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江苏高考数学试卷附加题部分由6道解答题组成,其中必做题2题,考查选修系列2(不含选修系列1)中的内容,其中容易题、中等题和难题在试卷中所占分值的比例大致为5∶4∶1,选修系列4中的4个专题中只需要选两个解答,4个题的难度需大致相当;两个必做题的考查内容分布很广,有计数原理、概率、空间向量与立体几何、圆锥曲线与方程、数学归纳法等,而解答时间仅有30分钟,因此在平时的训练中,应严格控制训练量和难度,以基础题和中档题为主,勤于思考,注重知识点和方法规律的总结。
【例1】 在极坐标系中,圆C的方程为ρ=42cosθ-π4,以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为x=t+1,y=t-1,(t为参数),求直线l被⊙C截得的弦AB的长度.
分析 关于极坐标与参数方程问题,一般方法是将它们转化为直角坐标系下的普通方程再求解。
解 ⊙C的方程化为ρ=4cosθ+4sinθ,两边同乘以ρ,得ρ2=4ρcosθ+4ρsinθ.
由ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,得x2+y2-4x-4y=0,
其圆心C坐标为(2,2),半径r=22,
又直线l的普通方程为x-y-2=0,
∴圆心C到直线l的距离d=22=2,
∴弦长AB=28-2=26.
总结:1. 极坐标或参数方程的问题的求解,最基本的方法是将极坐标(方程)、参数方程转化为直角坐标(方程)、普通方程进行求解。
2. 要熟练掌握参数方程与普通方程之间的互化。将参数方程转化为普通方程最主要的手段是消元,消元的常见方法有:(1) 代入消元法;(2) 加减消元法;(3) 利用代数恒等式或三角恒等式。消元后要注意字母的取值范围是否发生变化。
3. 极坐标与直角坐标的互化:x=ρcosθ,
y=ρsinθ或
ρ2=x2+y2,tanθ=yx.
点拨 理解记忆几个简单图形的极坐标方程以及直线、圆及椭圆的参数方程,并会简单应用圆、椭圆的参数方程解题。
1. 直线的参数方程:过定点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程都可以写成为:
x=x0+tcosα,x=y0+tsinα(t为参数),其中t表示动点M在l上以M0为起点的位移。
2. 曲线的参数方程:
(1) x2+y2=r2的参数方程为:x=rcosθ,y=rsinθ;
(2) (x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程为:
x=a+rcosθ,y=b+rsinθ;
(3) x2a2+y2b2=1(a>b>0)的参数方程为:
x=acosθ,y=bsinθ;
(4) 抛物线y2=2px(p>0)的参数方程(以yx=t为参数)为x=2pt2,y=2pt。
3. 常见的直线和圆的极坐标方程:
θ=α表示过极点的直线;
ρcosθ=a表示过(a,0)且垂直于极轴的直线;
ρsinθ=b表示过b,π2且平行于极轴的直线;
ρ=r表示圆心在极点,半径为|r|的圆;
ρ=2rcosθ表示圆心在(r,0),半径为|r|的圆;
ρ=2rsinθ表示圆心在r,π2,半径为|r|的圆。
【例2】 如图,在长方体ABCDA1B1C1D1,中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动.
(1) 证明:D1E⊥A1D;
(2) 当E为AB的中点时,求点E到面ACD1的距离;
(3) AE为何值时,二面角D1ECD的大小为π4.
分析 ABCDA1B1C1D1是长方体,这为建立空间直角坐标系创造了有利条件。
解 以D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,设AE=x,则A1(1,0,1),D1(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0),C(0,2,0).
(1) 因为DA1•D1E=(1,0,1)•(1,x,-1)=0,
所以DA1⊥D1E.
(2) 因为E为AB的中点,则E(1,1,0),从而D1E=(1,1,-1),AC=(-1,2,0),AD1=(-1,0,1),设平面ACD1的法向量为n=(a,b,c),则n•AC=0,n•AD1=0,
即-a+2b=0,-a+c=0,得a=2b,a=c,从而n=(2,1,2),所以点E到平面AD1C的距离为h=|D1E•n||n|=2+1-23=13.
