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指数函数是高中数学的重点内容之一,从教学要求看,一是理解指数函数的定义;二是掌握指数函数的图像与性质。下面是笔者在公开教学中对指数函数教学设计的三处改进。
案例一:新课引入的改进
(一)原始设计
1.复习旧知:
函数y=x的定义域
2.引入新课:师问:函数y=()与函数y=x,从形式上看有什么不同?生答:从形式上看,前者指数是自变量,后者底数是自变量。(引入课题)
(二)改进设计
1.创设情境:有人说,将一张白纸对折50次以后,其厚度超过地球到月球的距离,你认为可能吗?设白纸每张厚度为0.01mm,已知地球到月球的距离约为380000千米。
对折的层数y与对折次数x的函数关系式是什么?设纸的原面积为1,对折后纸的面积z与对折次数x又有什么关系?(y=2x,z=()x)
2.提出问题:师问:能发现y=2x,z=()x的共同点吗?
学生思考片刻,教师提示:从形式上,有什么共同点?并用红粉笔标出指数x。
生答:指数x是自变量,底数是大于0且不等于1的常数。(引入课题)
(三)教学反思
凯洛夫的“五环节”教学理论:“复习旧课—导入新课—讲授新课—巩固—作业” 目前还深深地影响着我们的教学。但如果总是这样一成不变,就显得呆板与程式化。我们现在上课总喜欢说:“今天我们学习……”。教师不说,学生不问,教师怎么讲,学生就怎么学。我们知道,数学来源于生活,又应用于实践。在原始设计中,先复习与新授知识相关的内容,然后再从实际引入新课,与教材编排相一致,这样就数学讲数学,显得枯燥无味,很难调动学生的学习兴趣。为此,从学生感兴趣的一个生活实例出发,引起学生注意与争议,教师再创设实际问题情境,就激发了学生的学习兴趣,牢牢地吸引了学生的注意力,增强了学生的求知欲望,强化了学生内在的学习需求,巧妙地导入了新课。
案例二:多媒体使用的改进
(一)原始设计
1.电脑作图:教师用多媒体演示y=2x、y=()x的作图过程。
2.观察猜想:教师引导学生观察y=2x、y=()x的图像,猜想y=3x的图像形状。
3.电脑验证:教师用几何画板做出y=3x的图像,验证猜想。
4.归纳猜想:由特殊到一般,给出指数函数的图像分为01两类,并用多媒体演示它们的图像特征和性质。
(二)改进设计
1.学生作图:在教师的指导下学生分组后用几何画板作y=2x、y=()x的图像。然后,让学生在电脑上作y=3x,y=5x y=10x,y=0.2x,y=0.7x等函数的图像,并对图像形状的变化加以观察与讨论。
2.猜想形状:让学生猜想函数y=8x,y=0.3x的图像形状,师生讨论,并列出有关观察结论。
3.分组探究1:一般地指数函数的图像大致有几类(几种走势)?
4.分组探究2:分别满足什么条件的指数函数图像大致是图1、图2?
5.电脑验证:用几何画板作y=ax(a>0且a≠1)图像,任意改变a的值,展示底变化对图像的影响。
(三)教学反思
原始设计,多媒体演示放在猜想之后,仅仅起了一个验证的作用,体现不了计算机辅助教学的目的,有点画蛇添足,成了一种花架子。
改进之后,按照“动手操作—创设情境—观察猜想—验证证明”的思路设计,首先电脑作图,为学生观察、交流创设情境;然后,引导学生深入细致地观察图像,学生在相互争论、研讨的过程中进行民主交流,倾听他人意见,分享研究成果,猜想出图像分两种情形;最后,再用多媒体验证猜想。这样设计符合学生的认知规律和思维习惯,激发了学生的求知欲,增强了学习的自信心,张扬了学生的个性,顺利地解决了这一教学难点。
我们在使用计算机辅助教学时,千万不要忘记“辅助”二字,辅助在不用多媒体教学时的难点处,辅助在点子上,而不能为了用多媒体而用多媒体。
案例三:指数函数的性质发现过程的改进
(一)原始设计
1.师生作图:教师作y=2x的图像,以作示范。然后学生模仿作y=()x的图像,以巩固作图方法。
2.电脑演示:教师用多媒体演示y=2x、y=()x的作图过程。
3.观察特征:教师引导学生观察上述两个图像的特征,并推广到一般情形。
4.归纳性质:根据图像特征,写出它们的性质。
(二)改进设计
在前面学生分组用多媒体做出y=2x,y=()x,y=3x,y=5x,y=10x,y=0.2x,y=0.7x等函数图像的基础上,教师引导学生观察、讨论、归纳得出性质。
1.自主观察:对一般的指数函数,图像有哪些特征?
