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数学归纳法是证明与无限多个正整数相关命题的有力工具.其本质是用有限的步骤（奠基与递推）取代难以实现的无限验证，实现从有限到无限的飞跃.高中阶段，数学归纳法主要应用在恒等式、不等式、整除性、三角及几何等方面.其中，圆锥曲线（广义）划分平面区域问题是一个难点.这类问题的关键在于将文字、符号及图形三种语言密切配合，详细论述n=k+1与n=k之间的本质联系.事实上，发现从n=k到n=k+1之间的内在联系与规律确实不易，因此我们从有限（特例）情形尝试，探究其中变化过程，或发现“递推”关系式，然后再给予严格证明.可是，即便是从有限特例出发，也需要作出与这些特例相应的图形，比如五个圆两两相交;六条抛物线两两相交，等等.本文通过具体案例，适当优化图形，破解此类困惑，提升核心素养.
一、直线划分区域
二、圆划分区域
案例2：平面上有n个圆，每两个圆相交于两点，每三个圆都不交于一点，求证它们把平面分成了fn=n2-n+2个部分（区域）.
评注：案例2源自文[1]第79页练习第6题.由于案例2已经给出了明确的结论，我们可以反推从n=k到n=k+1时增加的部分（区域），即f（k+1）-f（k）=（k+1）2-（k+1）+2-（k2-k+2）=2k.
这样我们心中就知道增加了2k个部分，于是我们可以“自圆其说”地寻找适当的理由与添加相应的论述过程.由于约定“每两个圆相交于两点，每三个圆都不交于一点”，那么第k+1个圆与前面k个圆中的每一个圆都有两个交点，也就是说，第k+1个圆的整个圆周被前面k个圆分割为2k段弧，其中每一段弧都把原来的部分一分为二，也就是说，每一段弧都相应地增加了一个部分，即增加了2k个部分（区域），故有fk+1=fk+2k.
倘若我们将案例2改为：
题2：平面上有n个圆，每两个圆相交于两点，每三个圆都不交于一点，这些圆把平面分成多少个部分（区域）？证明你的结论.
由于题2没有结论，显然题2比案例2难度大得多.这就需要我们首先寻觅结论（猜想），一般情况下都是从特殊到一般，然后猜想一般性结论，最后再用数学归纳法给予严谨证明.那我们该如何“从特殊到一般”呢？而且为了发现规律，我們总是尽可能多地列举特例（至少五六个特例）.特例越多得到的“猜想”可靠性就越大;反之，则可能出现意想不到的错误.比如“对于正整数n，f（n）=n2+n+41的值是否为质数？”正常情况下我们从n=1开始验证，发现n=1，n=2，n=3，一直验证到n=40时都是质数，一般认为验证了这么多，得到“结论”应该不会出现差错.事实上，当n=41时，f（41）=41×43居然不是质数！这再一次说明数学归纳法是一种特殊的方法，也说明数学归纳法是多么严谨，更加说明数学归纳法三个步骤缺一不可.这正是赵龙山先生特意在文[3]中指出数学归纳法名称的由来：“从n=k到n=k+1使用的是数学上的演绎推理，当然归属于‘数学’演绎证明，而演绎推理是专属于数学推理的主要特征.正是因为它具有‘归纳’的味道，也有‘演绎’的色彩，因此命名为‘数学归纳法’恰如其分，实至名归.”
我们知道图形具有直观性，当然想到画图，可是画一个圆简单，画两个相交圆也容易，画三个两两相交且不过同一点的圆也不难，画四个两两相交且不过同一点的圆呢？此时徒手就不容易！画五个两两相交且不过同一点的圆呢？此时徒手几乎难以准确操作！画六个两两相交且不过同一点的圆呢？此时徒手几乎不可能实现！读者动手试一试就知道！笔者查阅很多教辅书，也请教不少专家，都没有找到行之有效的解决办法.怎么办？圆是封闭平面图形，笔者将圆想象为矩形（矩形也是封闭平面图形），画出以下图形，一目了然，迎刃而解.
至此，通过优化图形（即将封闭的圆、椭圆看作矩形;开放的双曲线、抛物线看作开放的矩形），实现徒手作图，解决了困扰多年的疑惑，正如惠特霍斯教诲：“一般地，解题之成功，在很大的程度上依赖于选择一种最适宜的方法.”
文[4]明确指出，无论是概念教学，还是公式教学，还是原理（数学归纳法）教学，必须全面展示概念提炼、公式由来、原理应用的详细过程，充分暴露思维，让学生知其然，更知其所以然，达到精致概念、熟练公式、吃透原理.其实，提高直观想象素养并非高不可攀，而应该落到实处，只要我们用心构思、用手操作，在凸显思维过程中，巧妙借助图形直观性、形象性，培养直观想象素养，同时促进数学抽象、逻辑推理、数据分析、数学建模等素养的和谐发展.
