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【摘 要】本文分析了点的投影规律和点投影规律的45°辅助线的功用、作法及应用，并指出了利用45°辅助线法是解决应用“宽相等”规律作截交线、相贯线等投影作图这一难点的有效途径之一。
【关键词】机械制图 45°辅助线 宽相等
【中图分类号】TB23 【文献标识码】A 【文章编号】1006-9682（2012）09-0199-02
机械制图技术是一门研究绘制、阅读机械图样和圖解空间几何问题的重要技术，是机类和近机类工程技术人员必备的一门重要技术。如何掌握和利用好机械图样的作图规律，已成为不少工程技术人员共同探讨的课题。
机械制图技术的学习特点是实践性较强，其主要内容必须通过画图和读图的实践才能掌握。画图和读图时，要不断地根据投影规律由物体画图，由图想象出物体，掌握图与物体之间的关系及规律，逐步提高空间想象能力。其次要结合所学理论掌握正确的作图方法与步骤，遵守国家标准《机械制图》的有关规定，养成良好的作图习惯、耐心细致的工作作风和严肃认真的工作态度。
在绘制机械图样时，有部分工程技术人员绘图方法不正确，仅注意空间想象，而忽视投影规律的应用，每解一个具体问题，均企图凭借空间想象能力、模型比拟空间情况来直接获取图样。这种忽视应用投影规律的作图方法，无疑会给图样的绘制带来困难，必然造成不能很好地绘制机械图样，特别是当需要作出较为复杂的机械图样时，不知从何下手而出现畏难情绪，并最终影响到空间想象能力的提高。事实证明，好的图样有利于空间想象，而空间想象力的提高有助于画出精确的图样，两者是相辅相成的。在绘图的过程中，应用已掌握的投影规律进行作图，再据所作的图样检查自己的空间想象是否正确，反复进行研究及比较，才是绘制图样及识图的最有效的方法。为进一步达成此共识，本文以点的投影规律中45°辅助线法的应用为例，特作一些分析和探讨。
一、点的投影规律
三投影面体系中点的投影规律，见图1～图3所示。[1]
第一，点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZ轴，即a′与a″高度方向平齐。
第二，点的正面投影与水平投影连线垂直于OX轴，即a′与a水平方向对正。
第三，点的水平投影到轴的距离（aax）和侧面投影到轴的距离（a″az）均等于点到面的距离，都反映y坐标，故aax=a″az=y（宽相等）。
由上述可以看出，点三个投影之间的投影规律与三视图之间的“长对正、高平齐、宽相等”三等规律是一致的。
根据第三条规律还可以得出：过a的水平线和过a″的铅垂线必定交于过原点O的45°。斜线上，如图3所示。
三视图的三等规律是必须熟练掌握的重要规律。实践表明，很多技术人员接受三等规律的知识并不困难，但在独立运用三等规律知识解决绘图问题时，有部分技术人员却感觉到力不从心。究其原因，根据“宽相等”规律作图时，不但要找到量取尺寸的起点，而且要找出量取尺寸的方向，对于制图理论尚浅的工程技术人员而言，确实是掌握和理解的一大难点。如何解决“宽相等”规律应用难这一问题？笔者认为，应用45°辅助线法作图是解决这一难点的有效途径之一。
二、45°辅助线的功用及作法
第一，45°辅助线的功用。45°辅助线有三个功用：已知一点的正面投影与侧面投影，可求其水平投影；已知一点的正面投影与水平投影，可求其侧面投影；顺利实现应用“宽相等”规律作图。
第二，45°辅助线的作法：对于有轴投影图，过原点O作45°斜线即可，如图3所示。对于无轴投影图，先确定某点（如图4～图5）三棱锥顶点S的水平投影（s）与侧面投影（s″），并过该点的水平投影与侧面投影分别引水平线和铅垂线，再过这两条线的交点Ⅰ作45°斜线即可，如图5所示。
三、45°辅助线法扩展应用的实例
