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笔者在《中学数学教学参考》2011年第5期（中旬）看到一篇文章，上面所谈到的，在我的教学过程中也相似的出现过.现先将原文作者所讲述的，结合本人实际把它展现给大家.
图 1
命题 如图1，AB=AC，CF⊥AB，垂足为F，BE⊥AC，垂足为E，CF与BE交于H.求证：AH平分∠BAC.
教学过程先后在两个班进行.
第一个班，采取分析法启发学生寻找证题思路.
教师：要证明AH平分∠BAC，即要证明∠1=∠2，那么要证∠1=∠2，只要证什么？
学生：只要证△AHC≌△AHB.
教师：能证吗？说说你的想法.
学生：已知AC=HB，AH=AH，但是，我们还不知道CH=HB是否成立.虽然能够知道∠5=∠6，但是，并不满足SAS，ASA，SSS，故不能证明△AHC≌△AHB.
教师：此路不通！有其他办法吗？
学生：有！要证∠1=∠2，只要证△AHE≌△AHF.
教师：好，试试看.
学生：因为AH=AH，∠3=∠4=90°，AE=AF，所以△AHE≌△AHF.
教师：AE=AF是已知条件，还是推证得到的？
学生：推证得到的，因为在Rt△AFC与Rt△AEB中，AC=AB，∠A=∠A，所以Rt△AFC≌Rt△AEB，从而得到AE=AF.
教师：一边提问，一边板书用分析法寻找证明思路的过程：
∠1=∠2AH=AH，∠3=∠4，AE=AFRt△AFC≌Rt△AEB，AC=AB，∠A=∠A.
然后，请学生在黑板上写出证明过程.
教学任务比较顺利地完成了，但下课后我在想，“此路不通”这句话是否不妥？真的此路不通吗？我认真分析了一下，很快找到了解答.其实这就是一个关于两个三角形满足SSA不一定全等的例子，成立与否得分条件来说明.而本题恰恰是成立的条件.
在第二个班教学时，当学生提出要证明△AHC≌△AHB，我不是匆忙地用“此路不通”四个字关闭学生的思路，而是鼓励学生大胆地进行探索.
教师：到底能不能证明△AHC≌△AHB？
（众生沉思）
教师：现在AC=AB，AH=AH，∠5=∠6（∠5=90°-∠A，∠6=90°-∠A），能否推出△AHC≌△AHB呢？
一般地说，如果已知两个三角形的两条对应边分别相等，并且其中一条对应边的对角相等，能否得出这两个三角形全等的结论？
（众生感到困惑）
学生1：不能得到！因为如果两个三角形的两条对应边分别相等，且其中一条对应边的对角均为锐角且相等，那么这两个三角形可能不全等.
教师：为什么？
图 2
学生1：我们可以利用作图，画出如图2的情况.
在△AOB和△AOC中，OA=OA，AB=AC，∠O=∠O，显然△AOB和△AOC不全等.（我心中一喜，不错，学生能举出反例来.在数学研究中，对于几何问题的不确定性，能找到恰当的数学模型是解决问题的一种手段.）
教师：很不错，想象丰富.那么，这是不是说明△AHC≌△AHB就无法证明了呢？
学生2：（沉思了一会儿）我猜想，如果两个三角形的两条对应边分别相等，其中一条对应边的对角相等且为锐角，且另一条对应边所对的角同为钝角（或同为锐角），则此两个三角形全等.
教师：学生2的这一猜想有道理吗？如果能证明这一猜想，那么△AHC≌△AHB能证得吗？（教师边问边将学生2的猜想板书出来）
学生3：（非常惊喜）学生2的猜想有道理！因为只要猜想成立，那么由原题中∠AHC>∠AFH=90°，∠AHB>∠AEH=90°，∠5=∠6，AH=AH，AC=AB，可得△AHC≌△AHB.
教师：那么，怎样证明上面的猜想呢？现在，我们在黑板上画出两个钝角三角形△ABC与△A′B′C′（如图3）.
图 3
已知：在△ABC和△A′B′C′中，AC=A′C′，AB=A′B′，∠C=∠C′（小于90°），∠B=∠B′（大于90°），求证：△ABC≌△A′B′C′.
学生4：延长CB与C′B′，并分别由A与A′向其作垂线，垂足分别为D与D′，即可证明上述猜想（过程这里从略）.
