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与新授课相比，复习课在教学内容选择上有着更大的空间。多数教师习惯于凭着自己原有的经验，以预想的方式来判断和确定复习内容。而以生为本的复习应该充分贴着学情，可以通过教学前测等实证的方式来选择复习内容，确定教学重、难点。那么，有了教学前测又该如何贴着学情来筛选复习材料呢？笔者对人教版四下《三角形》单元复习进行了实践，收到较好效果，现结合课例谈点体会。
一、教学实践
（一）课前准备
1.请每个学生画出3个有特点的三角形，要求标上必要的数据和字母，简单介绍这些三角形以及它们之间的关系。
2.画出三角形指定底上的高（其中钝角三角形内部和外部高各一条）。
3.用长为2厘米、7厘米的两条线段画一个三角形，第三条线段长可以是几厘米？（取整厘米数）
（二）课堂实录
1.揭题板书：三角形的整理与复习。
2.呈现学生作。
师：三角形与数字“3”非常有缘。就如孙宁坤同学所说，三角形是由三条线段围成的图形，它有三个顶点、三条边，还有——
生：三个角、三条高。
师：这些都是三角形的共同特点。
3.呈现学生作品（图2），组织解读梳理。
师：三角形有许多个，我们有必要根据它的特点来复习研究。课前每位同学都画了三个有特点的三角形，我们先来分享汪登晖同学的作品，字数不多却带来了非常重要的信息。你能看懂吗？
生1：他标出了每个角的度数，说明每个三角形内角和都是180°。
师：标注了每个角的度数，原来是为了说明三角形内角和的特点。老师好奇的是，每个角的度数你们真的都去量过？
生2：直角三角形，只要量一个角，另外一个角的度数用90°去减一减就可以了。
生3：只要量出其中两个角的度数，第三个角可以用180°减去另外两个角的度数。
师：聪明。其实即使每个角去量都是会产生误差的，我们可以利用三角形的内角和来推算。还有其他发现吗？
生4：他是按角进行分类的，把三角形分成了锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
师：老师统计了一下，班里近一半同学都按角进行了分类。如果用集合圈来表示分类情况，你能填写吗？
指名上台板演集合图，提问：既然有按角分类，还有按边分类。按边分，三角形又可以怎样分呢？
在学生梳理出“等腰三角形是特殊的三角形、等边三角形是特殊的等腰三角形”的基础上组织填写集合图。
4.等腰三角形各角度数的推算。
师：在很多同学作品中都提到了“等腰直角三角形”，这又是怎样的三角形？
生：等腰直角三角形就是有两条边相等、有一个角是直角的三角形。
师：明白了，等腰直角三角形是从边和角两个方面来考虑，就有了“等腰”“直角”双重身份。那它的底角是多少度呢？
生：45°。180°减去90°的差除以2就是底角的度数。
在梳理出“等腰三角形中有直角三角形、钝角三角形、锐角三角形”的基础上，组织跟进练习：“一个等腰三角形顶角120°，求每个底角的度数”“一个等腰三角形每个底角65°，求顶角的度数”“当等腰三角形每个底角由65°变成60°，这时是什么三角形？”
5.画高。
（1）练习纸上提供锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各一个，要求画出自己能画出的高。
组织校对各个三角形内部的高，指名上台演画钝角三角形外部的高，介绍方法。小结指出，每类三角形都有三条高，锐角三角形的三条高都在它内部，直角三角形的高有两条在直角边上，钝角三角形的高有两条在它外部。
（2）提供画有若干个钝角三角形高的图，组织学生辨认相应底边上的高。
（3）出示格子图（每一小格代表边长1厘米的正方形），要求在格子图中画底4厘米（线段AB为底）、高3厘米的锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各一个。
反馈讨论：当顶点C在什么位置上，这个三角形是直角三角形？在哪个范围内都是锐角三角形？钝角三角形呢？这些三角形形状变了，什么是不变的？