第一，45°辅助线法在基本体形体作图及形体上平面的投影分析中的应用。[2]
图1 图2
图3 图4
图5 图6
实例：图4～图5中，已知三棱锥的主、俯视图，求作左视图并分析△SAC平面的空间位置。
作图要点分析：经三棱锥的顶点S的正面投影s′作水平线并在适当的作图位置确定侧面投影s″，过侧面投影s″作铅垂线，再过水平投影s作水平线，过此两线的交点作45°线；利用45°线作
出a″、b″、c″，检查加深即完成左视图；将△SAC平面分离以后的投影如图6所示，可知△SAC平面为侧垂面。
第二，45°辅助线法在截交线作图中的应用。
图7 图8
实例：如图7、图8所示，求作正垂面斜截圆柱的截交线。[3]
作图要点分析：因圆柱被正垂面斜切，故截交线是椭圆；在俯视图上取特殊位置点的投影1、2、3、4，同时作出相应的正面投影1′、2′、3′、4′；再在俯视图上取一般位置点的投影a、b、c、d，同时作出相应的正面投影a′、b′、c′、d′；因圆柱轴线上每一点的俯视投影在圆心，圆柱轴线的侧面投影为左视图的中心线，过圆心作水平线与左视图的中心线延长线相交，再过交点作45°线，利用45°线即可作出特殊点和一般位置点的侧面投影1″、2″、3″、4″、a″、b″、c″、d″，将这些点光滑连接即完成作图（图中y示意利用45°线可顺利实现宽相等）。
四、感想与体会
点的投影规律是机械制图课程中最基础的理论，其45°辅助线法可广泛应用于点、线、面、基本体、截交线、相贯线等投影作图中，45°辅助线法的应用具有通用性、连续性和扩展性。
点的投影规律与三视图的“三等规律”有着本质的、紧密的内在联系。综合应用三视图的“三等规律”及点投影规律的45°辅助线法进行绘图，可充分理解和掌握两种投影规律的作图特点，将两种投影规律融会贯通，这是解决应用“宽相等”规律作截交线、相贯线等投影作图难这一难点的有效途径之一。
参考文献
1 唐克中.画法几何及工程制图[M].北京：高等教育出版社，1983
2 毛之颖.机械制图[M].北京：高等教育出版社，2001
3 郑文灏、邢邦圣.机械制图[M].北京：高等教育出版社，2000
【关键词】机械制图 45°辅助线 宽相等
【中图分类号】TB23 【文献标识码】A 【文章编号】1006-9682（2012）09-0199-02
机械制图技术是一门研究绘制、阅读机械图样和圖解空间几何问题的重要技术，是机类和近机类工程技术人员必备的一门重要技术。如何掌握和利用好机械图样的作图规律，已成为不少工程技术人员共同探讨的课题。
机械制图技术的学习特点是实践性较强，其主要内容必须通过画图和读图的实践才能掌握。画图和读图时，要不断地根据投影规律由物体画图，由图想象出物体，掌握图与物体之间的关系及规律，逐步提高空间想象能力。其次要结合所学理论掌握正确的作图方法与步骤，遵守国家标准《机械制图》的有关规定，养成良好的作图习惯、耐心细致的工作作风和严肃认真的工作态度。
在绘制机械图样时，有部分工程技术人员绘图方法不正确，仅注意空间想象，而忽视投影规律的应用，每解一个具体问题，均企图凭借空间想象能力、模型比拟空间情况来直接获取图样。这种忽视应用投影规律的作图方法，无疑会给图样的绘制带来困难，必然造成不能很好地绘制机械图样，特别是当需要作出较为复杂的机械图样时，不知从何下手而出现畏难情绪，并最终影响到空间想象能力的提高。事实证明，好的图样有利于空间想象，而空间想象力的提高有助于画出精确的图样，两者是相辅相成的。在绘图的过程中，应用已掌握的投影规律进行作图，再据所作的图样检查自己的空间想象是否正确，反复进行研究及比较，才是绘制图样及识图的最有效的方法。为进一步达成此共识，本文以点的投影规律中45°辅助线法的应用为例，特作一些分析和探讨。
一、点的投影规律
三投影面体系中点的投影规律，见图1～图3所示。[1]