教师：对于这一猜想，当另一组对应边所对的角同为锐角时，怎样证明两个三角形全等？请同学课后思考并完成.
教师：我们还有别的证法吗？
学生：有.
（与第一节课的证法想同）
本节课，由于在分析、证明猜想时花时间较多，例题的容量比第一节课要少.但是，教学效果是明显的.
有教育家曾说过：教师不替学生说学生自己能说的话，不替学生做学生自己能做的事，不轻易扼杀学生求学、求索的天性；学生能讲明白的知识尽可能让学生自己讲，学生伸手可及的果子，教师不要帮摘或阻止他们去摘.教师要多为学生创设几个“跳一跳，摘果子”的平台.这是新课改的理念，体现学生学习的主体性和教师教学的主导性.
1.新课标要求我们培养具有创新精神的人才.教师在教学过程中应注重培养学生的创新意识，而培养创新意识的必要条件是提高学生探究能力，因为只有具备较高探究能力的学生才能够从已知的问题出发通过比较、分析进行科学的猜想、归纳，使问题在原有的基础上有所发现，有所发明，有所创新.
第一节课虽然采用分析法引导学生探寻证明思路，对学生的思维具有一定的启发，但用“此路不通”四个字扼杀了学生求学、求索的天性.由于有了对问题的进一步把握，第二节课采用了探究式的教学方式，让学生的思路充分放开，在分析探寻新的证明思路中，作出猜想，作出创造，发现并证明了一条判别两个三角形全等的新定理.这样提高了学生的逻辑思维能力，培养了学生的理性思维和创新的精神.
2.教学反思是一种品质，正如有些学者认为“有效教学既是一种技术或策略，同时有效教学也是一种观念，它要求每一个教师拥有超越一般的、共同的技术，不断地反思自己的日常教学行为”.因此，在教学过程中，需要教师具备一种反思的意识和能力.
有的教师几十年书教不好，不是水平和能力问题，而是他只用一种教学方法重复了几十遍.有的教师只教了两三年就教得很好，这是因为，当他用第一种方法教效果不好或授课方法不妥时，他首先想到的是反思自己的教学过程，摸索不同的教学方法，找到有效的教学方法.
笔者在第一节课后立即意识到“此路不通”这四个字欠妥，认真分析后发现，问题出现在教师身上，是没有把教材读透.在全等三角形证明的判定定理中，确实没有SSA这个定理，是因为满足SSA的两个三角形不一定全等，得分类讨论，而本题恰好是能全等的一类.同时在学生出现要证明△AHC≌△AHB这一节外生枝问题时，教师没有意识此处该引导学生探索，用“此路不通”予以搪塞，阻碍了学生思维的自然发展，使学生失去了一次可以积极探索的机会.第二节课，由于注意到了这一点，课堂教学中出现多处精彩的画面.
3.充分发掘教材中的知识点和典型例题中所蕴含的数学思想和方法，依靠数学思想指导数学思维，尽量暴露思维的全过程，展示数学方法的运用，大胆探索，会一题明一路，以少胜多.
比如，在勾股定理的逆定理的教学中，教师就应该深刻把握好“构造法”这一数学思想方法.引导学生通过构造一个直角三角形这一特定的数学对象，从而解决问题，证明定理.
又比如说，已知f(x)=1+x2，a，b为相异实数，求证：|f(a)-f(b)|<|a-b|这一问题.笔者认为，我们可以从以下几个方面去深掘问题的背景，从而培养学生的创新探究能力.
（1）从不等式背景入手
证明 |f(a)-f(b)|=|1+a2-1+b2|
=|a-b||a+b|1+a2+1+b2
<|a-b||a+b||a|+|b|<|a-b||a+b||a+b|=|a-b|.
（2）从距离背景入手（其根号的形式可视为距离背景）
证明 表达式1+x2=(x-0)2+(1-0)2可视为P（x，1）到O（0，0）的距离，当a≠b时，设P1(a，1)，P2(b，1)，则||OP1|-|OP2||<|P1P2||1+a2-1+b2|<|a-b|.