2.分组讨论:学生分组讨论后,展示讨论的结果。除得到图像的一般特征,更值得一提的是,有的学生还说出了函数y=2x与y=()x的图像关于y轴对称等特征。
3.归纳性质:根据图像特征,写出它们的性质。
4.作示意图:根据指数函数的性质,教师让学生作出y=8x,y=0.6x等函数图像的示意图。
师:观察与猜想是一种感性认识,并不表示结论一定正确,还需要进行理性证明……
(三)教学反思
新课程标准指出:要改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现象,倡导主动学习、乐于探究,勤于动手,培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析解决问题的能力及交流合作的能力。因此,教师要把学习过程中的发现、探究、研究等认知活动突显出来,使学习过程更多地成为学生发现问题、研究问题及解决问题的过程。
上述两种设计都注重让学生从事有意义的数学活动,都涉及了学生的探索活动和经常使用的研究方法,如从特
殊到一般,再由一般到特殊,类比、联想、猜想等。
原始设计在实际教学中,活动缺乏内在联系,加上教师的束缚,活动单一,学生得出图像分两类显得較为生硬,接着研究的一般情形又似乎来得“突然”,从特例到一般情形并未起到搭桥引渡的作用,形成了一个认知难点。这样的设计没有真正发挥学生的主体作用,实际上还是教师主导着课堂,牵着学生走,还是在教知识、教教材,是一种主导性教学模式。
改进后,改变了教学方法,教师放弃了全程主导,把学习的主动权交给了学生,由他们自己去观察、去发现,在学生交流、研讨、互动的过程中,学生观察深入,思维活跃,富有创造性。教师则以学生伙伴的角色参与学生的认知学习,在与学生的互动交流中指导学生,并积极地关注、倾听学生的交流。这样设计符合学生的认知规律和思维习惯,为学生营造了安全的心理环境,学生非常顺利地学习了指数函数的性质,而且学生觉得这些思想方法是非常自然的,可以学到手且以后能用得上,为今后的学习作了必要的铺垫,这是一种典型的指导性教学模式。
案例一:新课引入的改进
(一)原始设计
1.复习旧知:
函数y=x的定义域
2.引入新课:师问:函数y=()与函数y=x,从形式上看有什么不同?生答:从形式上看,前者指数是自变量,后者底数是自变量。(引入课题)
(二)改进设计
1.创设情境:有人说,将一张白纸对折50次以后,其厚度超过地球到月球的距离,你认为可能吗?设白纸每张厚度为0.01mm,已知地球到月球的距离约为380000千米。
对折的层数y与对折次数x的函数关系式是什么?设纸的原面积为1,对折后纸的面积z与对折次数x又有什么关系?(y=2x,z=()x)
2.提出问题:师问:能发现y=2x,z=()x的共同点吗?
学生思考片刻,教师提示:从形式上,有什么共同点?并用红粉笔标出指数x。
生答:指数x是自变量,底数是大于0且不等于1的常数。(引入课题)
(三)教学反思
凯洛夫的“五环节”教学理论:“复习旧课—导入新课—讲授新课—巩固—作业” 目前还深深地影响着我们的教学。但如果总是这样一成不变,就显得呆板与程式化。我们现在上课总喜欢说:“今天我们学习……”。教师不说,学生不问,教师怎么讲,学生就怎么学。我们知道,数学来源于生活,又应用于实践。在原始设计中,先复习与新授知识相关的内容,然后再从实际引入新课,与教材编排相一致,这样就数学讲数学,显得枯燥无味,很难调动学生的学习兴趣。为此,从学生感兴趣的一个生活实例出发,引起学生注意与争议,教师再创设实际问题情境,就激发了学生的学习兴趣,牢牢地吸引了学生的注意力,增强了学生的求知欲望,强化了学生内在的学习需求,巧妙地导入了新课。
案例二:多媒体使用的改进
(一)原始设计
1.电脑作图:教师用多媒体演示y=2x、y=()x的作图过程。
2.观察猜想:教师引导学生观察y=2x、y=()x的图像,猜想y=3x的图像形状。
3.电脑验证:教师用几何画板做出y=3x的图像,验证猜想。
4.归纳猜想:由特殊到一般,给出指数函数的图像分为01两类,并用多媒体演示它们的图像特征和性质。
(二)改进设计
1.学生作图:在教师的指导下学生分组后用几何画板作y=2x、y=()x的图像。然后,让学生在电脑上作y=3x,y=5x y=10x,y=0.2x,y=0.7x等函数的图像,并对图像形状的变化加以观察与讨论。
2.猜想形状:让学生猜想函数y=8x,y=0.3x的图像形状,师生讨论,并列出有关观察结论。
3.分组探究1:一般地指数函数的图像大致有几类(几种走势)?
