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摘 要：“一题多解”能快速整合所学知识，培养学生细致的观察力、丰富的联想力和创造性的思维能力.“一题多变”在形式上不同，但实质上相同.教学中的“一题多解”和“一题多变”旨在通过强化训练提高学生解题技巧与技能，做到举一反三、触类旁通，使学生的思维既可發散，又可回归，做到收放自如.本文通过对2013年高考课标Ⅰ卷16题的分析、解法探究和变式练习，浅谈试题“一题多解”和“一题多变”的必要性和重要性.
关键词：高考数学；一题多解；一题多变；解题能力
众所周知，“一题多解”训练是克服学生思维定式的一种有效途径，也是培养学生发散思维和思维灵活性的有效方法.通过长期“一题多解”的训练，学生可以从多角度、多途径寻求解决问题的方法，开拓解题思路，并从多种解法的对比中选择最佳解法，总结解题规律，提高分析问题、解决问题的能力，增强思维的发散性和创造性.下面以一道高考试题为载体浅谈“一题多解”和“一题多变”的必要性和重要性.
2013年全国课标Ⅰ卷文科数学第16题，题目虽不新颖，但是内涵丰富、简洁明快，解法丰富多样，这类题型的练习对学生的发散性思维有一定的启发性，引起了笔者的深入探索和思考.题目如下：
设当x=θ时，函数f（x）=sin x-2cos x取得最大值，则cos θ= .
一、试题分析
本题属于传统题，考查以三角函数的辅助角公式、导数和向量等为工具解决函数最大值问题；以三角函数为载体，考查数形结合思想、等价转化思想、函数方程及不等式思想.
二、解法探究（一题多解）
本题解法很多，不同的解法体现不同的思维层次和思考角度，考生较容易入手，同时也要求考生要有一种勇于探索、敢于实践的精神.
【解法1】（利用导数与极值、最值的关系将问题转化为方程组问题）
f（x）=5sin（x-φ）的最大值为5，根据条件可知f′（θ）=cos θ+2sin θ=0，及sin θ-2cos θ=5，
解得cos θ=-255.
【解法2】（利用向量数量积的意义将问题转化为几何问题）
将f（x）=sin x-2cos x=（-2，1）·（cos x，sin x）视为向量的数量积问题，当两向量共线且同向时取得最大值，如图，易知cos θ=-255.（本法本质同柯西不等式）
【解法3】（利用潜在条件将问题转化为方程组问题）
函数f（x）=sin x-2cos x=5sin（x-φ）的最大值为5，由条件得
sin θ-2cos θ=5，sin2θ+cos2θ=1，利用代入消元法消去sin θ得（2cos θ+5）2+cos2θ=1，
即5cos2θ+45cos θ+4=0，（5cos θ+2）2=0，
解得cos θ=-255.
【解法4】（利用辅助角公式巧妙解决问题）
f（x）=sin x-2cos x=5sin x·15-cos x·25=5sin（x-φ），
其中cos φ=15，sin φ=25.
因为当x=θ时，函数f（x）=sin x-2cos x取得最大值，
所以θ-φ=π2+2kπ，k∈Z，即θ=φ+π2+2kπ，k∈Z.
故cos θ=cosφ+π2=-sin φ=-25=-255.
【解法5】（利用二阶导数将问题转化为函数的凹凸性问题）
根据条件知f′（θ）=cos θ+2sin θ=0，结合sin2θ+cos2θ=1解得cos θ=±255.
又函数取得最大值附近函数图象上凸（可通过图象上点的切线的斜率变化理解）[1]，
即f″（θ）=-sin θ+2cos θ<0，所以cos θ=-255.
三、解后反思
函数的极值和最值问题是高考的重点和难点问题，解决此类问题主要从几何角度和代数角度两大思路思考，常常采用数形结合、导数和重要公式等方法，具体问题还需要具体分析.
①一般将问题转化为我们熟悉的最值问题，直接降低解答的难度，灵活应用所学知识解决（如解法1和2）.
②最值问题的求解要求同学们在按部就班条件下还要具有胆大心细、敢想敢算的精神.（如解法3、4和5）.