第一，点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZ轴，即a′与a″高度方向平齐。
第二，点的正面投影与水平投影连线垂直于OX轴，即a′与a水平方向对正。
第三，点的水平投影到轴的距离（aax）和侧面投影到轴的距离（a″az）均等于点到面的距离，都反映y坐标，故aax=a″az=y（宽相等）。
由上述可以看出，点三个投影之间的投影规律与三视图之间的“长对正、高平齐、宽相等”三等规律是一致的。
根据第三条规律还可以得出：过a的水平线和过a″的铅垂线必定交于过原点O的45°。斜线上，如图3所示。
三视图的三等规律是必须熟练掌握的重要规律。实践表明，很多技术人员接受三等规律的知识并不困难，但在独立运用三等规律知识解决绘图问题时，有部分技术人员却感觉到力不从心。究其原因，根据“宽相等”规律作图时，不但要找到量取尺寸的起点，而且要找出量取尺寸的方向，对于制图理论尚浅的工程技术人员而言，确实是掌握和理解的一大难点。如何解决“宽相等”规律应用难这一问题？笔者认为，应用45°辅助线法作图是解决这一难点的有效途径之一。
二、45°辅助线的功用及作法
第一，45°辅助线的功用。45°辅助线有三个功用：已知一点的正面投影与侧面投影，可求其水平投影；已知一点的正面投影与水平投影，可求其侧面投影；顺利实现应用“宽相等”规律作图。
第二，45°辅助线的作法：对于有轴投影图，过原点O作45°斜线即可，如图3所示。对于无轴投影图，先确定某点（如图4～图5）三棱锥顶点S的水平投影（s）与侧面投影（s″），并过该点的水平投影与侧面投影分别引水平线和铅垂线，再过这两条线的交点Ⅰ作45°斜线即可，如图5所示。
三、45°辅助线法扩展应用的实例
第一，45°辅助线法在基本体形体作图及形体上平面的投影分析中的应用。[2]
图1 图2
图3 图4
图5 图6
实例：图4～图5中，已知三棱锥的主、俯视图，求作左视图并分析△SAC平面的空间位置。
作图要点分析：经三棱锥的顶点S的正面投影s′作水平线并在适当的作图位置确定侧面投影s″，过侧面投影s″作铅垂线，再过水平投影s作水平线，过此两线的交点作45°线；利用45°线作
出a″、b″、c″，检查加深即完成左视图；将△SAC平面分离以后的投影如图6所示，可知△SAC平面为侧垂面。
第二，45°辅助线法在截交线作图中的应用。
图7 图8
实例：如图7、图8所示，求作正垂面斜截圆柱的截交线。[3]
作图要点分析：因圆柱被正垂面斜切，故截交线是椭圆；在俯视图上取特殊位置点的投影1、2、3、4，同时作出相应的正面投影1′、2′、3′、4′；再在俯视图上取一般位置点的投影a、b、c、d，同时作出相应的正面投影a′、b′、c′、d′；因圆柱轴线上每一点的俯视投影在圆心，圆柱轴线的侧面投影为左视图的中心线，过圆心作水平线与左视图的中心线延长线相交，再过交点作45°线，利用45°线即可作出特殊点和一般位置点的侧面投影1″、2″、3″、4″、a″、b″、c″、d″，将这些点光滑连接即完成作图（图中y示意利用45°线可顺利实现宽相等）。
四、感想与体会
点的投影规律是机械制图课程中最基础的理论，其45°辅助线法可广泛应用于点、线、面、基本体、截交线、相贯线等投影作图中，45°辅助线法的应用具有通用性、连续性和扩展性。
点的投影规律与三视图的“三等规律”有着本质的、紧密的内在联系。综合应用三视图的“三等规律”及点投影规律的45°辅助线法进行绘图，可充分理解和掌握两种投影规律的作图特点，将两种投影规律融会贯通，这是解决应用“宽相等”规律作截交线、相贯线等投影作图难这一难点的有效途径之一。
参考文献
1 唐克中.画法几何及工程制图[M].北京：高等教育出版社，1983
2 毛之颖.机械制图[M].北京：高等教育出版社，2001
3 郑文灏、邢邦圣.机械制图[M].北京：高等教育出版社，2000