复数的几何表示及三角函数角度出发，通过一系列严谨的推理转化得到复数的三角形式;根据复数的乘法法则及三角恒等变换公式，经过论证得到复数三角形式的乘法法则及几何意义。过程中，学生从已有知识出发，探索论证思路，并用严谨的数学语言表述结果，能有效训练学生逻辑推理的能力和严谨的数学思维。
提高直观想象素养。直观想象素养指建立数与形的联系，建立数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。复数的三角形式是代数与几何的一次完美结合，无论是探索复数表示形式还是乘、除运算法则，都能将几何图形和代数关系联系在一起。根据几何关系得出复数三角形式，由复数的乘、除运算的三角表示得到其几何意义，过程中学生在图形与代数间来回穿梭，感受数形结合的魅力。
三、教学建议
创设合理数学情景，提升学生数学抽象素养。理解复数的三角形式需要学生从几何关系抽象出代数关系，进而由代数表征抽象出几何意义。过程中教师要创设合理数学问题情境，这也是培养学生数学抽象素养的有效途径，教师需提前精心设计问题，鼓励学生积极思考、主动探究，尝试从向量中抽象出一般规律并用符号语言精简表征数学概念，学生要领悟知识的产生过程及抽象解决问题的方法，切实提升自身的数学抽象素养。例如：在引入复数三角形式前向学生抛出问题，“复数[Z=a+bia，b∈R与平面向量OZ=（a，b）]一一对应，且向量既有大小又有方向，若把它表示在坐标中，复数的实部与虚部与复数的模及向量的夹角有什么关系呢？”。
加强运算训练，提升学生数学运算素养。数学运算是贯穿本节的一条主线，教学时应加强数学运算的训练，不断提升学生的数学运算素养。教师不仅要着眼于习题训练，也要向学生落实对基本概念、公式及法则的理解，只有打好基底才能建高楼;其次，除了要熟记基础公式法则外，教师还要对一些典型的运算问题的方法进行总结归纳，强调蕴含其中的数学思想方法，让学生在之后的解题中能自己得出结论，实现知识迁移。
有效建立知识体系，提升学生逻辑推理素养。逻辑推理是学习数学的重要思維品质，需要学生在已有的完整基础知识上，有意识的建立新旧知识间的联系，演绎推理，得到新旧知识间的逻辑关系。如，在新授课前，教师可帮学生做一个相关的思维导图，让学生能自然将复数和向量、三角函数联系在一起，进而推导出复数的三角形式。
强调数形结合，提升学生直观想象素养。由于复数的三角形式有明显数形结合的特征，因此在教学过程中，教师要提前向学生说明数形结合思想方法的内涵及思路，让学生在探究及解题过程中有意识地应用数形结合方法。解题时仔细观察、联想，挖掘题目中隐含条件，建立图形与代数的关系，获得最佳解法。例如：复数[Z=a+bia，b∈R与平面向量OZ=（a，b）]一一对应，我们借助向量的大小和方向来表示复数。从几何的角度得出“用模来刻画向量的大小”“以x轴的非负半轴为始边，以向量[OZ]所在射线（射线OZ）为终边的角[θ]来刻画方向”，再利用三角函数知识，得到复数三角形式[Z=r（cosθ+isinθ）]。
新课改背景下，本篇文章基于有效提高学生的数学核心素养，简要分析复数三角形式的教学意义及策略，希望教师能认识到此节内容的重要性，制定合理的教学计划，让学生学以致用。本篇文章还未深入探讨各个数学核心素养在教材中的体现情况，之后笔者将对此部分内容进行更加细致的研究。
参考文献
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2020.
[2]张筱玮，刘印哲.基于核心素养养成教育的“复数”教学再设计[J].天津师范大学学报（基础教育版），2021（02）：45-48.
[3]李东迪.高中数学复数三角形式的校本课程的教学探究[J].新课程，2020（46）：126.
[4]贾凌云.复数三角形式的教学与探究[J].数理化解题研究，2019（33）：17-18.
[5]郝进宏.复数乘法几何意义的探究[J].中学生数学，2019（23）：2-3.
作者简介
和婷英（1997.09—），性别：女;民族：纳西族;籍贯：云南省丽江市;学历：本科;研究方向：学科教学（数学）。