（3）从复数背景入手（由复数的模可联想到该问题的复数背景）
证明 设复数z1=1+ai，z2=1+bi（a，b∈R），a≠b，则|z1|=1+a2，|z2|=1+b2，|z1-z2|=|a-b|，因为|z1|+|z2|>|z1-z2|，故原不等式成立.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
图 1
命题 如图1，AB=AC，CF⊥AB，垂足为F，BE⊥AC，垂足为E，CF与BE交于H.求证：AH平分∠BAC.
教学过程先后在两个班进行.
第一个班，采取分析法启发学生寻找证题思路.
教师：要证明AH平分∠BAC，即要证明∠1=∠2，那么要证∠1=∠2，只要证什么？
学生：只要证△AHC≌△AHB.
教师：能证吗？说说你的想法.
学生：已知AC=HB，AH=AH，但是，我们还不知道CH=HB是否成立.虽然能够知道∠5=∠6，但是，并不满足SAS，ASA，SSS，故不能证明△AHC≌△AHB.
教师：此路不通！有其他办法吗？
学生：有！要证∠1=∠2，只要证△AHE≌△AHF.
教师：好，试试看.
学生：因为AH=AH，∠3=∠4=90°，AE=AF，所以△AHE≌△AHF.
教师：AE=AF是已知条件，还是推证得到的？
学生：推证得到的，因为在Rt△AFC与Rt△AEB中，AC=AB，∠A=∠A，所以Rt△AFC≌Rt△AEB，从而得到AE=AF.
教师：一边提问，一边板书用分析法寻找证明思路的过程：
∠1=∠2AH=AH，∠3=∠4，AE=AFRt△AFC≌Rt△AEB，AC=AB，∠A=∠A.
然后，请学生在黑板上写出证明过程.
教学任务比较顺利地完成了，但下课后我在想，“此路不通”这句话是否不妥？真的此路不通吗？我认真分析了一下，很快找到了解答.其实这就是一个关于两个三角形满足SSA不一定全等的例子，成立与否得分条件来说明.而本题恰恰是成立的条件.
在第二个班教学时，当学生提出要证明△AHC≌△AHB，我不是匆忙地用“此路不通”四个字关闭学生的思路，而是鼓励学生大胆地进行探索.
教师：到底能不能证明△AHC≌△AHB？
（众生沉思）
教师：现在AC=AB，AH=AH，∠5=∠6（∠5=90°-∠A，∠6=90°-∠A），能否推出△AHC≌△AHB呢？
一般地说，如果已知两个三角形的两条对应边分别相等，并且其中一条对应边的对角相等，能否得出这两个三角形全等的结论？
（众生感到困惑）
学生1：不能得到！因为如果两个三角形的两条对应边分别相等，且其中一条对应边的对角均为锐角且相等，那么这两个三角形可能不全等.
教师：为什么？
图 2
学生1：我们可以利用作图，画出如图2的情况.
在△AOB和△AOC中，OA=OA，AB=AC，∠O=∠O，显然△AOB和△AOC不全等.（我心中一喜，不错，学生能举出反例来.在数学研究中，对于几何问题的不确定性，能找到恰当的数学模型是解决问题的一种手段.）
教师：很不错，想象丰富.那么，这是不是说明△AHC≌△AHB就无法证明了呢？
学生2：（沉思了一会儿）我猜想，如果两个三角形的两条对应边分别相等，其中一条对应边的对角相等且为锐角，且另一条对应边所对的角同为钝角（或同为锐角），则此两个三角形全等.
教师：学生2的这一猜想有道理吗？如果能证明这一猜想，那么△AHC≌△AHB能证得吗？（教师边问边将学生2的猜想板书出来）
学生3：（非常惊喜）学生2的猜想有道理！因为只要猜想成立，那么由原题中∠AHC>∠AFH=90°，∠AHB>∠AEH=90°，∠5=∠6，AH=AH，AC=AB，可得△AHC≌△AHB.
教师：那么，怎样证明上面的猜想呢？现在，我们在黑板上画出两个钝角三角形△ABC与△A′B′C′（如图3）.
图 3
已知：在△ABC和△A′B′C′中，AC=A′C′，AB=A′B′，∠C=∠C′（小于90°），∠B=∠B′（大于90°），求证：△ABC≌△A′B′C′.
学生4：延长CB与C′B′，并分别由A与A′向其作垂线，垂足分别为D与D′，即可证明上述猜想（过程这里从略）.
教师：对于这一猜想，当另一组对应边所对的角同为锐角时，怎样证明两个三角形全等？请同学课后思考并完成.