③一般地，设当x=θ时，函数f（x）=asin x+bcos x（ab≠0）取得最大（小）值，则可用上述方法求出sin θ和cos θ，进一步可求tan θ、sin θ±cos θ、sin 2θ、cos 2θ和tan 2θ等.
我们在试题讲解过程中要渗透学生从多角度深刻剖析问题.只有让学生的思维在“多角度”上下功夫，才能取得事半功倍的良好效果，学生的思维才能在不断地展开中得到充分的训练和培养.
四、变式练习（一题多变）
为了加强学生对某一类问题的掌握，教师适当地对题目加以改编再练习，会起到强化解题思想方法的积极作用，能够让学生在亲身实践中寻求变通，悟出其中的来龙去脉，掌握科学的解题规律和法则.在实际教学过程中，我们应抓住这个有效时机让学生亲自去感受、体验、思考、动手做、总结和反思，使其体会到灵活地应用所学知识、思想和方法创造性地解决问题的美妙感觉，进而培养学习的兴趣，提高解题的信心.
下面给出6个变式练习及其简要解答供大家参考.
【变式题1】设当x=θ时，函数f（x）=sin x-2cos x取得最大值，则cos 2θ= .
【变式题2】设当x=θ时，函数f（x）=sin x-2cos x取得最大值，则2θ是第 象限角.
【变式题3】设当x=θ时，函数f（x）=sin x-2cos x取得最小值，则tan θ= . 【变式题4】若x∈0，3π4，则函数f（x）=sin x-2cos x的最大值为 .
【变式题5】若x∈[0，m]时，函数f（x）=sin x-2cos x的最大值为322，则正数m的值是 .
【变式题6】如果函数f（x）=sin 2x+acos 2x的图象关于直线x=π8对称，那么a= .
【变式题1】【解】根据高考题目解法可知cos θ=-255，
故cos 2θ=2cos2θ-1=35.
【变式题2】【解】根据高考题目解法知cos θ=-255，sin θ=55，
故cos 2θ=2cos2θ-1=35，sin 2θ=2sin θcos θ=-45，故2θ是第四象限角.
【变式题3】【解】下面只给出直接求导方法.
当x=θ时，函数f（x）=sin x-2cos x取得最小值，
f′（θ）=cos θ+2sin θ=0，则tan θ=-12.
【变式题4】【解法1】（利用导数将问题转化为求函数最大值问题）
根据条件知f′（x）=cos x+2sin x，当x∈0，π2时，f′（x）=cos x+2sin x>0；
當x∈π2，3π4时，f′（x）=cos x+2sin x=cos x（1+2tan x）>0.
故f（x）=sin x-2cos x在0，3π4上单调递增，f（x）max=f3π4=322.
【解法2】（利用向量数量积的意义将问题转化为几何问题）
将f（x）=sin x-2cos x=（-2，1）·（cos x，sin x）视为向量的数量积问题，易知当x=3π4时数量积取得最大值，f（x）max=322.
【解法3】f（x）=sin x-2cos x=5sin（x-θ），其中sin θ=25，cos θ=15.
不妨取θ∈π4，π2，则-π2<-θ≤x-θ≤3π4-θ<π2，由此可知当x=3π4时f（x）取得最大值，f（x）max=322.
【变式题5】【解法1】（利用导数将问题转化为求函数最大值问题）
根据条件知f3π4=322，f′（x）=cos x+2sin x，当x∈0，π2时，f′（x）=cos x+2sin x>0；
当x∈π2，3π4时，f′（x）=cos x+2sin x=cos x（1+2tan x）>0.
故f（x）=sin x-2cos x在0，3π4上单调递增，故m=3π4.
【解法2】（利用向量数量积的意义将问题转化为几何问题）
将f（x）=sin x-2cos x=（-2，1）·（cos x，sin x）视为向量的数量积问题，又f3π4=322，易知当x=3π4时取得最大值，故m=3π4.
【解法3】f（x）=sin x-2cos x=5sin（x-θ），其中sin θ=25，cos θ=15.不妨取θ∈π4，π2，结合条件有-π2<-θ≤x-θ≤m-θ<π2，知x=m时f（x）取得最大值，π2 【变式题6】【解法1】根据条件知f（0）=fπ4，即a=1.