小结：我们以直角三角形为界，可以找到多个锐角三角形和钝角三角形。这些三角形尽管形状发生了变化，但底都是4厘米、高都是3厘米，在数学上称为“等底等高”，它们的面积都相等。
6.三角形三边关系。
出示信息1：有三条线段，长度分别为2厘米、6厘米、8厘米。它们能围成一个三角形吗？
结合学生回答，梳理板书：两边之和大于第三边。
出示信息2：如果选长为2厘米、6厘米的线段作为三角形的两条边，第三边长可以是多少厘米？（取整厘米数）
在学生得出“5～7”范围的基础上，提问：你是如何想到5厘米至7厘米的？
结合学生回答，板书方法：2 □>6；2 6>□；6-2<□<6 2。
出示信息3：如果选长为2厘米、8厘米的线段作为三角形的两条边，第三边可以是多少厘米？（取整厘米数）要求学生有序罗列，反馈校正。
出示信息4：如果选长为6厘米、8厘米的线段作为三角形的两条边，第三边长可以是多少厘米？（取整厘米数）
结合学生反馈，几何画板演示，组织学生观察发现：当三条边的数据为6，8，10时成了一个直角三角形，第三边在3～9厘米时为锐角三角形、在11～13厘米时为钝角三角形。
出示信息5：一个等腰三角形，其中两条边长分别为8厘米和4厘米，这个等腰三角形的周长是多少厘米？
组织学生辨析“20厘米”“16厘米”，发现“16厘米”不符合要求。
出示信息6：五根木棒长分别是5分米、4分米、3分米、2分米和1分米，选择其中的三条围成一个三角形，周长最短是多少分米？ 学生在否定数据“3，2，1”的基础上，得出周长最短为“4 3 2=9”。
小结讨论：这两题给你怎样的启发？
7.回顾总结。
我们是怎样复习的？你有什么新的收获？
8.介绍杨辉三角。
二、教学体会
（一）选取学生作品介入复习，激活复习兴趣，确立复习重、难点
为了提高学生复习的参与性与主动性，复习引入材料一般要具备这样几个要求。一是起点较低，能够让大部分学生（尤其是中下层次学生）有基础、有能力参与进来；二是结构性强，一份材料能引带出多个知识点；三是具有一定的亲近感和任务驱动感，材料选自多数学生熟悉的情境或话题，并有一定的挑战性，激发学生的兴趣。在本课前测中，设置了“画3个有特点的三角形，标注数据并加以关系介绍”这一驱动性任务，旨在让学生自我回顾、梳理相关知识及相互联系。前测数据显示，该班55%的学生就采用了图1的整理方式，它比较清晰地将三角形定义、各部分名称等知识点引带出来，同时学生代表作品的呈现具有亲切感，激活了学生复习的兴趣。
教师还要善于从学生作品中分析其知识结构的稳固点和薄弱点，明确复习重、难点，为查漏补缺材料设计提供依据。如画高是三角形单元的重点，通过前测发现，绝大多数学生三角形内部的高掌握得比较扎实，而画钝角三角形外部的高存在较多的困难。虽然，课标没有对钝角三角形外部的高在画法上加以要求，但无论是先前平行四边形、梯形、三角形概念的学习，还是后续三角形面积知识的学习，“等底等高”是一个关键要素。根据学情的基础和整体学习的需求，本课提出“能够比较熟练指认钝角三角形外部的高，鼓励学生画出钝角三角形外部的高”的复习目标，这也是复习课针对性原则的体现。
（二）关注核心概念，选取内联性、发展性材料，提升数学能力
复习课，承载着求知、求联、求发展的目标任务。就本课而言，“如何在动态想象中感受锐角三角形、直角三角形、钝角三角形之间的内部联系？”“选取三角形第三边长度的策略是什么，如何体现思维的深刻性？”应该纳入数学能力提升的着力点。在教学中，通过在格子图内画“底4厘米（线段AB为底）、高3厘米的锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各一个”的发展性练习，除了让学生进一步感知各类三角形之间“等底等高”关系外，还对各类三角形顶点范围进行思考，感知直角三角形的特殊性。在三角形三边关系复习中，先通过第三边选配范围的讨论，引导学生归纳、提炼出思考的策略；接着在“已知两边长度为6厘米和8厘米，选配第三边长度”练习中再次感知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形之间的联系；最后在解决“等腰三角形周长”“周长最短问题”综合练习中训练学生全面、有序思考问题的思维品质。这一系列练习材料融合了发展学生空间观念、培养学生策略意识、训练全面思考问题等复习目标理念，较好发挥了“求联、求发展”的复习效能。