(3) 设平面D1EC的法向量n=(a,b,c),
∴CE=(1,x-2,0),D1C=(0,2,-1),DD1=(0,0,1),
由n•D1C=0,
n•CE=0,2b-c=0,a+b(x-2)=0.
令b=1,∴c=2,a=2-x,∴n=(2-x,1,2).
依题意cosπ4=|n•DD1||n|•|DD1|=222(x-2)2+5=22.
∴x1=2+3(不合题意,舍去),x2=2-3.
∴AE=2-3时,二面角D1ECD的大小为π4.
总结:1. 设直线l1,l2的方向向量分别是a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则:
l1⊥l2a⊥ba•b=0x1x2+y1y2+z1z2=0;
2. 点面距离
如图,点Aα,作AC⊥平面α,C为垂足,设B为平面α内的任意一点,n⊥α,即平面α的法向量为n,则同理有:∵AB•n=AC•n,∴|AB•n|=|AC|•|n|,
∴|AC|=|AB•n||n|,故点A到平面α的距离为:d=|AB•n||n|.
其中n为平面α的法向量,B为平面α内任意一点;
3. 二面角的求法
设二面角αlβ的两个半平面α,β的法向量分别是n1,n2,二面角αlβ的大小为θ,
则:cos(π-θ)=n1•n2|n1|•|n2|。
点拨 1. 空间线线平行:
l1∥l2a∥bx1x2=y1y2=z1z2(x2≠0,y2≠0,z2≠0);
2. 空间线面平行与垂直
设a1,a2,a3分别为l1,l2,l3的方向向量,若l1α,l2α,l1∥l2,那么l1∥α,它的向量表示为:
若a1=λa2,则l1∥α(或a1⊥na1•n=0);
设直线l1α,l2α,l3α,l2∩l3=A,则有:a1⊥a2a1⊥a3l1⊥α,即:a1•a2=0a1•a3=0l1⊥α或l1∥n;
3. 求空间角的向量方法
(1) 两条异面直线所成角:
设l1与l2为异面直线,a1与a2分别为l1与l2的方向向量,设l1与l2所成的角为θ,则有:
cosθ=|cos〈a1,a2〉|=a1•a2|a1|•|a2|;
(2) 直线和平面所成角:
设a为直线l的方向向量,n为平面α的法向量,θ为l与平面α所成的角,则有:
cos(90°-θ)=|cos〈a,n〉|=a•n|a|•|n|,
即sinθ=a•n|a|•|n|;
4. 求空间距离的向量方法
(1) 两点间的距离
若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则有|AB|=AB2=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2,或dA,B=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2;
(2) 异面直线间的距离
如图,若CD是异面直线a和b的公垂线,A,B分别为a,b上的任意两点.
若n⊥a,n⊥b,则n∥CD,n•AC=0,n•BD=0.由于AB=AC+CD+DB,∴AB•n=(AC+CD+DB)•n=AC•n+CD•n+DB•n.
∴AB•n=CD•n,∴|AB•n
|=|CD|•|n|,∴|CD|=|AB•n|
|n|,
故两异面直线a和b间的距离为:d=|AB•n||n
|;
(3) 直线到平面的距离
直线到平面的距离d=|AB•n||n|,其中n为平面α的法向量,A,B分别为直线和平面内的任意两点;
(4) 两平行平面间的距离
如图,两平行平面间的距离为d=|AB•n||n|,其中n为平面的法向量,A,B分别为两平面内的任意两点。
牛刀小试
1. 已知直线l的参数方程:x=t,y=1+2t(t为参数)和圆C的极坐标方程:ρ=22sinθ+π4.
(1) 将直线l的参数方程转化为普通方程,圆C的极坐标方程转化为直角坐标方程;
(2) 判断直线l和圆C的位置关系.