检验：当a=1时，f（x）=2 sin2x+π4，则fπ8=2，因此f（x）的图象关于x=π8对称.故a=1满足题意.
【解法2】f′（x）=2cos 2x-2asin 2x，由题意知f′π8=2cosπ4-2asinπ4=0，得a=cosπ4sinπ4=1.
【解法3】利用辅助角公式f（x）=sin 2x+acos 2x=a2+1sin（2x+θ），
其中a=tan θ.
根据条件知fπ8=a2+1sinπ4+θ=±a2+1，故sinπ4+θ=±1.
解得θ=π4+kπ，k∈Z，a=tanπ4+kπ=1.
下面再给出两道不错的一题多解练习题供读者参考：
2015年重庆高考文科数学14题：
设a，b>0，a+b=5，则a+1+b+3的最大值为 .
2009年安徽高考理科数学14题：
给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120°.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.若OC=xOA+yOB，其中x，y∈R，则x+y的最大值是 .
五、结束语
“一题多解”和“一解多变”训练是提高数学解题能力的有效途径.学生通过“一题多解”，可以开阔思路、发散思维，学会多角度分析和解决问题；通过“一题多变”，能够加深思维深度，学会由表及里抓住事物的本质，找出事物间的内在联系.试题多种解法的探究仅仅是试题研究的一个开端.对解法的探索是在践行我们所学的知识技能和思想方法，同时也使我们的思维更广阔、思想更深刻.对试题本质的探源，使我们更深刻地认识问题，将新旧解题经历跨时空贯通起来，这又是一个新的开始.
美国著名数学教育家波利亚说过[2]，掌握数学就意味着学会解题，而想要学会解题，好的数学题目是关键.一道好的试题之所以能引起大家的共鸣，不是因为其独特的解题技巧，而是其中所蕴含着的数学思想和方法.本文中的试题素材平朴，但求解过程精彩纷呈，妙趣横生，真可谓是一道平中孕奇的好题.正如波利亚说“一个专心的认真备课教师能拿出一个有意义的但不复杂的题目，去帮助学生发展问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域”.
参考文献
[1]华东师范大学数学系. 数学分析第四版上册[M].北京：高等教育出版社， 2011.
[2]余启西.以智慧启迪智慧学好数学[J].福建中学数学，2015（5）：15-17.
关键词：高考数学；一题多解；一题多变；解题能力
众所周知，“一题多解”训练是克服学生思维定式的一种有效途径，也是培养学生发散思维和思维灵活性的有效方法.通过长期“一题多解”的训练，学生可以从多角度、多途径寻求解决问题的方法，开拓解题思路，并从多种解法的对比中选择最佳解法，总结解题规律，提高分析问题、解决问题的能力，增强思维的发散性和创造性.下面以一道高考试题为载体浅谈“一题多解”和“一题多变”的必要性和重要性.
2013年全国课标Ⅰ卷文科数学第16题，题目虽不新颖，但是内涵丰富、简洁明快，解法丰富多样，这类题型的练习对学生的发散性思维有一定的启发性，引起了笔者的深入探索和思考.题目如下：
设当x=θ时，函数f（x）=sin x-2cos x取得最大值，则cos θ= .
一、试题分析
本题属于传统题，考查以三角函数的辅助角公式、导数和向量等为工具解决函数最大值问题；以三角函数为载体，考查数形结合思想、等价转化思想、函数方程及不等式思想.
二、解法探究（一题多解）
本题解法很多，不同的解法体现不同的思维层次和思考角度，考生较容易入手，同时也要求考生要有一种勇于探索、敢于实践的精神.
【解法1】（利用导数与极值、最值的关系将问题转化为方程组问题）
f（x）=5sin（x-φ）的最大值为5，根据条件可知f′（θ）=cos θ+2sin θ=0，及sin θ-2cos θ=5，
解得cos θ=-255.