（浙江省奉化市教师进修学校 315500）
一、教学实践
（一）课前准备
1.请每个学生画出3个有特点的三角形，要求标上必要的数据和字母，简单介绍这些三角形以及它们之间的关系。
2.画出三角形指定底上的高（其中钝角三角形内部和外部高各一条）。
3.用长为2厘米、7厘米的两条线段画一个三角形，第三条线段长可以是几厘米？（取整厘米数）
（二）课堂实录
1.揭题板书：三角形的整理与复习。
2.呈现学生作。
师：三角形与数字“3”非常有缘。就如孙宁坤同学所说，三角形是由三条线段围成的图形，它有三个顶点、三条边，还有——
生：三个角、三条高。
师：这些都是三角形的共同特点。
3.呈现学生作品（图2），组织解读梳理。
师：三角形有许多个，我们有必要根据它的特点来复习研究。课前每位同学都画了三个有特点的三角形，我们先来分享汪登晖同学的作品，字数不多却带来了非常重要的信息。你能看懂吗？
生1：他标出了每个角的度数，说明每个三角形内角和都是180°。
师：标注了每个角的度数，原来是为了说明三角形内角和的特点。老师好奇的是，每个角的度数你们真的都去量过？
生2：直角三角形，只要量一个角，另外一个角的度数用90°去减一减就可以了。
生3：只要量出其中两个角的度数，第三个角可以用180°减去另外两个角的度数。
师：聪明。其实即使每个角去量都是会产生误差的，我们可以利用三角形的内角和来推算。还有其他发现吗？
生4：他是按角进行分类的，把三角形分成了锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
师：老师统计了一下，班里近一半同学都按角进行了分类。如果用集合圈来表示分类情况，你能填写吗？
指名上台板演集合图，提问：既然有按角分类，还有按边分类。按边分，三角形又可以怎样分呢？
在学生梳理出“等腰三角形是特殊的三角形、等边三角形是特殊的等腰三角形”的基础上组织填写集合图。
4.等腰三角形各角度数的推算。
师：在很多同学作品中都提到了“等腰直角三角形”，这又是怎样的三角形？
生：等腰直角三角形就是有两条边相等、有一个角是直角的三角形。
师：明白了，等腰直角三角形是从边和角两个方面来考虑，就有了“等腰”“直角”双重身份。那它的底角是多少度呢？
生：45°。180°减去90°的差除以2就是底角的度数。
在梳理出“等腰三角形中有直角三角形、钝角三角形、锐角三角形”的基础上，组织跟进练习：“一个等腰三角形顶角120°，求每个底角的度数”“一个等腰三角形每个底角65°，求顶角的度数”“当等腰三角形每个底角由65°变成60°，这时是什么三角形？”
5.画高。
（1）练习纸上提供锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各一个，要求画出自己能画出的高。
组织校对各个三角形内部的高，指名上台演画钝角三角形外部的高，介绍方法。小结指出，每类三角形都有三条高，锐角三角形的三条高都在它内部，直角三角形的高有两条在直角边上，钝角三角形的高有两条在它外部。
（2）提供画有若干个钝角三角形高的图，组织学生辨认相应底边上的高。
（3）出示格子图（每一小格代表边长1厘米的正方形），要求在格子图中画底4厘米（线段AB为底）、高3厘米的锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各一个。
反馈讨论：当顶点C在什么位置上，这个三角形是直角三角形？在哪个范围内都是锐角三角形？钝角三角形呢？这些三角形形状变了，什么是不变的？
小结：我们以直角三角形为界，可以找到多个锐角三角形和钝角三角形。这些三角形尽管形状发生了变化，但底都是4厘米、高都是3厘米，在数学上称为“等底等高”，它们的面积都相等。
6.三角形三边关系。
出示信息1：有三条线段，长度分别为2厘米、6厘米、8厘米。它们能围成一个三角形吗？