参考文献
[1]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书 数学 选修4—5 A版[M].北京：人民教育出版社，2004.
[2]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书 数学 选修4—5 A版[M].北京：人民教育出版社，2007.
[3]赵龙山.有关数学归纳法教学中的逻辑问题[J].数学通报，1992（9）：39-45.
[4]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].人民教育出版社，2018.
一、直线划分区域
二、圆划分区域
案例2：平面上有n个圆，每两个圆相交于两点，每三个圆都不交于一点，求证它们把平面分成了fn=n2-n+2个部分（区域）.
评注：案例2源自文[1]第79页练习第6题.由于案例2已经给出了明确的结论，我们可以反推从n=k到n=k+1时增加的部分（区域），即f（k+1）-f（k）=（k+1）2-（k+1）+2-（k2-k+2）=2k.
这样我们心中就知道增加了2k个部分，于是我们可以“自圆其说”地寻找适当的理由与添加相应的论述过程.由于约定“每两个圆相交于两点，每三个圆都不交于一点”，那么第k+1个圆与前面k个圆中的每一个圆都有两个交点，也就是说，第k+1个圆的整个圆周被前面k个圆分割为2k段弧，其中每一段弧都把原来的部分一分为二，也就是说，每一段弧都相应地增加了一个部分，即增加了2k个部分（区域），故有fk+1=fk+2k.
倘若我们将案例2改为：
题2：平面上有n个圆，每两个圆相交于两点，每三个圆都不交于一点，这些圆把平面分成多少个部分（区域）？证明你的结论.
由于题2没有结论，显然题2比案例2难度大得多.这就需要我们首先寻觅结论（猜想），一般情况下都是从特殊到一般，然后猜想一般性结论，最后再用数学归纳法给予严谨证明.那我们该如何“从特殊到一般”呢？而且为了发现规律，我們总是尽可能多地列举特例（至少五六个特例）.特例越多得到的“猜想”可靠性就越大;反之，则可能出现意想不到的错误.比如“对于正整数n，f（n）=n2+n+41的值是否为质数？”正常情况下我们从n=1开始验证，发现n=1，n=2，n=3，一直验证到n=40时都是质数，一般认为验证了这么多，得到“结论”应该不会出现差错.事实上，当n=41时，f（41）=41×43居然不是质数！这再一次说明数学归纳法是一种特殊的方法，也说明数学归纳法是多么严谨，更加说明数学归纳法三个步骤缺一不可.这正是赵龙山先生特意在文[3]中指出数学归纳法名称的由来：“从n=k到n=k+1使用的是数学上的演绎推理，当然归属于‘数学’演绎证明，而演绎推理是专属于数学推理的主要特征.正是因为它具有‘归纳’的味道，也有‘演绎’的色彩，因此命名为‘数学归纳法’恰如其分，实至名归.”
我们知道图形具有直观性，当然想到画图，可是画一个圆简单，画两个相交圆也容易，画三个两两相交且不过同一点的圆也不难，画四个两两相交且不过同一点的圆呢？此时徒手就不容易！画五个两两相交且不过同一点的圆呢？此时徒手几乎难以准确操作！画六个两两相交且不过同一点的圆呢？此时徒手几乎不可能实现！读者动手试一试就知道！笔者查阅很多教辅书，也请教不少专家，都没有找到行之有效的解决办法.怎么办？圆是封闭平面图形，笔者将圆想象为矩形（矩形也是封闭平面图形），画出以下图形，一目了然，迎刃而解.
至此，通过优化图形（即将封闭的圆、椭圆看作矩形;开放的双曲线、抛物线看作开放的矩形），实现徒手作图，解决了困扰多年的疑惑，正如惠特霍斯教诲：“一般地，解题之成功，在很大的程度上依赖于选择一种最适宜的方法.”
文[4]明确指出，无论是概念教学，还是公式教学，还是原理（数学归纳法）教学，必须全面展示概念提炼、公式由来、原理应用的详细过程，充分暴露思维，让学生知其然，更知其所以然，达到精致概念、熟练公式、吃透原理.其实，提高直观想象素养并非高不可攀，而应该落到实处，只要我们用心构思、用手操作，在凸显思维过程中，巧妙借助图形直观性、形象性，培养直观想象素养，同时促进数学抽象、逻辑推理、数据分析、数学建模等素养的和谐发展.
参考文献
[1]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书 数学 选修4—5 A版[M].北京：人民教育出版社，2004.
[2]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书 数学 选修4—5 A版[M].北京：人民教育出版社，2007.
[3]赵龙山.有关数学归纳法教学中的逻辑问题[J].数学通报，1992（9）：39-45.
[4]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].人民教育出版社，2018.