2. 如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4.
(1) 求证:AC⊥BC1;
(2) 在AB上是否存在点D,使得AC1⊥CD?
(3) 在AB上是否存在点D,使得AC1∥平面CDB1?
【参考答案】
1. (1) 消去参数t,得直线l的普通方程为
y=2x+1;
ρ=22sinθ+π4,即ρ=2(sinθ+cosθ),
两边同乘以ρ,得ρ2=2(ρsinθ+ρcosθ),
消去参数,得⊙C的直角坐标方程为:
(x-1)2+(y-1)2=2.
(2) 圆心C到直线l的距离d=|2-1+1|22+12=255<2,所以直线l和⊙C相交.
2. 直三棱柱ABCA1B1C1,AC=3,BC=4,AB=5,AC,BC,CC1两两垂直,以C为坐标原点,直线CA,CB,CC1分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则C1(0,0,4),A(3,0,0),C(0,0,0),B(0,4,0),B1(0,4,4).
(1) ∵AC=(-3,0,0),BC1=(0,-4,4),
∴AC•BC1=0,∴AC⊥BC1,∴AC⊥BC1.
(2) 假设在AB上存在点D,使得AC1⊥CD,则AD=λAB=(-3λ,4λ,0).
其中0≤λ≤1,则D(3-3λ,4λ,0),于是CD=(3-3λ,4λ,0),由于AC1=(-3,0,4),且AC1⊥CD,所以-9+9λ=0得λ=1,所以在AB上存在点D使得AC1⊥CD,且这时点D与点B重合.
(3) 假设在AB上存在点D使得AC1∥平面CDB1,则AD=λAB=(-3λ,4λ,0),其中0≤λ≤1,则D(3-3λ,4λ,0),B1D=(3-3λ,4λ-4,-4),B1C=(0,-4,-4).
由于AC1=(-3,0,4),AC1∥平面CDB1,所以存在实数m,n,使AC1=mB1D+nB1C成立,∴m(3-3λ)=-3,m(4λ-4)-4n=0,-4m-4n=4,所以λ=12,所以在AB上存在点D使得AC1∥平面CDB1,且D是AB的中点.
(作者:史建军,江苏省丹阳高级中学)
【例1】 在极坐标系中,圆C的方程为ρ=42cosθ-π4,以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为x=t+1,y=t-1,(t为参数),求直线l被⊙C截得的弦AB的长度.
分析 关于极坐标与参数方程问题,一般方法是将它们转化为直角坐标系下的普通方程再求解。
解 ⊙C的方程化为ρ=4cosθ+4sinθ,两边同乘以ρ,得ρ2=4ρcosθ+4ρsinθ.
由ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,得x2+y2-4x-4y=0,
其圆心C坐标为(2,2),半径r=22,
又直线l的普通方程为x-y-2=0,
∴圆心C到直线l的距离d=22=2,
∴弦长AB=28-2=26.
总结:1. 极坐标或参数方程的问题的求解,最基本的方法是将极坐标(方程)、参数方程转化为直角坐标(方程)、普通方程进行求解。
2. 要熟练掌握参数方程与普通方程之间的互化。将参数方程转化为普通方程最主要的手段是消元,消元的常见方法有:(1) 代入消元法;(2) 加减消元法;(3) 利用代数恒等式或三角恒等式。消元后要注意字母的取值范围是否发生变化。
3. 极坐标与直角坐标的互化:x=ρcosθ,
y=ρsinθ或
ρ2=x2+y2,tanθ=yx.