结合学生回答，梳理板书：两边之和大于第三边。
出示信息2：如果选长为2厘米、6厘米的线段作为三角形的两条边，第三边长可以是多少厘米？（取整厘米数）
在学生得出“5～7”范围的基础上，提问：你是如何想到5厘米至7厘米的？
结合学生回答，板书方法：2 □>6；2 6>□；6-2<□<6 2。
出示信息3：如果选长为2厘米、8厘米的线段作为三角形的两条边，第三边可以是多少厘米？（取整厘米数）要求学生有序罗列，反馈校正。
出示信息4：如果选长为6厘米、8厘米的线段作为三角形的两条边，第三边长可以是多少厘米？（取整厘米数）
结合学生反馈，几何画板演示，组织学生观察发现：当三条边的数据为6，8，10时成了一个直角三角形，第三边在3～9厘米时为锐角三角形、在11～13厘米时为钝角三角形。
出示信息5：一个等腰三角形，其中两条边长分别为8厘米和4厘米，这个等腰三角形的周长是多少厘米？
组织学生辨析“20厘米”“16厘米”，发现“16厘米”不符合要求。
出示信息6：五根木棒长分别是5分米、4分米、3分米、2分米和1分米，选择其中的三条围成一个三角形，周长最短是多少分米？ 学生在否定数据“3，2，1”的基础上，得出周长最短为“4 3 2=9”。
小结讨论：这两题给你怎样的启发？
7.回顾总结。
我们是怎样复习的？你有什么新的收获？
8.介绍杨辉三角。
二、教学体会
（一）选取学生作品介入复习，激活复习兴趣，确立复习重、难点
为了提高学生复习的参与性与主动性，复习引入材料一般要具备这样几个要求。一是起点较低，能够让大部分学生（尤其是中下层次学生）有基础、有能力参与进来；二是结构性强，一份材料能引带出多个知识点；三是具有一定的亲近感和任务驱动感，材料选自多数学生熟悉的情境或话题，并有一定的挑战性，激发学生的兴趣。在本课前测中，设置了“画3个有特点的三角形，标注数据并加以关系介绍”这一驱动性任务，旨在让学生自我回顾、梳理相关知识及相互联系。前测数据显示，该班55%的学生就采用了图1的整理方式，它比较清晰地将三角形定义、各部分名称等知识点引带出来，同时学生代表作品的呈现具有亲切感，激活了学生复习的兴趣。
教师还要善于从学生作品中分析其知识结构的稳固点和薄弱点，明确复习重、难点，为查漏补缺材料设计提供依据。如画高是三角形单元的重点，通过前测发现，绝大多数学生三角形内部的高掌握得比较扎实，而画钝角三角形外部的高存在较多的困难。虽然，课标没有对钝角三角形外部的高在画法上加以要求，但无论是先前平行四边形、梯形、三角形概念的学习，还是后续三角形面积知识的学习，“等底等高”是一个关键要素。根据学情的基础和整体学习的需求，本课提出“能够比较熟练指认钝角三角形外部的高，鼓励学生画出钝角三角形外部的高”的复习目标，这也是复习课针对性原则的体现。
（二）关注核心概念，选取内联性、发展性材料，提升数学能力
复习课，承载着求知、求联、求发展的目标任务。就本课而言，“如何在动态想象中感受锐角三角形、直角三角形、钝角三角形之间的内部联系？”“选取三角形第三边长度的策略是什么，如何体现思维的深刻性？”应该纳入数学能力提升的着力点。在教学中，通过在格子图内画“底4厘米（线段AB为底）、高3厘米的锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各一个”的发展性练习，除了让学生进一步感知各类三角形之间“等底等高”关系外，还对各类三角形顶点范围进行思考，感知直角三角形的特殊性。在三角形三边关系复习中，先通过第三边选配范围的讨论，引导学生归纳、提炼出思考的策略；接着在“已知两边长度为6厘米和8厘米，选配第三边长度”练习中再次感知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形之间的联系；最后在解决“等腰三角形周长”“周长最短问题”综合练习中训练学生全面、有序思考问题的思维品质。这一系列练习材料融合了发展学生空间观念、培养学生策略意识、训练全面思考问题等复习目标理念，较好发挥了“求联、求发展”的复习效能。
（浙江省奉化市教师进修学校 315500）