教师：我们还有别的证法吗？
学生：有.
（与第一节课的证法想同）
本节课，由于在分析、证明猜想时花时间较多，例题的容量比第一节课要少.但是，教学效果是明显的.
有教育家曾说过：教师不替学生说学生自己能说的话，不替学生做学生自己能做的事，不轻易扼杀学生求学、求索的天性；学生能讲明白的知识尽可能让学生自己讲，学生伸手可及的果子，教师不要帮摘或阻止他们去摘.教师要多为学生创设几个“跳一跳，摘果子”的平台.这是新课改的理念，体现学生学习的主体性和教师教学的主导性.
1.新课标要求我们培养具有创新精神的人才.教师在教学过程中应注重培养学生的创新意识，而培养创新意识的必要条件是提高学生探究能力，因为只有具备较高探究能力的学生才能够从已知的问题出发通过比较、分析进行科学的猜想、归纳，使问题在原有的基础上有所发现，有所发明，有所创新.
第一节课虽然采用分析法引导学生探寻证明思路，对学生的思维具有一定的启发，但用“此路不通”四个字扼杀了学生求学、求索的天性.由于有了对问题的进一步把握，第二节课采用了探究式的教学方式，让学生的思路充分放开，在分析探寻新的证明思路中，作出猜想，作出创造，发现并证明了一条判别两个三角形全等的新定理.这样提高了学生的逻辑思维能力，培养了学生的理性思维和创新的精神.
2.教学反思是一种品质，正如有些学者认为“有效教学既是一种技术或策略，同时有效教学也是一种观念，它要求每一个教师拥有超越一般的、共同的技术，不断地反思自己的日常教学行为”.因此，在教学过程中，需要教师具备一种反思的意识和能力.
有的教师几十年书教不好，不是水平和能力问题，而是他只用一种教学方法重复了几十遍.有的教师只教了两三年就教得很好，这是因为，当他用第一种方法教效果不好或授课方法不妥时，他首先想到的是反思自己的教学过程，摸索不同的教学方法，找到有效的教学方法.
笔者在第一节课后立即意识到“此路不通”这四个字欠妥，认真分析后发现，问题出现在教师身上，是没有把教材读透.在全等三角形证明的判定定理中，确实没有SSA这个定理，是因为满足SSA的两个三角形不一定全等，得分类讨论，而本题恰好是能全等的一类.同时在学生出现要证明△AHC≌△AHB这一节外生枝问题时，教师没有意识此处该引导学生探索，用“此路不通”予以搪塞，阻碍了学生思维的自然发展，使学生失去了一次可以积极探索的机会.第二节课，由于注意到了这一点，课堂教学中出现多处精彩的画面.
3.充分发掘教材中的知识点和典型例题中所蕴含的数学思想和方法，依靠数学思想指导数学思维，尽量暴露思维的全过程，展示数学方法的运用，大胆探索，会一题明一路，以少胜多.
比如，在勾股定理的逆定理的教学中，教师就应该深刻把握好“构造法”这一数学思想方法.引导学生通过构造一个直角三角形这一特定的数学对象，从而解决问题，证明定理.
又比如说，已知f(x)=1+x2，a，b为相异实数，求证：|f(a)-f(b)|<|a-b|这一问题.笔者认为，我们可以从以下几个方面去深掘问题的背景，从而培养学生的创新探究能力.
（1）从不等式背景入手
证明 |f(a)-f(b)|=|1+a2-1+b2|
=|a-b||a+b|1+a2+1+b2
<|a-b||a+b||a|+|b|<|a-b||a+b||a+b|=|a-b|.
（2）从距离背景入手（其根号的形式可视为距离背景）
证明 表达式1+x2=(x-0)2+(1-0)2可视为P（x，1）到O（0，0）的距离，当a≠b时，设P1(a，1)，P2(b，1)，则||OP1|-|OP2||<|P1P2||1+a2-1+b2|<|a-b|.
（3）从复数背景入手（由复数的模可联想到该问题的复数背景）
证明 设复数z1=1+ai，z2=1+bi（a，b∈R），a≠b，则|z1|=1+a2，|z2|=1+b2，|z1-z2|=|a-b|，因为|z1|+|z2|>|z1-z2|，故原不等式成立.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文