点拨 理解记忆几个简单图形的极坐标方程以及直线、圆及椭圆的参数方程,并会简单应用圆、椭圆的参数方程解题。
1. 直线的参数方程:过定点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程都可以写成为:
x=x0+tcosα,x=y0+tsinα(t为参数),其中t表示动点M在l上以M0为起点的位移。
2. 曲线的参数方程:
(1) x2+y2=r2的参数方程为:x=rcosθ,y=rsinθ;
(2) (x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程为:
x=a+rcosθ,y=b+rsinθ;
(3) x2a2+y2b2=1(a>b>0)的参数方程为:
x=acosθ,y=bsinθ;
(4) 抛物线y2=2px(p>0)的参数方程(以yx=t为参数)为x=2pt2,y=2pt。
3. 常见的直线和圆的极坐标方程:
θ=α表示过极点的直线;
ρcosθ=a表示过(a,0)且垂直于极轴的直线;
ρsinθ=b表示过b,π2且平行于极轴的直线;
ρ=r表示圆心在极点,半径为|r|的圆;
ρ=2rcosθ表示圆心在(r,0),半径为|r|的圆;
ρ=2rsinθ表示圆心在r,π2,半径为|r|的圆。
【例2】 如图,在长方体ABCDA1B1C1D1,中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动.
(1) 证明:D1E⊥A1D;
(2) 当E为AB的中点时,求点E到面ACD1的距离;
(3) AE为何值时,二面角D1ECD的大小为π4.
分析 ABCDA1B1C1D1是长方体,这为建立空间直角坐标系创造了有利条件。
解 以D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,设AE=x,则A1(1,0,1),D1(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0),C(0,2,0).
(1) 因为DA1•D1E=(1,0,1)•(1,x,-1)=0,
所以DA1⊥D1E.
(2) 因为E为AB的中点,则E(1,1,0),从而D1E=(1,1,-1),AC=(-1,2,0),AD1=(-1,0,1),设平面ACD1的法向量为n=(a,b,c),则n•AC=0,n•AD1=0,
即-a+2b=0,-a+c=0,得a=2b,a=c,从而n=(2,1,2),所以点E到平面AD1C的距离为h=|D1E•n||n|=2+1-23=13.
(3) 设平面D1EC的法向量n=(a,b,c),
∴CE=(1,x-2,0),D1C=(0,2,-1),DD1=(0,0,1),
由n•D1C=0,
n•CE=0,2b-c=0,a+b(x-2)=0.
令b=1,∴c=2,a=2-x,∴n=(2-x,1,2).
依题意cosπ4=|n•DD1||n|•|DD1|=222(x-2)2+5=22.
∴x1=2+3(不合题意,舍去),x2=2-3.
∴AE=2-3时,二面角D1ECD的大小为π4.
总结:1. 设直线l1,l2的方向向量分别是a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则:
l1⊥l2a⊥ba•b=0x1x2+y1y2+z1z2=0;
2. 点面距离
如图,点Aα,作AC⊥平面α,C为垂足,设B为平面α内的任意一点,n⊥α,即平面α的法向量为n,则同理有:∵AB•n=AC•n,∴|AB•n|=|AC|•|n|,
∴|AC|=|AB•n||n|,故点A到平面α的距离为:d=|AB•n||n|.
其中n为平面α的法向量,B为平面α内任意一点;
3. 二面角的求法
设二面角αlβ的两个半平面α,β的法向量分别是n1,n2,二面角αlβ的大小为θ,
则:cos(π-θ)=n1•n2|n1|•|n2|。
点拨 1. 空间线线平行:
l1∥l2a∥bx1x2=y1y2=z1z2(x2≠0,y2≠0,z2≠0);
2. 空间线面平行与垂直
设a1,a2,a3分别为l1,l2,l3的方向向量,若l1α,l2α,l1∥l2,那么l1∥α,它的向量表示为:
若a1=λa2,则l1∥α(或a1⊥na1•n=0);
设直线l1α,l2α,l3α,l2∩l3=A,则有:a1⊥a2a1⊥a3l1⊥α,即:a1•a2=0a1•a3=0l1⊥α或l1∥n;
3. 求空间角的向量方法
(1) 两条异面直线所成角:
设l1与l2为异面直线,a1与a2分别为l1与l2的方向向量,设l1与l2所成的角为θ,则有:
cosθ=|cos〈a1,a2〉|=a1•a2|a1|•|a2|;
(2) 直线和平面所成角:
设a为直线l的方向向量,n为平面α的法向量,θ为l与平面α所成的角,则有:
cos(90°-θ)=|cos〈a,n〉|=a•n|a|•|n|,
即sinθ=a•n|a|•|n|;
4. 求空间距离的向量方法
(1) 两点间的距离
若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则有|AB|=AB2=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2,或dA,B=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2;
(2) 异面直线间的距离
如图,若CD是异面直线a和b的公垂线,A,B分别为a,b上的任意两点.