【解法2】（利用向量数量积的意义将问题转化为几何问题）
将f（x）=sin x-2cos x=（-2，1）·（cos x，sin x）视为向量的数量积问题，当两向量共线且同向时取得最大值，如图，易知cos θ=-255.（本法本质同柯西不等式）
【解法3】（利用潜在条件将问题转化为方程组问题）
函数f（x）=sin x-2cos x=5sin（x-φ）的最大值为5，由条件得
sin θ-2cos θ=5，sin2θ+cos2θ=1，利用代入消元法消去sin θ得（2cos θ+5）2+cos2θ=1，
即5cos2θ+45cos θ+4=0，（5cos θ+2）2=0，
解得cos θ=-255.
【解法4】（利用辅助角公式巧妙解决问题）
f（x）=sin x-2cos x=5sin x·15-cos x·25=5sin（x-φ），
其中cos φ=15，sin φ=25.
因为当x=θ时，函数f（x）=sin x-2cos x取得最大值，
所以θ-φ=π2+2kπ，k∈Z，即θ=φ+π2+2kπ，k∈Z.
故cos θ=cosφ+π2=-sin φ=-25=-255.
【解法5】（利用二阶导数将问题转化为函数的凹凸性问题）
根据条件知f′（θ）=cos θ+2sin θ=0，结合sin2θ+cos2θ=1解得cos θ=±255.
又函数取得最大值附近函数图象上凸（可通过图象上点的切线的斜率变化理解）[1]，
即f″（θ）=-sin θ+2cos θ<0，所以cos θ=-255.
三、解后反思
函数的极值和最值问题是高考的重点和难点问题，解决此类问题主要从几何角度和代数角度两大思路思考，常常采用数形结合、导数和重要公式等方法，具体问题还需要具体分析.
①一般将问题转化为我们熟悉的最值问题，直接降低解答的难度，灵活应用所学知识解决（如解法1和2）.
②最值问题的求解要求同学们在按部就班条件下还要具有胆大心细、敢想敢算的精神.（如解法3、4和5）.
③一般地，设当x=θ时，函数f（x）=asin x+bcos x（ab≠0）取得最大（小）值，则可用上述方法求出sin θ和cos θ，进一步可求tan θ、sin θ±cos θ、sin 2θ、cos 2θ和tan 2θ等.
我们在试题讲解过程中要渗透学生从多角度深刻剖析问题.只有让学生的思维在“多角度”上下功夫，才能取得事半功倍的良好效果，学生的思维才能在不断地展开中得到充分的训练和培养.
四、变式练习（一题多变）
为了加强学生对某一类问题的掌握，教师适当地对题目加以改编再练习，会起到强化解题思想方法的积极作用，能够让学生在亲身实践中寻求变通，悟出其中的来龙去脉，掌握科学的解题规律和法则.在实际教学过程中，我们应抓住这个有效时机让学生亲自去感受、体验、思考、动手做、总结和反思，使其体会到灵活地应用所学知识、思想和方法创造性地解决问题的美妙感觉，进而培养学习的兴趣，提高解题的信心.
下面给出6个变式练习及其简要解答供大家参考.
【变式题1】设当x=θ时，函数f（x）=sin x-2cos x取得最大值，则cos 2θ= .
【变式题2】设当x=θ时，函数f（x）=sin x-2cos x取得最大值，则2θ是第 象限角.
【变式题3】设当x=θ时，函数f（x）=sin x-2cos x取得最小值，则tan θ= . 【变式题4】若x∈0，3π4，则函数f（x）=sin x-2cos x的最大值为 .
【变式题5】若x∈[0，m]时，函数f（x）=sin x-2cos x的最大值为322，则正数m的值是 .
【变式题6】如果函数f（x）=sin 2x+acos 2x的图象关于直线x=π8对称，那么a= .
【变式题1】【解】根据高考题目解法可知cos θ=-255，
故cos 2θ=2cos2θ-1=35.
【变式题2】【解】根据高考题目解法知cos θ=-255，sin θ=55，
故cos 2θ=2cos2θ-1=35，sin 2θ=2sin θcos θ=-45，故2θ是第四象限角.
【变式题3】【解】下面只给出直接求导方法.
当x=θ时，函数f（x）=sin x-2cos x取得最小值，
f′（θ）=cos θ+2sin θ=0，则tan θ=-12.