4.分组探究2:分别满足什么条件的指数函数图像大致是图1、图2?
5.电脑验证:用几何画板作y=ax(a>0且a≠1)图像,任意改变a的值,展示底变化对图像的影响。
(三)教学反思
原始设计,多媒体演示放在猜想之后,仅仅起了一个验证的作用,体现不了计算机辅助教学的目的,有点画蛇添足,成了一种花架子。
改进之后,按照“动手操作—创设情境—观察猜想—验证证明”的思路设计,首先电脑作图,为学生观察、交流创设情境;然后,引导学生深入细致地观察图像,学生在相互争论、研讨的过程中进行民主交流,倾听他人意见,分享研究成果,猜想出图像分两种情形;最后,再用多媒体验证猜想。这样设计符合学生的认知规律和思维习惯,激发了学生的求知欲,增强了学习的自信心,张扬了学生的个性,顺利地解决了这一教学难点。
我们在使用计算机辅助教学时,千万不要忘记“辅助”二字,辅助在不用多媒体教学时的难点处,辅助在点子上,而不能为了用多媒体而用多媒体。
案例三:指数函数的性质发现过程的改进
(一)原始设计
1.师生作图:教师作y=2x的图像,以作示范。然后学生模仿作y=()x的图像,以巩固作图方法。
2.电脑演示:教师用多媒体演示y=2x、y=()x的作图过程。
3.观察特征:教师引导学生观察上述两个图像的特征,并推广到一般情形。
4.归纳性质:根据图像特征,写出它们的性质。
(二)改进设计
在前面学生分组用多媒体做出y=2x,y=()x,y=3x,y=5x,y=10x,y=0.2x,y=0.7x等函数图像的基础上,教师引导学生观察、讨论、归纳得出性质。
1.自主观察:对一般的指数函数,图像有哪些特征?
2.分组讨论:学生分组讨论后,展示讨论的结果。除得到图像的一般特征,更值得一提的是,有的学生还说出了函数y=2x与y=()x的图像关于y轴对称等特征。
3.归纳性质:根据图像特征,写出它们的性质。
4.作示意图:根据指数函数的性质,教师让学生作出y=8x,y=0.6x等函数图像的示意图。
师:观察与猜想是一种感性认识,并不表示结论一定正确,还需要进行理性证明……
(三)教学反思
新课程标准指出:要改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现象,倡导主动学习、乐于探究,勤于动手,培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析解决问题的能力及交流合作的能力。因此,教师要把学习过程中的发现、探究、研究等认知活动突显出来,使学习过程更多地成为学生发现问题、研究问题及解决问题的过程。
上述两种设计都注重让学生从事有意义的数学活动,都涉及了学生的探索活动和经常使用的研究方法,如从特
殊到一般,再由一般到特殊,类比、联想、猜想等。
原始设计在实际教学中,活动缺乏内在联系,加上教师的束缚,活动单一,学生得出图像分两类显得較为生硬,接着研究的一般情形又似乎来得“突然”,从特例到一般情形并未起到搭桥引渡的作用,形成了一个认知难点。这样的设计没有真正发挥学生的主体作用,实际上还是教师主导着课堂,牵着学生走,还是在教知识、教教材,是一种主导性教学模式。
改进后,改变了教学方法,教师放弃了全程主导,把学习的主动权交给了学生,由他们自己去观察、去发现,在学生交流、研讨、互动的过程中,学生观察深入,思维活跃,富有创造性。教师则以学生伙伴的角色参与学生的认知学习,在与学生的互动交流中指导学生,并积极地关注、倾听学生的交流。这样设计符合学生的认知规律和思维习惯,为学生营造了安全的心理环境,学生非常顺利地学习了指数函数的性质,而且学生觉得这些思想方法是非常自然的,可以学到手且以后能用得上,为今后的学习作了必要的铺垫,这是一种典型的指导性教学模式。