若n⊥a,n⊥b,则n∥CD,n•AC=0,n•BD=0.由于AB=AC+CD+DB,∴AB•n=(AC+CD+DB)•n=AC•n+CD•n+DB•n.
∴AB•n=CD•n,∴|AB•n
|=|CD|•|n|,∴|CD|=|AB•n|
|n|,
故两异面直线a和b间的距离为:d=|AB•n||n
|;
(3) 直线到平面的距离
直线到平面的距离d=|AB•n||n|,其中n为平面α的法向量,A,B分别为直线和平面内的任意两点;
(4) 两平行平面间的距离
如图,两平行平面间的距离为d=|AB•n||n|,其中n为平面的法向量,A,B分别为两平面内的任意两点。
牛刀小试
1. 已知直线l的参数方程:x=t,y=1+2t(t为参数)和圆C的极坐标方程:ρ=22sinθ+π4.
(1) 将直线l的参数方程转化为普通方程,圆C的极坐标方程转化为直角坐标方程;
(2) 判断直线l和圆C的位置关系.
2. 如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4.
(1) 求证:AC⊥BC1;
(2) 在AB上是否存在点D,使得AC1⊥CD?
(3) 在AB上是否存在点D,使得AC1∥平面CDB1?
【参考答案】
1. (1) 消去参数t,得直线l的普通方程为
y=2x+1;
ρ=22sinθ+π4,即ρ=2(sinθ+cosθ),
两边同乘以ρ,得ρ2=2(ρsinθ+ρcosθ),
消去参数,得⊙C的直角坐标方程为:
(x-1)2+(y-1)2=2.
(2) 圆心C到直线l的距离d=|2-1+1|22+12=255<2,所以直线l和⊙C相交.
2. 直三棱柱ABCA1B1C1,AC=3,BC=4,AB=5,AC,BC,CC1两两垂直,以C为坐标原点,直线CA,CB,CC1分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则C1(0,0,4),A(3,0,0),C(0,0,0),B(0,4,0),B1(0,4,4).
(1) ∵AC=(-3,0,0),BC1=(0,-4,4),
∴AC•BC1=0,∴AC⊥BC1,∴AC⊥BC1.
(2) 假设在AB上存在点D,使得AC1⊥CD,则AD=λAB=(-3λ,4λ,0).
其中0≤λ≤1,则D(3-3λ,4λ,0),于是CD=(3-3λ,4λ,0),由于AC1=(-3,0,4),且AC1⊥CD,所以-9+9λ=0得λ=1,所以在AB上存在点D使得AC1⊥CD,且这时点D与点B重合.
(3) 假设在AB上存在点D使得AC1∥平面CDB1,则AD=λAB=(-3λ,4λ,0),其中0≤λ≤1,则D(3-3λ,4λ,0),B1D=(3-3λ,4λ-4,-4),B1C=(0,-4,-4).
由于AC1=(-3,0,4),AC1∥平面CDB1,所以存在实数m,n,使AC1=mB1D+nB1C成立,∴m(3-3λ)=-3,m(4λ-4)-4n=0,-4m-4n=4,所以λ=12,所以在AB上存在点D使得AC1∥平面CDB1,且D是AB的中点.
(作者:史建军,江苏省丹阳高级中学)