【变式题4】【解法1】（利用导数将问题转化为求函数最大值问题）
根据条件知f′（x）=cos x+2sin x，当x∈0，π2时，f′（x）=cos x+2sin x>0；
當x∈π2，3π4时，f′（x）=cos x+2sin x=cos x（1+2tan x）>0.
故f（x）=sin x-2cos x在0，3π4上单调递增，f（x）max=f3π4=322.
【解法2】（利用向量数量积的意义将问题转化为几何问题）
将f（x）=sin x-2cos x=（-2，1）·（cos x，sin x）视为向量的数量积问题，易知当x=3π4时数量积取得最大值，f（x）max=322.
【解法3】f（x）=sin x-2cos x=5sin（x-θ），其中sin θ=25，cos θ=15.
不妨取θ∈π4，π2，则-π2<-θ≤x-θ≤3π4-θ<π2，由此可知当x=3π4时f（x）取得最大值，f（x）max=322.
【变式题5】【解法1】（利用导数将问题转化为求函数最大值问题）
根据条件知f3π4=322，f′（x）=cos x+2sin x，当x∈0，π2时，f′（x）=cos x+2sin x>0；
当x∈π2，3π4时，f′（x）=cos x+2sin x=cos x（1+2tan x）>0.
故f（x）=sin x-2cos x在0，3π4上单调递增，故m=3π4.
【解法2】（利用向量数量积的意义将问题转化为几何问题）
将f（x）=sin x-2cos x=（-2，1）·（cos x，sin x）视为向量的数量积问题，又f3π4=322，易知当x=3π4时取得最大值，故m=3π4.
【解法3】f（x）=sin x-2cos x=5sin（x-θ），其中sin θ=25，cos θ=15.不妨取θ∈π4，π2，结合条件有-π2<-θ≤x-θ≤m-θ<π2，知x=m时f（x）取得最大值，π2
检验：当a=1时，f（x）=2 sin2x+π4，则fπ8=2，因此f（x）的图象关于x=π8对称.故a=1满足题意.
【解法2】f′（x）=2cos 2x-2asin 2x，由题意知f′π8=2cosπ4-2asinπ4=0，得a=cosπ4sinπ4=1.
【解法3】利用辅助角公式f（x）=sin 2x+acos 2x=a2+1sin（2x+θ），
其中a=tan θ.
根据条件知fπ8=a2+1sinπ4+θ=±a2+1，故sinπ4+θ=±1.
解得θ=π4+kπ，k∈Z，a=tanπ4+kπ=1.
下面再给出两道不错的一题多解练习题供读者参考：
2015年重庆高考文科数学14题：
设a，b>0，a+b=5，则a+1+b+3的最大值为 .
2009年安徽高考理科数学14题：
给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120°.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.若OC=xOA+yOB，其中x，y∈R，则x+y的最大值是 .
五、结束语
“一题多解”和“一解多变”训练是提高数学解题能力的有效途径.学生通过“一题多解”，可以开阔思路、发散思维，学会多角度分析和解决问题；通过“一题多变”，能够加深思维深度，学会由表及里抓住事物的本质，找出事物间的内在联系.试题多种解法的探究仅仅是试题研究的一个开端.对解法的探索是在践行我们所学的知识技能和思想方法，同时也使我们的思维更广阔、思想更深刻.对试题本质的探源，使我们更深刻地认识问题，将新旧解题经历跨时空贯通起来，这又是一个新的开始.
美国著名数学教育家波利亚说过[2]，掌握数学就意味着学会解题，而想要学会解题，好的数学题目是关键.一道好的试题之所以能引起大家的共鸣，不是因为其独特的解题技巧，而是其中所蕴含着的数学思想和方法.本文中的试题素材平朴，但求解过程精彩纷呈，妙趣横生，真可谓是一道平中孕奇的好题.正如波利亚说“一个专心的认真备课教师能拿出一个有意义的但不复杂的题目，去帮助学生发展问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域”.
参考文献
[1]华东师范大学数学系. 数学分析第四版上册[M].北京：高等教育出版社， 2011.
[2]余启西.以智慧启迪智慧学好数学[J].福建中学数学，2015（5）：15-17.